☆ 相対論的エネルギー、相対論的運動量 ☆ |
|
〓 相対論的エネルギー、相対論的運動量 〓 ⏰19.6 ◆
1粒子の運動 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b> ■ E=@m*Γ(b) <pc>=@m*Γ(b)*<b>=E*<b> ★ ▲ 非相対論で <pc>=m*v*c=@m*b であったから、非相対論の @m=m*c^2 の代わりに E を使いなさいということ。静止質量の分のエネルギーと運動エネルギーの和の塊が運動しているイメージ{!} {<pc>=E*<b> であることが全然わかってなかった!19.6} |
|
〓 相対論的運動量、相対論的エネルギー 〓 ◎ 相対論的運動量、相対論的エネルギーの定義を求めよう。 ◆ アインシュタインの仮定 E/@m=f(b) <pc>/@m=f(b)*<b> f(0)=1 {けっこう、限定された仮定だなあ!2013/4} ※ 暗黙に <pc>/E=<b> も仮定している {結論} f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b) ■ E'/@m=f(b)' @ 一方 <pc>'/@m=f(b)'*<b>+f(b)*<b>'=[f(b);b]*b'*<b>+f(b)*<b>' だから、 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*<b>*<b>+f(b)*<b>'*<b> ここで <b>*<b>=b^2 <b>'*<b>=b*b' だから、 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*b^2+f(b)*b*b' A @Aより f(b)'=f(b)'*b^2+f(b)*b*b' f(b)'/f(b)=b*b'/(1-b^2) 時間で積分すると、 左辺=${(f(b)'/f(b))*dt}=${(1/f(b))*df(b)}=ln|f(b)| 右辺 ゆえに ln|f(b)|=-(1/2)*ln|1-b^2|+積分定数 f(0)=1 に注意して、 f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b) E/@m=Γ(b) <pc>/@m=Γ(b)*<b>〔★〕エネルギーと運動量の定義(特殊相対論) {積分のいい練習だ!2015/2} |
|
〓 相対論的運動量、相対論的エネルギー 〓 ◆ 1質点の運動 力 <F> 速さ(対光速比) b Γ(b)=1/root(1-b^2) アインシュタインの仮定 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=<b>*Γ(b) 次の2つの式が成り立つのだろうか? @ 運動方程式 <pc>'=<F>*c A エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c
■ 運動方程式とエネルギーの時間微分の式から、<F>を消去して、 E'=<pc>'*<b> アインシュタインの仮定より、 <pc>'/@m=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)'=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b' また E'/@m=Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' 上記の3式より、 Γ(b)^3*b*b'=[<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b']*<b> 右辺=<b>*<b>'*Γ(b)+<b>*<b>*Γ(b)^3*b*b' ここで <b>*<b>=b^2 & <b>*<b>'=b*b' だから、 右辺 これで 左辺=右辺 |
|
〓 4元速度 〓 ◆ 1粒子の速度(対光速比) <b>=<bx by bz> 4元速度(対光速比) {bμ}=Γ(b)*{1,<b>} 4元速度 {uμ}=c*Γ(b)*{1,<b>} ■ {bμ} と {uμ} はローレンツ変換を満たす。4元ベクトルとして扱える。 {bμ}*{bμ} と {uμ}*{uμ} はローレンツ不変量となる。 |
|
〓 相対論的エネルギー、相対論的運動量 〓 ◆ 1粒子 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b> 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) エネルギー E 運動量(光速倍) <pc> 4元運動量(光速倍) {pcμ}={E,<pc>} ■ {定義} E=@m*Γ(b) <pc>=@m*Γ(b)*<b> ※ 運動方程式 <pc>'=c*<F> エネルギーの時間変化 E'=c*<F>*<b> ■ |b|<<1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1 とみなせるとき、 E=@m*Γ(b)=@m=m*c^2 <pc>=@m*Γ(b)*<b>=@m*<b> <p>=<pc>/c=m*c*<b>=m*<v> ■ |b|<<1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1+(1/2)*b^2 とみなせるとき、 E=@m*Γ(b)=m*c^2[1+(1/2)*b^2]=m*c^2+(1/2)*m*v^2 <pc>=@m*Γ(b)*<b>=@m*[1+(1/2)*b^2]*<b> <p>=m*<v>+(1/2)*m*(v^2/c^2)*<v> ■ 4元速度(対光速比) {bμ}=Γ(b)*{1,<b>} を使うと、 4元運動量(光速倍) {pcμ}={E,<pc>}=@m*{bμ} と書ける {bμ} はローレンツ変換を満たすから {pcμ} もローレンツ変換を満たす。そして、 {pcμ}*{pcμ}=E^2-pcx^2-pcy^2-pcz^2 はローレンツ不変量となる |
|
〓 {例}相対論的運動量 〓 ◆ 同質量の2粒子 質量(光速の2乗倍) @m 直線上の運動
2つの慣性系
x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) -<xu>*0.6
x系で 状態@ 2個の粒子の速さ(対光速比)
0.6 Γ(0.6)=1.25 Γ(0.6)*0.6=0.75 ■ \b=(0.6+0.6)/(1+0.6^2)=1.2/1.36~0.882 Γ(\b)=(1+0.6*0.6)*Γ(0.6)*Γ(0.6)=1.36*1.25*1.25=2.125 Γ(\b)*\b=(0.6+0.6)*Γ(0.6)*Γ(0.6)=1.2*1.25*1.25=1.875 |
|
☆ お勉強しよう since 2011 Yuji.W ☆ |