☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/4-2013/4 Yuji.W

☆相対論.核反応.1次元

◎ 核反応 核は、質量が小さいから高速になりやすい 特殊相対性理論で扱う必要がある 1次元 直線上の運動

質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc>

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆全運動量0系.1次元と元の系との関係☆

『相対論的運動量,エネルギー.1次元.2粒子』 2015/11

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

質量(光速の2乗倍) @m1,@m2 速さ(対光速比) b1,b2,B1,B2

エネルギー E1,E2,E1K,E2K 運動量(光速倍) pc1,pc2,pc1K,pc2K

 E1+E2≡E E1K+E2K≡EK pc1+pc2≡pc pc1K+pc2K≡pcK

■ pc1=Γ(b.)*pc1K+Γ(b.)*b.*E1K pc2=…

 E1=Γ(b.)*E1K+Γ(b.)*b.*pc1K E2=…

合計量 pc=Γ(b.)*pcK+Γ(b.)*b.*EK E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcK

■ ローレンツ不変量 E1^2-pc1^2=E1K^2-pc1K^2=@m1^2

 E2^2-pc2^2=E2K^2-pc2K^2=@m2^2

合計量 E^2-pc^2=EK^2-pcK^2≠(@m1+@m2)^2

※ ローレンツ不変量とは、ある物理量がどの慣性系でも同じ値になるという意味。エネルギー保存、運動量保存とは意味が異なる事に注意!

※ E1*E2-pc1*pc2 もローレンツ不変量

『相対論的全運動量0系.1次元.2粒子』 2015/11

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 慣性系 x系 全運動量0系 G系

x系で 速さ(対光速比) b1,b2 運動量(光速倍) pc1,pc2 エネルギー E1,E2

G系で 速さ(対光速比) b1G,b2G 運動量(光速倍) pc1G,pc2G エネルギー E1G,E2G

G系のx系に対する速さ(対光速比) b(G)

■ 全運動量0系 b(G)=(pc1+pc2)/(E1+E2)  pc1G+pc2G=0

◆ b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.) Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ Γ(b)=Γ(B)*Γ(b.)*(1+B*b.) Γ(b)*b=Γ(B)*Γ(b.)*(B+b.)

{やっと整理できた!2015/11}

◇静止している粒子が崩壊◇

◆ 静止していた粒子が2つの粒子に崩壊し、正反対に飛び去る。運動量保存より、現象は1次元に限られる。

|M|

<-\E1G,\p1G,\b1G--(m1) (m2)--\E2G,\p2G,\b2->

※ 全運動量は、崩壊前も崩壊後も 0 であるから、全運動量0系で扱っているのと同じ。G をつけておく。

系● 古典論で M=m1+m2

■ エネルギー \E1G+\E2G=@M 運動量 \E1G^2-@m1^2=\E2G^2-@m2^2

 \E1G^2-@m1^2=(@M-\E1G)^2-@m2^2

 \E1G=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M)
同様に \E2G=(@M^2-@m1^2+@m2^2)/(2*@M)
.

崩壊後の質量がわかっていれば、エネルギーは決定される。逆に、崩壊後のエネルギーを求める事ができれば、崩壊後の粒子の質量がわかる。 .

■ 運動エネルギー \K1
=\E1G-@m1
=(@M^2+@m1^2-@m2^2-2*@M*@m1)/(2*@M)
=[(@M-@m1)^2-@m2^2]/(2*@M)
=(@M-@m1+@m2)*(@M-@m1-@m2)/(2*@M)

 \K2=(@M+@m1-@m2)*(@M-@m1-@m2)/(2*@M)

 \K1+\K2
=[(@M-@m1+@m2)+(@M+@m1-@m2)]*(@M-@m1-@m2)/(2*@M)
=2*@M*(@M-@m1-@m2)/(2*@M)
=@M-@m1-@m2

≫ \K1+\K2=@M-@m1-@m2 .(全運動エネルギー)=(質量が減った分)

■ \p1G=@m1*Γ(\b1G)*\b1G \p2G=@m2*Γ(\b2G)*\b2G

運動量 \p1G+\p2G=0 より

 m1/m2=@m1/@m2=[Γ(\b2G)*|\b2G|/[Γ(\b1G)*|\b1G|] .

