物理 特殊相対性理論 2019.6-2012.2 Yuji.W

相対論的エネルギー、相対論的運動量 ☆

物理定数 定数.宇宙 力学の単位 電磁気の単位〕  


〓 相対論的エネルギー、相対論的運動量 〓 ⏰19.6

◆ 1粒子の運動 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b>
エネルギー E 運動量(光速倍) <pc> 
Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ E=@m*Γ(b) <pc>=@m*Γ(b)*<b>=E*<b>  

▲ 非相対論で <pc>=m*v*c=@m*b であったから、非相対論の @m=m*c^2 の代わりに E を使いなさいということ。静止質量の分のエネルギーと運動エネルギーの和の塊が運動しているイメージ{!}

{<pc>=E*<b> であることが全然わかってなかった!19.6}


〓 相対論的運動量、相対論的エネルギー 〓

◎ 相対論的運動量、相対論的エネルギーの定義を求めよう。

◆ アインシュタインの仮定 E/@m=f(b) <pc>/@m=f(b)*<b> f(0)=1

{けっこう、限定された仮定だなあ!2013/4} ※ 暗黙に <pc>/E=<b> も仮定している

{結論} f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

■ E'/@m=f(b)' @

一方 <pc>'/@m=f(b)'*<b>+f(b)*<b>'=[f(b);b]*b'*<b>+f(b)*<b>' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*<b>*<b>+f(b)*<b>'*<b>

ここで <b>*<b>=b^2 <b>'*<b>=b*b' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*b^2+f(b)*b*b' A

@Aより f(b)'=f(b)'*b^2+f(b)*b*b'

 f(b)'/f(b)=b*b'/(1-b^2)

時間で積分すると、

 左辺=${(f(b)'/f(b))*dt}=${(1/f(b))*df(b)}=ln|f(b)|

 右辺
=${[b*b'/(1-b^2)]*dt} ※ b'*dt=(db/dt)*dt=db
=${[b/(1-b^2)]*db} ※ b*db=(1/2)*d(b^2)
=(1/2)*${[1/(1-b^2)]*d(b^2)}
=-(1/2)*ln(1-b^2) ※ |b| <. 1

ゆえに ln|f(b)|=-(1/2)*ln|1-b^2|+積分定数 f(0)=1 に注意して、

 f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=Γ(b)*<b>〔〕エネルギーと運動量の定義(特殊相対論)

{積分のいい練習だ!2015/2}


〓 相対論的運動量、相対論的エネルギー 〓

◆ 1質点の運動 力 <F> 速さ(対光速比) b Γ(b)=1/root(1-b^2)

アインシュタインの仮定 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=<b>*Γ(b) 

次の2つの式が成り立つのだろうか?

@ 運動方程式 <pc>'=<F>*c A エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

■ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ 運動方程式とエネルギーの時間微分の式から、<F>を消去して、

 E'=<pc>'*<b>

アインシュタインの仮定より、

 <pc>'/@m=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)'=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b'

また E'/@m=Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b'

上記の3式より、

 Γ(b)^3*b*b'=[<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b']*<b>

 右辺=<b>*<b>'*Γ(b)+<b>*<b>*Γ(b)^3*b*b'

ここで <b>*<b>=b^2 & <b>*<b>'=b*b' だから、

 右辺
=Γ(b)*b*b'+Γ(b)^3*b^3*b'
=Γ(b)*b*b'*[1+Γ(b)^2*b^2]
=Γ(b)*b*b'*[1+b^2/(1-b^2)]
=Γ(b)*b*b'/(1-b^2)
=Γ(b)^3*b*b'

これで 左辺=右辺

〓 4元速度 〓

◆ 1粒子の速度(対光速比) <b>=<bx by bz>

4元速度(対光速比) {bμ}=Γ(b)*{1,<b>} 4元速度 {uμ}=c*Γ(b)*{1,<b>}

■ {bμ} と {uμ} はローレンツ変換を満たす。4元ベクトルとして扱える。

 {bμ}*{bμ} と {uμ}*{uμ} はローレンツ不変量となる。


〓 相対論的エネルギー、相対論的運動量 〓

◆ 1粒子 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b>

相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) エネルギー E 運動量(光速倍) <pc>

4元運動量(光速倍) {pcμ}={E,<pc>}

■ {定義} E=@m*Γ(b) <pc>=@m*Γ(b)*<b>

※ 運動方程式 <pc>'=c*<F> エネルギーの時間変化 E'=c*<F>*<b>

■ |b|<<1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1 とみなせるとき、

 E=@m*Γ(b)=@m=m*c^2

 <pc>=@m*Γ(b)*<b>=@m*<b> <p>=<pc>/c=m*c*<b>=m*<v>

■ |b|<<1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1+(1/2)*b^2 とみなせるとき、

 E=@m*Γ(b)=m*c^2[1+(1/2)*b^2]=m*c^2+(1/2)*m*v^2

 <pc>=@m*Γ(b)*<b>=@m*[1+(1/2)*b^2]*<b> 

 <p>=m*<v>+(1/2)*m*(v^2/c^2)*<v>

■ 4元速度(対光速比) {bμ}=Γ(b)*{1,<b>} を使うと、

 4元運動量(光速倍) {pcμ}={E,<pc>}=@m*{bμ} と書ける

{bμ} はローレンツ変換を満たすから {pcμ} もローレンツ変換を満たす。そして、

 {pcμ}*{pcμ}=E^2-pcx^2-pcy^2-pcz^2 はローレンツ不変量となる


〓 {例}相対論的運動量 〓

◆ 同質量の2粒子 質量(光速の2乗倍) @m 直線上の運動

2つの慣性系 x系,X系
X系で 状態@ 2個の粒子が静止
状態A 反対方向に同じ速さで等速直線運動 速さ(対光速比) 0.6
運動量は保存されている

X系のx系に対する速度(対光速比) -<xu>*0.6

x系で 状態@ 2個の粒子の速さ(対光速比) 0.6 Γ(0.6)=1.25 Γ(0.6)*0.6=0.75
状態A 一方の粒子は静止 他方の粒子の速さ(対光速比) \b

■ \b=(0.6+0.6)/(1+0.6^2)=1.2/1.36~0.882

 Γ(\b)=(1+0.6*0.6)*Γ(0.6)*Γ(0.6)=1.36*1.25*1.25=2.125

 Γ(\b)*\b=(0.6+0.6)*Γ(0.6)*Γ(0.6)=1.2*1.25*1.25=1.875

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