物理 特殊相対性理論

2017/7-2012/2 Yuji.W

相対論的運動量,エネルギー

相対論的運動量 相対論的エネルギー _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

【相対論】2.99792458=\c 光速 c=\c*Ten(8)_m/sec {定義}
 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) 時間(光速倍) tc
 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) pc [@m]=[pc]=[エネルギー]

{復習}相対論的効果率 Γ(b)

『Γ(b)=1/root(1-b^2)』 2017/7

◆ 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2) 〔 0<b<1 〕※ |b|<1 でもよい

★ Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

■ 0<b<<1 のとき Γ(b)=1+(1/2)*b^2 Γ(b)*b=b

b~1 b=1-h 0<h<<1 のとき Γ(b)=Γ(b)*b=0.707/root(h)

■ 時間微分 ' Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ Γ(b)^2=1+[Γ(b)*b]^2

■ b(t) の微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=k=一定

 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

『Γ(b) の公式』 2017/7

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、※ b に物理的な意味はなくてよい

 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

☆相対論的運動量、相対論的エネルギー☆

◆ 1質点の運動 力 <F> 速さ(対光速比) b Γ(b)=1/root(1-b^2)

アインシュタインの仮定 <pc>/@m=<b>*Γ(b) E/@m=Γ(b)

次の2つの式が成り立つのだろうか?

@ 運動方程式 <pc>'=<F>*c A エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

■ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ 運動方程式とエネルギーの時間微分の式から、<F>を消去して、

 E'=<pc>'*<b>

アインシュタインの仮定より、

 <pc>'/@m=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)'=<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b'

また E'/@m=Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b'

上記の3式より、

 Γ(b)^3*b*b'=[<b>'*Γ(b)+<b>*Γ(b)^3*b*b']*<b>

 右辺=<b>*<b>'*Γ(b)+<b>*<b>*Γ(b)^3*b*b'

ここで <b>*<b>=b^2 & <b>*<b>'=b*b' だから、

 右辺
=Γ(b)*b*b'+Γ(b)^3*b^3*b'
=Γ(b)*b*b'*[1+Γ(b)^2*b^2]
=Γ(b)*b*b'*[1+b^2/(1-b^2)]
=Γ(b)*b*b'/(1-b^2)
=Γ(b)^3*b*b'

これで 左辺=右辺

『相対論的力学-1粒子の運動量、エネルギー』

◆ 1粒子 静止質量(光速の2乗倍) @m 速度ベクトル(対光速比) <b>

運動量(光速倍) <pc> エネルギー E 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ E/@m=Γ(b) <pc>/@m=<b>*Γ(b) E^2=pc^2+@m^2

■ 運動方程式 <pc>'=c*<F>  エネルギーの時間微分 E'=c*<F>*<b>

☆相対論的運動量、相対論的エネルギー☆

◎ 相対論的運動量、相対論的エネルギーの定義を求めよう。

※ 質量(光速の2乗倍) 運動量(光速倍) 単位はエネルギー

「エネルギーと運動量の関係」 ◇ 時間微分 ' 2015/2

◆ 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> 力 <F> エネルギー E

■ 運動方程式 <pc/c>'=<F> エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

エネルギーと運動量の関係 E'=<pc>'*<b>

◆ アインシュタインの仮定 E/m=f(b) <pc>/@m=f(b)*<b> f(0)=1

{けっこう、限定された仮定だなあ!2013/4} ※ 暗黙に <pc>/E=<b> も仮定している

{結論} f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

■ E'/@m=f(b)' @

一方 <pc>'/@m=f(b)'*<b>+f(b)*<b>'=[f(b);b]*b'*<b>+f(b)*<b>' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*<b>*<b>+f(b)*<b>'*<b>

ここで <b>*<b>=b^2 <b>'*<b>=b*b' だから、

 <pc>'*<b>/@m=f(b)'*b^2+f(b)*b*b' A

@Aより f(b)'=f(b)'*b^2+f(b)*b*b'

 f(b)'/f(b)=b*b'/(1-b^2)