{計算例}

◆ 静止していた粒子が2つの粒子に崩壊し、正反対に飛び去る。運動量保存より、現象は1次元に限られる。

★ Λ -> n + Pi0

静止質量(光速の2乗倍)_MeV 1115.7 939.6 135.0 崩壊後の和 1074.6

--ヘリウェル 特殊相対論 p155 12.7--

 \E1G
=(1115.7^2+939.6^2-135^2)/(2*1115.7)
~(1244786+882848-18225)/(2*1115.7)
~2109409/(2*1115.7)
~945.3_MeV

 p1=root(945.3^2-939.6^2)=root(1884.9*5.7)=103.6_MeV

 b1=p1/\E1G=103.6/945.3~0.11

 \E2G=1115.7-945.3=170.4

 p2=root(170.4^2-135^2)=root(305.4*35.4)=104.0

 b2=104.0/170.4~0.61

★ (Σ-) --> (n) + (Pi-)

静止質量(光速の2乗倍) 1197.4_MeV 939.6_MeV 139.6_MeV

 \E1G=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M)

 @M^2+@m1^2-@m2^2~1433800+882800-19500~2297100

 \E1G~2297100/(2*1197.4)~959_MeV K1~959-940=19_MeV

 \E2G~1197-959~238_MeV K2=238-140~98_MeV

 K1/K2~19/98~0.2

{確かめ} @M^2-@m1^2+@m2^2~1433800-882800+19500~570500

 \E1G~570500/(2*1197.4)~238_MeV {素晴らしい!2015/3}

★ ラムダ粒子 @M=1115.7_MeV 陽子 @m1=938.3_MeV パイ中間子 @m2=139.6_MeV

 \E1G
~(1115.7^2+938.3^2-139.6^2)/(2*1115.7)
~(1244786+880407-19488)/(2*1115.7)
~943.7_MeV

 \E2G=1115.7-943.7=172_MeV

{確かめ} p1^2=943.7^2-938.3^2=1882*5.4~10163

 p2^2=172^2-139.6^2=311.6*32.4=10096


★ |◎|  ⇒  <-3/5-m1 m2-4/5->

 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4 Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

 @m1*3/4=@m2*4/3 m2/m1=(3/4)/(4/3)=9/16

★ |◎|  ⇒  <-12/13-m1 m2-5/13->

 Γ(12/13)=13/5 Γ(12/13)*(12/13)=12/5
 Γ(5/13)=13/12 Γ(5/13)*(5/13)=5/12

 @m1*(12/5)=@m2*(5/12) m1/m2=(5/12)/(12/5)=25/144

★ |◎|  ⇒  <-3/5-m1 m2-\b2-> m1=Ten(3)_kg m2=Ten(6)_kg

  Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

運動量保存 Ten(3)*(3/4)=Ten(6)*Γ(\b2)*\b2

 Γ(\b2)*\b2=(3/4)*Ten(-3)

