物理 特殊相対性理論

2017/8-2012/2 Yuji.W

相対論的運動量,エネルギー

相対論的運動量 相対論的エネルギー _

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec〔 @3=2.99792458{定義値} 〕 物理定数

【電磁気国際単位系クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
CGS静電単位系ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系 Bcgs=10000_G]
 〔電磁気の単位

◇ Γ(b)=1/root(1-b^2) ◇

◆ 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2) 〔 0<b<1 〕※ |b|<1 でもよい

★ Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

■ 0<b<<1 のとき Γ(b)=1+(1/2)*b^2 Γ(b)*b=b

b~1 b=1-h 0<h<<1 のとき Γ(b)=Γ(b)*b=0.707/root(h)

■ 時間微分 ' Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ Γ(b)^2=1+[Γ(b)*b]^2

■ b(t) の微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=k=一定

 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

◇ Γ(b) の公式 ◇

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、※ b に物理的な意味はなくてよい

 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

◇ 相対論的運動量、相対論的エネルギー ◇

◆ 1質点の運動 力 <F> 速さ(対光速比) b Γ(b)=1/root(1-b^2)

アインシュタインの仮定 <pc>/@m=<b>*Γ(b) E/@m=Γ(b)

次の2つの式が成り立つのだろうか?

@ 運動方程式 <pc>'=<F>*c A エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

■ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ 運動方程式とエネルギーの時間微分の式から、<F>を消去して、

 E'=<pc>'*<b>

アインシュタインの仮定より、

 <pc>'/@m=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)'=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b'

また E'/@m=Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b'

上記の3式より、

 Γ(b)^3*b*b'=[<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b']*<b>

 右辺=<b>*<b>'*Γ(b)+<b>*<b>*Γ(b)^3*b*b'

ここで <b>*<b>=b^2 & <b>*<b>'=b*b' だから、

 右辺
=Γ(b)*b*b'+Γ(b)^3*b^3*b'
=Γ(b)*b*b'*[1+Γ(b)^2*b^2]
=Γ(b)*b*b'*[1+b^2/(1-b^2)]
=Γ(b)*b*b'/(1-b^2)
=Γ(b)^3*b*b'

これで 左辺=右辺

◇ 相対論的運動量、相対論的エネルギー ◇

◆ 1粒子 静止質量(光速の2乗倍) @m 速度ベクトル(対光速比) <b>

運動量(光速倍) <pc> エネルギー E 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ E/@m=Γ(b) <pc>/@m=<b>*Γ(b) E^2=pc^2+@m^2

■ 運動方程式 <pc>'=c*<F>  エネルギーの時間微分 E'=c*<F>*<b>

◇ 相対論的運動エネルギー ◇

◆ 1粒子 直線上の運動 速さ(対光速比) b 質量 m 静止質量エネルギー @m=m*c^2

運動量 p 運動量(光速倍) pc エネルギー E 運動エネルギー K=E-@m

■ K+@m=E=@m*Γ(b) pc=@m*Γ(b)*b

 (K+@m)/@m=Γ(b) pc/@m=Γ(b)*b

Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1 だから、

 (K+@m)^2/@m^2-pc^2/@m^2=1

 pc^2=(K+@m)^2-@m^2=K^2+2*K*@m

 pc=K*root(1+2*@m/K) *_

■ K=@m のときm

 E=2*@m Γ(b)=2 1/root(1-b^2)=2

 1-b^2=1/4 b^2=3/4 b=root3/2=1.732/2=0.866

 c*b=[3*Ten(8)]*0.866=2.59*Ten(8)_m/sec

◇ 相対論的運動量、相対論的エネルギー ◇

◎ 相対論的運動量、相対論的エネルギーの定義を求めよう。

※ 質量(光速の2乗倍) 運動量(光速倍) 単位はエネルギー

「エネルギーと運動量の関係」 ◇ 時間微分 ' 2015/2

◆ 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> 力 <F> エネルギー E

■ 運動方程式 <pc/c>'=<F> エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

エネルギーと運動量の関係 E'=<pc>'*<b>

◆ アインシュタインの仮定 E/m=f(b) <pc>/@m=f(b)*<b> f(0)=1

{けっこう、限定された仮定だなあ!2013/4} ※ 暗黙に <pc>/E=<b> も仮定している

{結論} f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

■ E'/@m=f(b)' @

一方 <pc>'/@m=f(b)'*<b>+f(b)*<b>'=[f(b);b]*b'*<b>+f(b)*<b>' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*<b>*<b>+f(b)*<b>'*<b>

ここで <b>*<b>=b^2 <b>'*<b>=b*b' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*b^2+f(b)*b*b' A

@Aより f(b)'=f(b)'*b^2+f(b)*b*b'

 f(b)'/f(b)=b*b'/(1-b^2)

