物理 特殊相対性理論  2017/8-2013/4 Yuji.W

 ☆ 相対論.核反応.1次元

◎ 核反応 核は、質量が小さいから高速になりやすい 特殊相対性理論で扱う必要がある 1次元 直線上の運動 .

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値} 物理定数

電磁気国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
CGS静電単位系 ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T]⇔[CGS静電単位系 Bcgs=10000_G] 〔電磁気の単位

◇ 全運動量0系.1次元と元の系との関係

『相対論的運動量,エネルギー.1次元.2粒子』 2015/11

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

質量(光速の2乗倍) @m1,@m2 速さ(対光速比) b1,b2,B1,B2

エネルギー E1,E2,E1K,E2K 運動量(光速倍) pc1,pc2,pc1K,pc2K

 E1+E2≡E E1K+E2K≡EK pc1+pc2≡pc pc1K+pc2K≡pcK

■ pc1=Γ(b.)*pc1K+Γ(b.)*b.*E1K pc2=…

 E1=Γ(b.)*E1K+Γ(b.)*b.*pc1K E2=…

合計量 pc=Γ(b.)*pcK+Γ(b.)*b.*EK E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcK

■ ローレンツ不変量 E1^2-pc1^2=E1K^2-pc1K^2=@m1^2

 E2^2-pc2^2=E2K^2-pc2K^2=@m2^2

合計量 E^2-pc^2=EK^2-pcK^2≠(@m1+@m2)^2

※ ローレンツ不変量とは、ある物理量がどの慣性系でも同じ値になるという意味。エネルギー保存、運動量保存とは意味が異なる事に注意!

※ E1*E2-pc1*pc2 もローレンツ不変量

『相対論的全運動量0系.1次元.2粒子』 2015/11

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 慣性系 x系 全運動量0系 G系

x系で 速さ(対光速比) b1,b2 運動量(光速倍) pc1,pc2 エネルギー E1,E2

G系で 速さ(対光速比) b1G,b2G 運動量(光速倍) pc1G,pc2G エネルギー E1G,E2G

G系のx系に対する速さ(対光速比) b(G)

■ 全運動量0系 b(G)=(pc1+pc2)/(E1+E2)  pc1G+pc2G=0

◆ b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.) Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ Γ(b)=Γ(B)*Γ(b.)*(1+B*b.) Γ(b)*b=Γ(B)*Γ(b.)*(B+b.)

{やっと整理できた!2015/11}

◇ 静止している粒子が崩壊

◆ 静止していた粒子が2つの粒子に崩壊し、正反対に飛び去る。運動量保存より、現象は1次元に限られる。質量欠損が必ず起きる。その分のエネルギーが、崩壊後の運動エネルギーになる。

|M|

<-E1,p1,b1--(m1) (m2)--E2,p2,b2->

 質量 m 静止質量エネルギー @m 全エネルギー E

■ エネルギー保存 E1+E2=@M 運動量保存 E1^2-@m1^2=E2^2-@m2^2

 E1^2-@m1^2=(@M-E1)^2-@m2^2

 E1=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M)
同様に E2=(@M^2-@m1^2+@m2^2)/(2*@M)
.

崩壊後の質量がわかっていれば、エネルギーは決定される。逆に、崩壊後のエネルギーを求める事ができれば、崩壊後の粒子の質量がわかる。 .

■ 運動エネルギー K1
=E1-@m1
=(@M^2+@m1^2-@m2^2-2*@M*@m1)/(2*@M)
=[(@M-@m1)^2-@m2^2]/(2*@M)

》K1=[(@M-@m1)^2-@m2^2]/(2*@M)
 K2=[(@M-@m2)^2-@m1^2]/(2*@M) .

 K1+K2={[(@M-@m1)^2-@m2^2]+[(@M-@m2)^2-@m1^2]}/(2*@M)

 分子
=[@M^2-2*@M*@m1+@m1^2-@m2^2]
 +[@M^2-2*@M*@m2+@m2^2-@m1^2]
=2*@M^2-2*@M*(@m1+@m2)
=2*@M*(@M-@m1-@m2)

 K1+K2=2*@M*(@M-@m1-@m2)/(2*@M)=@M-@m1-@m2

≫ K1+K2=@M-@m1-@m2 .(全運動エネルギー)=(質量が減った分)

■ p1=@m1*Γ(b1)*b1 p2=@m2*Γ(b2)*b2

運動量 p1+p2=0 より

 m1/m2=@m1/@m2=[Γ(b2)*|b2|/[Γ(b1)*|b1|] .

◇ 静止している粒子が崩壊

◆ 静止していた粒子が2つの粒子に崩壊し、正反対に飛び去る。運動量保存より、現象は1次元に限られる。質量欠損が必ず起きる。その分のエネルギーが、崩壊後の運動エネルギーになる。

|M|

<-E1,p1,b1--(m1) (m2)--E2,p2,b2->

 質量 m 静止質量エネルギー @m 全エネルギー E 運動エネルギー K

■ エネルギー保存 E1+E2=@M 運動量保存 E1^2-@m1^2=E2^2-@m2^2

 E1=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M)

 K1=[(@M-@m1)^2-@m2^2]/(2*@M)

 m1/m2=[Γ(b2)*|b2|/[Γ(b1)*|b1|] .