  |Γ(b)*b|<<1 のとき Γ(b)=1 |Γ(b)*b|=|b| だから、

 \b2=(3/4)*Ten(-3) \v2=(3/4)*Ten(-3)*3*Ten(8)=2.25*Ten(5)_m/sec

☆動いている粒子が崩壊☆

◆ 1次元 直線上の運動 速さ b で動いている粒子(質量 M)が2粒子に崩壊した

(M)--E,pc,b->

(m1)--\E1,\p1,\b1-> (m2)--\E2,\p2,\b2->

■ それぞれの粒子で E=@m*Γ(b) pc=@m*Γ(b)*b E^2-pc^2=@m^2

エネルギー保存 \E1+\E2=E  運動量保存 \pc1+\pc2=pc

系全体で (\E1+\E2)^2-(\pc1+\pc2)^2=E^2-pc^2=@M^2


 ★ @M=1440_MeV b=5/13 \b1=0 \b2=12/13 ‖

Γ(5/13)=13/12 Γ(5/13)*(5/13)=5/12 Γ(12/13)=13/5 Γ(12/13)*(12/13)=12/5

元の粒子 E=1440*(13/12)=1560_MeV pc=1440*(5/12)=600_MeV

崩壊後の粒子 \E1=@m1 \pc1=0

 \E2=(13/5)*@m2 \pc2=(12/5)*@m2

エネルギー @m1+(13/5)*@m2=1560  運動量 0+(12/5)*@m2=600

 @m2=250_MeV @m1=890_MeV

☆動いている粒子が同質量の2粒子に崩壊☆

◎ 同質量の2粒子 {核心!}

◆ 1次元 直線上の運動 速さ b で動いている粒子(質量 M)が、同質量(質量 m)の2粒子に崩壊した。M>2*m

実験室系

(M)--E,pc,b->

(m)--\E1,\pc1,\b1-> (m)--\E2,\pc2,\b2->

全運動量0系

|M|

<-\EG,\pcG,\bG--(m) (m)--\EG,\pcG,\bG->

全運動量0系の実験室系に対する速さ(対光速比) b(G)=b

全運動量0系では、運動量保存より、新しい2粒子の運動量の大きさが等しくなる。質量も等しいのだから、速さの大きさも、エネルギーも等しくなる。

■ 全運動量0系で エネルギー \EG=@M/2

これを使って、\bG を求める事ができる。

方法@ \pcG=root(\EG^2-@m^2) \bG=\pcG/\EG

方法A \EG=@m*Γ(\bG) を使う

\bG を求める事ができたら、

 \b1=-\bG+b(G)=-\bG[+]b=(-\bG+b)/(1-\bG*b) &

 \b2=\bG+b(G)=\bG[+]b=(\bG+b)/(1+\bG*b)

これで、実験室系のエネルギーや運動量も求める事ができる。

{別解} \pcG を求めて、ローレンツ変換して、b(G)=b に注意して、

 \E1=Γ(b)*\EG-[Γ(b)*b]*\pcG \E2=Γ(b)*\EG+[Γ(b)*b]*\pcG

{別解2} 全運動量0系を使わないで、実験室系だけの計算でも、求める事ができる。

次のように諸量を定める。

(M)--E,pc->

(m)--\E1-> (m)--\E2->

M,m,E,pc:既知量 \E1,\E2:未知量

崩壊前と崩壊後で エネルギー \E1+\E2=E

 運動量 root(\E1-@m^2)+root(\E2-@m^2)=pc

\E1=x,\E2=y と書き直すと、

 x+y=E root(x^2-@m^2)+root(y^2-@m^2)=pc

y を消去して root(x^2-@m^2)+root[(E-x)^2-@m^2]=pc

 root[(E-x)^2-@m^2]=pc-root(x^2-@m^2)

両辺を2乗して

 左辺=(E-x)^2-@m^2=x^2-2*E*x+E^2-@m^2

 右辺
=pc^2-2*pc*root(x^2-@m^2)+(x^2-@m^2)
=x^2+pc^2-@m^2-2*pc*root(x^2-@m^2)

 x^2-2*E*x+E^2-@m^2=x^2+pc^2-@m^2-2*pc*root(x^2-@m^2)

 2*pc*root(x^2-@m^2)=2*E*x-(E^2-pc^2)

E^2-pc^2=@M^2 だから 2*pc*root(x^2-@m^2)=2*E*x-@M^2

 root(x^2-@m^2)=(E/pc)*x-@M^2/(2*pc)

両辺を2乗して x^2-@m^2=(E/pc)^2*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)

 [(E/pc)^2-1]*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)+@m^2=0

(E/pc)^2-1=(E^2-pc^2)/pc^2=(@M/pc)^2 だから、

 (@M/pc)^2*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)+@m^2=0

 x^2-E*x+[(@M/2)^2+(pc*@m/@M)^2]=0

 \E1
=x
=E/2±root[E^2-@M^2-4*(pc*@m/@M)^2]/2
=E/2±(pc/@M)*root[@M^2-(2*@m)^2]/2 

≫ \E1=E/2±(pc/@M)*root[(@M/2)^2-@m^2] .