時間で積分すると、

 左辺=${(f(b)'/f(b))*dt}=${(1/f(b))*df(b)}=ln|f(b)|

 右辺
=${[b*b'/(1-b^2)]*dt} ※ b'*dt=(db/dt)*dt=db
=${[b/(1-b^2)]*db} ※ b*db=(1/2)*d(b^2)
=(1/2)*${[1/(1-b^2)]*d(b^2)}
=-(1/2)*ln(1-b^2) ※ |b| <. 1

ゆえに ln|f(b)|=-(1/2)*ln|1-b^2|+積分定数 f(0)=1 に注意して、

 f(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b)

 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=Γ(b)*<b>〔〕エネルギーと運動量の定義(特殊相対論)

{積分のいい練習だ!2015/2}

『相対論的力学-1粒子の運動量、エネルギー』

◆ 1粒子 静止質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> エネルギー E 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ {定義} <pc>=@m*Γ(b)*<b> E=@m*Γ(b)

■ 運動方程式 <pc>'=c*<F> エネルギーの時間変化 E'=c*<F>*<b>

ローレンツ不変量 @m^2=E^2-pc^2

{計算例}相対論的運動量、相対論的エネルギー

◆ 電子が電位差 125_kV を通り、加速される

運動エネルギー K 静止質量(光速の2乗倍) @m=5.10*Ten(5)_eV 総エネルギー E

速さ b 運動量 p 運動量(光速倍) pc=c*p

■ @m
=5.10*Ten(5)_eV
=[5.10*Ten(5)]*[\e*Ten(-12)]
=8.16*Ten(-7)_erg

■ K=1.25*Ten(5)_eV E=@m+K=6.35*Ten(5)_eV

 Γ(b)=6.35/5.10~1.25 b=0.6

 pc=Γ(b)*b*@m=1.25*0.6*8.16*Ten(-7)_erg=6.12*Ten(-7)_erg

 p=[6.12*Ten(-7)]/[\c*Ten(10)]~2.04*Ten(-17)_g*cm/sec

{計算例}相対論的運動量、相対論的エネルギー

★ 電子 b=0.1 Γ(0.1)=1.005 m=9.109*Ten(-31)_kg

 E
=1.005*[9.109*Ten(-31)_kg]*[3*Ten(8)]^2
=1.005*[9.109*Ten(-31)_kg]*[3*Ten(8)]^2
=8.24*Ten(-14)_J

 p=1.005*[0.1*3*Ten(8)]*[9.109*Ten(-31)]~9.15*Ten(-24)_kg*m/sec

{別解} E=Γ(0.1)*@m=1.005*[0.510*Ten(6)]=5.12*Ten(5)_eV

 5.12*Ten(5)_eV=[5.12*Ten(5)]*[1.602*Ten(-19)]~8.20*Ten(-14)_J

★ 電子 b=0.999 Γ(0.999)=22.37

 E=8.24*Ten(-14)*22.37/1.005=1.83*Ten(-12)_J

 E=5.12*Ten(5)*22.37/1.005=1.14*Ten(7)_eV

 p=9.15*Ten(-24)*[22.37*0.999]/[1.005*0.1]~2.03*Ten(-21)_kg*m/sec

『電子が持つエネルギー.運動量』 2015/8

b=0.1 E~8*Ten(-14)_J~5*Ten(5)_eV p~Ten(-23)_kg*m/sec

b=0.999 E~2*Ten(-12)_J~Ten(7)_eV p~2*Ten(-21)_kg*m/sec


★ b=0.6 のとき Γ(0.6)=1.25 pc/@m=0.75 E/@m=1.25

★ b=15/17 Γ(15/17)=17/8 E/@m=17/8 pc/@m=15/8

★ b=1-Ten(-5) 1-b^2=1-[1-Ten(-5)]^2=1-1+2*Ten(-5)=2*Ten(-5)

 Γ(b)=Ten(3)/root(20)=Ten(3)/(2*root5)=224

★ <b>=<1 1 0>*0.3*root2 b=0.6 Γ(0.6)=1.25 E/@m=1.25

 <pc>/@m=1.25*[<1 1 0>*0.3*root2]=<1 1 0>*3*root2/8

★ 1質点 b1=0.99 Γ(0.99)=7.089 Γ(0.99)*0.99=7.02 pc1/@m=7.02

この運動量を2倍にするには、b2 ?