時間で積分すると、

 左辺=${(f(b)'/f(b))*dt}=${(1/f(b))*df(b)}=ln|f(b)|

 右辺
=${[b*b'/(1-b^2)]*dt} ※ b'*dt=(db/dt)*dt=db
=${[b/(1-b^2)]*db} ※ b*db=(1/2)*d(b^2)
=(1/2)*${[1/(1-b^2)]*d(b^2)}
=-(1/2)*ln(1-b^2) ※ |b| <. 1

ゆえに ln|f(b)|=-(1/2)*ln|1-b^2|+積分定数 f(0)=1 に注意して、

 f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=Γ(b)*<b>〔〕エネルギーと運動量の定義(特殊相対論)

{積分のいい練習だ!2015/2}

◇ 相対論的運動量、相対論的エネルギー ◇

◆ 1粒子 静止質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> エネルギー E 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ {定義} <pc>=@m*Γ(b)*<b> E=@m*Γ(b)

■ 運動方程式 <pc>'=c*<F> エネルギーの時間変化 E'=c*<F>*<b>

ローレンツ不変量 @m^2=E^2-pc^2

◇ 運動エネルギー ◇

◆ 1粒子 質量 m 速さ(対光速比) b 静止質量エネルギー @m

エネルギー E=@m*Γ(b) 運動エネルギー K E=K+@m

■ Γ(b)=E/@m=(K+@m)/@m=1+K/@m b=root[1-1/Γ(b)^2]

★ 電子 K=10_keV

 Γ(b)=1+10/511=521/511=1.02 b=root(1-1/1.02^2)=0.197

★ 陽子 K=10_MeV

 Γ(b)=1+10/938=1.0107 b=root(1-1/1.0107^2)=0.1451

◇ 運動量保存 ◇

◎ 一平面上、同質量の2物体の衝突

◆ 非相対論 同質量(質量 @m)の2物体が完全弾性衝突 xy平面上

質量の中心系で、次のようであったとする。運動量やエネルギーは、保存されている。

衝突前 物体@<Bx -By> 物体A<-Bx By> その和<0 0>
衝突後 物体@<Bx By> 物体A<-Bx -By> その和<0 0>

■ <Bx 0> で進むx系で、

衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By> その和 <-2*Bx 0>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By> その和 <-2*Bx 0>

x系でも、運動量やエネルギーは、保存されている。

まとめると、

衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By> その和 <-2*Bx 0>

非相対論の運動量は保存されている。


◎ 同じ事を、特殊相対論で考える。速度の合成則が簡単な和にならないことに注意すべきである。

◆ 特殊相対論

元の系の物体の速さ B=root(Bx^2+By^2)

x系で、それぞれの速さ 衝突前 b1,b2 衝突後 \b1,\b2

それぞれの相対論的運動量 衝突前 <pc1>,<pc2> 衝突後 <\pc1>,<\pc2>

全運動量 衝突前 <pcx pcy> 衝突後 <\pcx \pcy>

※ 質量(光速の2乗倍) 運動量(光速倍) 単位はエネルギー

「特殊相対論-速度の合成2次元」 2015/1

■ <b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx)

■ 1+[Γ(b)*b]^2=Γ(b)^2

■ x系での速さに対する相対論的効果率は、

衝突前 物体@ <-Bx 0>[+]<Bx -By>

 Γ(b1)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1-Bx^2)=Γ(Bx)*Γ(B)/Γ(Bx)^2=Γ(B)/Γ(Bx)

物体A <-Bx 0>[+]<-Bx By>

 Γ(b2)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)

衝突後 物体@ <-Bx 0>[+]<Bx By>

 Γ(\b1)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1-Bx^2)=Γ(B)/Γ(Bx)

物体A <-Bx 0>[+]<-Bx -By>=<-2*Bx -By/Γ(Bx)>/(1+Bx^2)

 Γ(\b2)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)

相対論的運動量の定義を使って、そのx成分を表すと、

 pc1x/@m=0
 pc2x/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*(-2*Bx)=-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx

 \pc1x/@m=0
 \pc2x/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*(-2*Bx)=-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx

 pc1x+pc2x=\pc1x+\pc2x 当たり前。そもそも、x成分の速さに変化はないのだから。

相対論的運動量の定義を使って、そのy成分を表すと、{ここからが核心!}

 pc1y/@m=[Γ(B)/Γ(Bx)]*[-Γ(Bx)*By]=-Γ(B)*By
 pc2y/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*By/[Γ(Bx)*(1+Bx^2)]=Γ(B)*By

 \pc1y/@m=[Γ(B)/Γ(Bx)]*[Γ(Bx)*By]=Γ(B)*By
 \pc2y/@m=-Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*[-By/[Γ(Bx)*(1+Bx^2)]=-Γ(B)*By

 pc1y+pc2y=\pc1y+\pc2y〔〕運動量のy成分が保存された

■ 運動量/@m をまとめると、

非相対論
衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By>

相対論
衝突前 @<0 -Γ(B)*By> A<-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx Γ(B)*By>
衝突後 @<0 Γ(B)*By> A<-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx -Γ(B)*By>

{うまくできてる!2015/2}

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