さらに E/2=@M*Γ(b)/2=EG*Γ(b) pc/@M=Γ(b)*b root[(@M/2)^2-@m^2]=\pcG だったから、

 \E1=EG*Γ(b)±Γ(b)*b*\pcG .ローレンツ変換して得た値{素晴らしい!2015/11}


★ @M=498_MeV @m=135_MeV b=0.6 ‖

 \EG=498/2=249

 \pcG
=root(249^2-135^2)
=root[(249+135)*(249-135)]
=root(384*114)
=root(43776)
~209

 \bG=209/249~0.84

 \b1=(-0.84+0.6)/(1-0.84*0.6)=-0.24/0.496~-0.4839

 \b2=(0.84+0.6)/(1+0.84*0.6)=1.44/1.504~0.9574

 Γ(\b1)=1/root(1-0.4839^2)=1/root(0.7659)~1/0.87~1.15

 Γ(\b2)=1/root(1-0.9574^2)=1/root(0.0834)~1/0.29~3.45

 \E1=135*1.15~155_MeV \E2=135*3.45~465_MeV .

{別解} Γ(0.6)=5/4 Γ(0.6)*0.6=(5/4)*(3/5)=3/4

 \pcG=root(249^2-135^2)~209

ローレンツ変換して、

 \E1=249*(5/4)-209*(3/4)~311-157=154_MeV .

 \E2=249*(5/4)+209*(3/4)~311+157=468_MeV .

{別解2} Γ(0.6)=5/4 Γ(0.6)*0.6=(5/4)*(3/5)=3/4

 \E1
=498*(5/4)/2±(3/4)*root(249^2-135^2)
~311±157
=468 , 154

{わお、できた!\E2 も一辺に出るんだな!2015/3}
{ローレンツ変換の式と結びつけられた!2015/11}

☆同質量の2粒子が衝突、合体☆

◆ 同質量(質量 m)2粒子が衝突、合体 衝突後の質量 M≠2*m

実験室系で一方が静止 重心系の実験室系に対する速さ b(G)

実験室系

(m)--E1,pc1,b1-> |m|

(M)--\E,\pc,\b->

全運動量0系

(m)--EG,pcG,bG-> <-EG,pcG,bG--(m) 

|M|

同質量の場合 b(G)=[Γ(b1)*b1+Γ(b2)*b2]/[Γ(b1)+Γ(b2)]

さらに b2=0 b(G)=Γ(b1)*b1/[1+Γ(b1)]

■ 全運動量0系で 2*EG=@M EG=@m*Γ(bG)

 Γ(bG)=EG/@m=@M/(@m/2) bG がわかる b(G)=bG b(G) がわかる

 b1=bG[+]b(G)=[bG+b(G)]/[1+bG*b(G)]=2*bG/(1+bG^2) .


★ 同質量(質量 m)2粒子を衝突させ、3倍の質量の新粒子を作りたい。実験室系での、一方の粒子の速さをどれだけにすればよいか?他方の粒子は止まっている。 ‖

 Γ(bG)=(3*@m)/(@m/2)=3/2 bG=root[1-(2/3)^2]=root5/3

 b1=2*(root5/3)/(1+5/9)=2*(root5/3)*(9/14)=3*root5/7~0.96

☆衝突&合体☆

◎ 同質量2粒子を衝突させ、新しい粒子1個を作る。なるべく小さいエネルギーで、新しい粒子を作りたい。

■ b~1 のとき 1-b=1/[2*Γ(b)^2]

◆ 衝突前の2粒子の質量 m 新しい粒子の質量 M

実験室系(一方が静止)

運動量0系

●--> |●|
○->

E0,m m
E,M

●-> <-●
|○|

EG,m EG,m
M

■ まず、運動量0系で考える。

・衝突前の2粒子の運動量は、大きさは等しく、方向は逆。
・衝突前の2粒子のエネルギーは等しい。
・衝突後の新しい粒子は静止する。
・2*EG=M となる場合を考える。2*EG<M なら 新しい粒子は生成されない。2*EG>M なら 余分なエネルギーを持ち去る必要がある。別の粒子が生成されるとか、粒子が振動するとか…。