 Γ(b2)*b2=7.02*2=14.04 Γ(b2)*b2=7.02*2=14.04

 Γ(b2)^2=[Γ(b2)*b2]^2+1=198 Γ(b2)=14.07

 b2=14.04/14.07=0.998

★ タウ粒子 質量(光速の2乗倍) @m=1777_MeV 崩壊時間 3*Ten(-13)_sec

E=100*@m のタウ粒子の崩壊時間 t ? その速さ(対光速比) b

 Γ(b)=E/@m=100 t=3*Ten(-13)*Γ(b)=3*Ten(-13)*100=3*Ten(-11)_sec

 [Γ(b)*b]^2=Γ(b)^2-1=10000-1=9999 Γ(b)*b=3*root(1111)=3*33.3=99.9

 b=99.9/100=0.999

 崩壊するのに進んだ距離=0.999*[3*Ten(8)]*3*Ten(-11)=9*Ten(-3)_@m=0.9_cm

★ 静止質量 @m E/@m=30

 Γ(b)=E/@m=30 [Γ(b)*b]^2=Γ(b)^2-1=30^2-1=899 Γ(b)*b=29.98

 K=E-@m=29*@m pc=29.98*@m b=29.98/30=0.999

★ @m=1*ten(8)*c^2 Γ(b)=10 のとき、

 (E-@m)/@m=9 E-@m=9*ten(8)*[3*Ten(8)]^2~8*Ten(25)_J

★ 太陽の中心部の温度 1.5*Ten(7)_K 1.38*Ten(-23)_J/K=8.61*Ten(-5)_eV

 平均運動エネルギー
=(3/2)*k*T
=(3/2)*[8.61*Ten(-5)]*[1.5*Ten(7)]
~2000_eV

電子の質量 0.5_MeV=5*Ten(5)_eV

平均運動エネルギーは、電子の静止質量より、非常に小さいので、相対論的効果は表れないと考えることができる。

● 1_u~1.6605*Ten(-27)_kg~931.494_MeV/c^2

★ 238U -> 234Th + 4He

質量_u 238U 238.050783 234Th 234.043601 4He 4.002603

 Δm=0.004579_u=0.004579*931.494_MeV/c^2=4.2653_MeV/c^2

★ 崩壊時間 Ten(-10)_sec E/@m=1000 のとき、

Γ(b)=1000 b~1 動く距離=[3*Ten(8)]*Ten(-10)*1000=30_m

★ ラムダ粒子 @m=1116_MeV E=2232_MeV 崩壊するのに動いた距離 13.7_cm

ラムダ粒子の崩壊時間 t ?

 Γ(b)=E/@m=2232/1116=2 1-b^2=1/4 b=root3/2=0.866

 c*b*Γ(b)*t=0.137 t=0.137/[2*3*Ten(8)*0.866]=2.6*Ten(-10)_sec

★ 陽子 静止質量(光速の2乗倍) Ten(9)_eV エネルギー Ten(12)_eV 速さ(対光速比) b

 Γ(b)=Ten(12)/Ten(9)=1000

b~1 b=1-Δ 0<Δ<<1 と置くと 1-b^2=1-(1-Δ)^2=2*Δ Γ(b)=1/root(2*Δ)

 Δ=1/[2*Γ(b)^2]=0.5*Ten(-6)=5*Ten(-7)

★ 陽子のエネルギーの観測最大値 3*Ten(20)_eV (1991年) 速さ(対光速比) b

 Γ(b)=[3*Ten(20)]/Ten(9)=3*Ten(11)

b~1 b=1-Δ 0<Δ<<1 と置くと、

 Δ=1/[2*Γ(b)^2]=1/[2*9*Ten(22)]=5*Ten(-24)