エネルギー EG=M/2 .運動量0系の閾値エネルギー ちょうどこの値で、新しい粒子が生成される。

■ M が既知量であれば、EG がわかり、衝突前の粒子の速さもわかる。ローレンツ変換すれば、実験室系のエネルギー、運動量、速さなど、すべて求められる。

■ 実験室系で考える。

エネルギー E0+m=E 運動量^2 E0^2-m^2=E^2-M^2

E を消去すれば E0^2-m^2=(E0+m)^2-M^2

 E0^2-m^2=E0^2+2*E0*m+m^2-M^2

 E0=(M^2-2*m^2)/(2*m) .実験室系の閾値エネルギー ちょうどこの値で、新しい粒子が生成される。

■ E0/EG
=[(M^2-2*m^2)/(2*m)]/(M/2)
=(M^2-2*m^2)/(M*m)
=M/m-2*m/M

M>>m のとき E0/EG~M/m .

▲ 運動量0系で、正面衝突させる場合、新しく生成される粒子の質量は、衝突前の粒子のエネルギーに比例する。

実験室系で M<<m のとき M=root(2*m*E0) 一方が静止している場合、新しく生成される粒子の質量は、衝突前の粒子のエネルギーの平方根にしか比例しない。効率が悪い。

★ 陽子と電子(同質量 m=0.511_MeV)を、同エネルギー EG=1550_MeV で、正面衝突させて、新しい粒子を生成する。

2粒子の運動量の大きさは等しく、方向は逆だから、運動量0系となる。

 2*EG=M M=2*1550=3100_MeV 新しい粒子の静止質量

衝突前の粒子の速さ(対光速比) bG を求めてみよう。

 Γ(bG)=EG/m=1550/0.511~3033

 1-bG=1/[2*Γ(bG)^2]=1/(2*3033^2)=5.4*Ten(-7) bG=1-5.4*Ten(-7)

★ m=0.511_MeV M=12_TeV=12*Ten(6)_MeV

 E0=(M^2-2*m^2)/(2*m)=144*Ten(12)/(2*0.511)~1.41*Ten(14)_MeV

{別解} EG=M/2=6*Ten(6)_MeV

 E0=[6*Ten(6)]*[12*Ten(6)]/0.511=1.41*Ten(14)_MeV

▲ 正面衝突型だと、6_TeV のエネルギーが生み出せればよい。一方を静止させ、もう一方を加速させる型だと、1.4*Ten(8)_TeV のエネルギーが必要になる。

☆衝突、合体☆

★ 陽子が、静止している陽子に衝突し、合体する m=1_GeV E=7_GeV

@--> |A|

◎->

E,@m @m
\E,@M

{解} エネルギー 7+1=\E 

運動量 root(7^2-1^1)=root(\E^2-@M^2)

 64-@M^2=48 @M^2=16 @M=4_GeV  {質量も決まるのがおもしろい!2015/7}

★ Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3 E=(5/3)*@m

@-4/5-> |A|

@M◎-\b->

@m 3*@m
\E,@M

{解} エネルギー (5/3)*@m+3*@m=\E \E=(14/3)*@m

運動量 (4/3)*@m=root(\E^2-@M^2)

 [(14/3)*@m]^2-@M^2=[(4/3)*@m]^2

 @M=[root(196-16)/3]*@m=2*root5*@m

 衝突後の運動量=衝突前の運動量=(4/3)*@m

 \b=運動量/\E=(4/3)/(14/3)=2/7

≫ \E=(14/3)*@m @M=2*root5*@m 衝突後の運動量=(4/3)*@m \b=2/7

★ Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

@-4/5-> |A|

◎-\b->

@m @m
\E,@M

{解} エネルギー (5/3)*@m+@m=\E \E=(8/3)*@m

運動量 (4/3)*@m=root(\E^2-@M^2)

 @M/@m=root[(8/3)^2-(4/3)^2]=4*root3/3

 衝突後の運動量=衝突前の運動量=(4/3)*@m

 \b=(4/3)/(8/3)=1/2

≫ \E=(8/3)*@m @M=(4*root3/3)*@m \b=1/2

▲ ある特定の速さで衝突させると、ある特定の質量の粒子が生成され、ある特定の速さで飛び出す。逆に言うと、ある特定の質量の粒子を作るためには、ある特定の速さで衝突させる必要がある。ねらい通りにできたかどうかは、衝突後の速さを測定すればわかる。

{おもしろいなあ!2015/2}

☆同質量2粒子の衝突☆

◆ 同質量 m の2粒子の衝突 実験室系で一方が静止

実験室系(一方が静止)

全運動量0系

●-->  |●|
|●| ●-->

E,@m,b @m
@m E,@m,b

●--> <--●
<--● ●-->

EG,@m,b(G) EG,@m,b(G)
EG,@m,b(G) EG,@m,b(G)

■ b(G)=root(E^2-@m^2)/(E+@m) EG=@m*Γ(b(G)) .

★ E=7_GeV @m=1_GeV EG ? 

 b(G)=root(7^2-1^2)/(7+1)=(4*root3)/8=root3/2~0.87

 1-b(G)^2=1-(root3/2)^2=1/4 Γ(b(G))=2

 EG=@m*Γ(b(G))=1*2=2_GeV

▲ Γ(b)=E/@m=7/1=7 1-b^2=(1/7)^2=1/49 b=4*root3/7~0.99

実験室系では、一方の粒子を、光速の99%まで加速する必要がある。(他方は静止)

全運動量0系では、両方の粒子を、光速の87%まで加速し、正面衝突させる必要がある。

{どっちが簡単なのかは、ケースバイケースかな!2015/11}

☆2粒子⇒新しい2粒子、閾値☆

◆ 異なる質量の2粒子を衝突させ、全く新しい2粒子を生成したい。

なるべく少ないエネルギーで生成したい。全運動量0系で、衝突後、静止する場合を考えればよい。

実験室系(一方は静止)

全運動量0系

m1--> |m2|

(m3,m4)->

E1,m1 m2
\E,(m3+m4)