また 3*Ten(20)_eV=3*Ten(20)*1.60*Ten(-19)=48_J

質量 0.15_kg の物体が、同じエネルギーを持つときの速さ v

 (1/2)*0.15*v^2=48 v^2=640 v=25_m/sec=90_km/hour

☆運動量保存☆

◎ 一平面上、同質量の2物体の衝突

◆ 非相対論 同質量(質量 @m)の2物体が完全弾性衝突 xy平面上

質量の中心系で、次のようであったとする。運動量やエネルギーは、保存されている。

衝突前 物体@<Bx -By> 物体A<-Bx By> その和<0 0>
衝突後 物体@<Bx By> 物体A<-Bx -By> その和<0 0>

■ <Bx 0> で進むx系で、

衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By> その和 <-2*Bx 0>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By> その和 <-2*Bx 0>

x系でも、運動量やエネルギーは、保存されている。

まとめると、

衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By> その和 <-2*Bx 0>

非相対論の運動量は保存されている。


◎ 同じ事を、特殊相対論で考える。速度の合成則が簡単な和にならないことに注意すべきである。

◆ 特殊相対論

元の系の物体の速さ B=root(Bx^2+By^2)

x系で、それぞれの速さ 衝突前 b1,b2 衝突後 \b1,\b2

それぞれの相対論的運動量 衝突前 <pc1>,<pc2> 衝突後 <\pc1>,<\pc2>

全運動量 衝突前 <pcx pcy> 衝突後 <\pcx \pcy>

※ 質量(光速の2乗倍) 運動量(光速倍) 単位はエネルギー

「特殊相対論-速度の合成2次元」 2015/1

■ <b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx)

■ 1+[Γ(b)*b]^2=Γ(b)^2

■ x系での速さに対する相対論的効果率は、

衝突前 物体@ <-Bx 0>[+]<Bx -By>

 Γ(b1)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1-Bx^2)=Γ(Bx)*Γ(B)/Γ(Bx)^2=Γ(B)/Γ(Bx)

物体A <-Bx 0>[+]<-Bx By>

 Γ(b2)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)

衝突後 物体@ <-Bx 0>[+]<Bx By>

 Γ(\b1)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1-Bx^2)=Γ(B)/Γ(Bx)

物体A <-Bx 0>[+]<-Bx -By>=<-2*Bx -By/Γ(Bx)>/(1+Bx^2)

 Γ(\b2)=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)

相対論的運動量の定義を使って、そのx成分を表すと、

 pc1x/@m=0
 pc2x/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*(-2*Bx)=-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx

 \pc1x/@m=0
 \pc2x/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*(-2*Bx)=-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx

 pc1x+pc2x=\pc1x+\pc2x 当たり前。そもそも、x成分の速さに変化はないのだから。

相対論的運動量の定義を使って、そのy成分を表すと、{ここからが核心!}

 pc1y/@m=[Γ(B)/Γ(Bx)]*[-Γ(Bx)*By]=-Γ(B)*By
 pc2y/@m=Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*By/[Γ(Bx)*(1+Bx^2)]=Γ(B)*By

 \pc1y/@m=[Γ(B)/Γ(Bx)]*[Γ(Bx)*By]=Γ(B)*By
 \pc2y/@m=-Γ(Bx)*Γ(B)*(1+Bx^2)*[-By/[Γ(Bx)*(1+Bx^2)]=-Γ(B)*By

 pc1y+pc2y=\pc1y+\pc2y〔〕運動量のy成分が保存された

■ 運動量/@m をまとめると、

非相対論
衝突前 @<0 -By> A<-2*Bx By>
衝突後 @<0 By> A<-2*Bx -By>

相対論
衝突前 @<0 -Γ(B)*By> A<-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx Γ(B)*By>
衝突後 @<0 Γ(B)*By> A<-2*Γ(Bx)*Γ(B)*Bx -Γ(B)*By>

{うまくできてる!2015/2}

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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