m1--> <-m2
|m3,m4|

E1G,m1 E2G,m2
m3,m4

 m3+m4≡M

運動量0系で 

エネルギー E1G+E2G=@m3+@m4=@M

運動量 E1G^2-@m1^2=E2G^2-@m2^2

上記の2式より E2G を消去すれば、

 E1G^2-@m1^2=@M^2-@m2^2

 2*E1G*@M=@M^2+@m1^2-@m2^2

 E1G=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M) .閾値 

 E2G=(@M^2-@m1^2+@m2^2)/(2*@M) .閾値 

実験室系で 全運動量0系での考察により、衝突後、新しい2粒子が同じ速さで動く場合が、最もエネルギーが少なくてすむ。

全運動量0系の速さを求めて、実験室系に換算してもよいが、異なる質量の2粒子が衝突し、1つの粒子になる場合を考えればよい。

エネルギー E1+@m2=\E  運動量 E1^2-@m1^2=\E^2-@M^2

\E を消去して E1^2-@m1^2=(E1+@m2)^2-@M^2

 E1=(@M^2-@m1^2-@m2^2)/(2*@m2) .閾値 

※ @M=@m3+@m4 の部分は、新しい粒子の和だから、粒子の数に関係なく成り立つ量である


★ (Pi-)+|p| -> (Λ,K0) それぞれの質量(_MeV) 140 938 1116 498

静止質量の和 衝突前 1078 衝突後 1614 (Pi-) のエネルギーを大きくしないと、この反応は起きない。

 (m3+m4)^2=2604996 140^2=19600 938^2=879844

 E1=(2604996-19600-879844)/(2*938)=1705552/1876~909_MeV

 Γ(b1)=909/140~6.49 1-b1=1/[2*Γ(b)^2]=1/(2*6.49^2)~0.012

 b1=1-0.012=0.988

★ p+|p| -> (p,p,Pi0) 質量(_MeV) p 938.3 Pi0 135.0

 M=2*938.3+135.0=1876.6+135.0=2011.6

 938.3^2~880407 M^2=2011.6^2~4046535

 E1=(4046535-2*880407)/(2*938.3)=1218_MeV

 Γ(b1)=1218/938.3~1.29 1-b1^2=1/1.29^2~0.6 b1=root(0.4)~0.64

★ (e+)+|e-| -> [(e+),(e-),(e+),(e-)] 陽電子、電子の質量 m

 E1=[(4*m)^2-m^2-m^2]/(2*m)=7*m そのときの運動エネルギー=6*m

 p1=root(E0^2-m^2)=4*root3*m

 b1=p1/E0=4*root3/7~0.990 {大変な実験だ!2015/3}

衝突前 全エネルギー 8*m 全質量 2*m 全運動エネルギー 6*m 全運動量 4*root3*m

衝突後 全エネルギー 8*m 全質量 4*m 全運動エネルギー 4*m 全運動量 4*root3*m

 衝突後の粒子の速さ=root3/2~0.866

◇反陽子を作る◇

◇ 陽子 p 反陽子 p! 陽子と反陽子の質量 mp mp*c^2≡@mp

◎ 反陽子を作りたい 次の反応で作る p+p ⇒ p+p+p+p!

◆ 静止している陽子に、別の陽子を衝突させる。最も少ないエネルギーで作りたいから、生成後、4つの粒子がまとまって動く場合を考える。

必要な運動エネルギー 実験室系で K 全運動量0系で KG

実験室系

(p)-E-> |p|

(p,p,p,p!)-\E->

全運動量0系

(p)-> <-(p)

|p,p,p,p!|

反応前の2陽子の運動エネルギーの最小値は 2*@mp でいいかと思うが、そうではない。粒子を作り出すエネルギーの他に、運動エネルギーを担う必要があるからである。 .

実験室系で 

エネルギー E+@mp=\E  運動量(光速倍)^2 E^2-@mp^2=\E^2-(4*@mp)^2

\E を消去して E^2-@mp^2=(E+@mp)^2-(4*@mp)^2

 E^2-@mp^2=E^2+2*E*@mp+@mp^2-16*@mp^2

 E=7*@mp K=E-@mp=6*@mp .

◇タキオン◇

◎ 光速より速い、仮想粒子

◆ 虚数単位 i タキオンの質量 i*@m0 ※ @m0 は実数

速さ(対光速比) b>1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/[i*root(b^2-1)]=-i/root(b^2-1)

■ E=(i*@m0)*Γ(b)=(i*@m0)*[-i/root(b^2-1)]=+@m0/root(b^2-1)

 p=E*b=+@m0*b/root(b^2-1)

 p^2+(i*@m0)^2
=@m0^2*b^2/(b^2-1)-@m0^2
=@m0^2*[b^2/(b^2-1)-1]
=@m0^2*[b^2-(b^2-1)]/(b^2-1)
=@m0^2/(b^2-1)
=E^2

{うまくできてる!2015/3}

「タキオン」 2015/3 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) p

◆ 虚数単位 i タキオンの質量 i*@m0 ※ @m0 は実数 (i*@m0)^2=-@m0^2

速さ(対光速比) b>1 Γ(b)=-i/root(b^2-1)

■ E=@m0/root(b^2-1) p=@m0*b/root(b^2-1) E^2=p^2+(i*@m0)^2

◆ 静止している粒子が、2つの粒子に崩壊した。元の粒子も@も通常の粒子

|◎|
<--@ A-->

@M
E1,@m1 E2,@m2

■ エネルギー保存 @M=E1+E2  運動量保存 root(E1^2-@m1^2)=root(E2^2-@m2^2)

E2 を消去すると E1^2-@m1^2=(@M-E1)^2-@m2^2

 @m2^2=@M^2+@m1^2-2*@M*E1

E1=(@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2=0 Aは質量のない粒子
E1<(@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2^2>0 Aは通常の粒子
E1 < (@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2^2<0 Aは

タキオンの質量やエネルギーがわからなくても、もう1つの粒子のエネルギーがわかれば、タキオンができているかが判定できる。{素晴らしい!2015/3}

  相対論.核反応.1次元  

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