◇ 動いている粒子が崩壊 ◇

◆ 1次元 直線上の運動 速さ b で動いている粒子(質量 M)が2粒子に崩壊した

(M)--E,pc,b->

(m1)--#E1,#p1,#b1-> (m2)--#E2,#p2,#b2->

■ それぞれの粒子で E=@m*Γ(b) pc=@m*Γ(b)*b E^2-pc^2=@m^2

エネルギー保存 #E1+#E2=E  運動量保存 #pc1+#pc2=pc

系全体で (#E1+#E2)^2-(#pc1+#pc2)^2=E^2-pc^2=@M^2

◇ 動いている粒子が同質量の2粒子に崩壊

◎ 同質量の2粒子 {核心!}

◆ 1次元 直線上の運動 速さ b で動いている粒子(質量 M)が、同質量(質量 m)の2粒子に崩壊した。M>2*m

実験室系

(M)--E,pc,b->

(m)--#E1,#pc1,#b1-> (m)--#E2,#pc2,#b2->

全運動量0系

|M|

<-#EG,#pcG,#bG--(m) (m)--#EG,#pcG,#bG->

全運動量0系の実験室系に対する速さ(対光速比) b(G)=b

全運動量0系では、運動量保存より、新しい2粒子の運動量の大きさが等しくなる。質量も等しいのだから、速さの大きさも、エネルギーも等しくなる。

■ 全運動量0系で エネルギー #EG=@M/2

これを使って、#bG を求める事ができる。

方法@ #pcG=root(#EG^2-@m^2) #bG=#pcG/#EG

方法A #EG=@m*Γ(#bG) を使う

#bG を求める事ができたら、

 #b1=-#bG+b(G)=-#bG[+]b=(-#bG+b)/(1-#bG*b) &

 #b2=#bG+b(G)=#bG[+]b=(#bG+b)/(1+#bG*b)

これで、実験室系のエネルギーや運動量も求める事ができる。

{別解} #pcG を求めて、ローレンツ変換して、b(G)=b に注意して、

 #E1=Γ(b)*#EG-[Γ(b)*b]*#pcG #E2=Γ(b)*#EG+[Γ(b)*b]*#pcG

{別解2} 全運動量0系を使わないで、実験室系だけの計算でも、求める事ができる。

次のように諸量を定める。

(M)--E,pc->

(m)--#E1-> (m)--#E2->

M,m,E,pc:既知量 #E1,#E2:未知量

崩壊前と崩壊後で エネルギー #E1+#E2=E

 運動量 root(#E1-@m^2)+root(#E2-@m^2)=pc

#E1=x,#E2=y と書き直すと、

 x+y=E root(x^2-@m^2)+root(y^2-@m^2)=pc

y を消去して root(x^2-@m^2)+root[(E-x)^2-@m^2]=pc

 root[(E-x)^2-@m^2]=pc-root(x^2-@m^2)

両辺を2乗して

 左辺=(E-x)^2-@m^2=x^2-2*E*x+E^2-@m^2

 右辺
=pc^2-2*pc*root(x^2-@m^2)+(x^2-@m^2)
=x^2+pc^2-@m^2-2*pc*root(x^2-@m^2)

 x^2-2*E*x+E^2-@m^2=x^2+pc^2-@m^2-2*pc*root(x^2-@m^2)

 2*pc*root(x^2-@m^2)=2*E*x-(E^2-pc^2)

E^2-pc^2=@M^2 だから 2*pc*root(x^2-@m^2)=2*E*x-@M^2

 root(x^2-@m^2)=(E/pc)*x-@M^2/(2*pc)

両辺を2乗して x^2-@m^2=(E/pc)^2*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)

 [(E/pc)^2-1]*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)+@m^2=0

(E/pc)^2-1=(E^2-pc^2)/pc^2=(@M/pc)^2 だから、

 (@M/pc)^2*x^2-(E*@M^2/pc^2)*x+@M^4/(4*pc^2)+@m^2=0

 x^2-E*x+[(@M/2)^2+(pc*@m/@M)^2]=0

 #E1
=x
=E/2±root[E^2-@M^2-4*(pc*@m/@M)^2]/2
=E/2±(pc/@M)*root[@M^2-(2*@m)^2]/2 

≫ #E1=E/2±(pc/@M)*root[(@M/2)^2-@m^2] .

さらに E/2=@M*Γ(b)/2=EG*Γ(b) pc/@M=Γ(b)*b root[(@M/2)^2-@m^2]=#pcG だったから、

 #E1=EG*Γ(b)±Γ(b)*b*#pcG .ローレンツ変換して得た値{素晴らしい!2015/11}

◇ 同質量の2粒子が衝突、合体

◆ 同質量(質量 m)2粒子が衝突、合体 衝突後の質量 M≠2*m

実験室系で一方が静止 重心系の実験室系に対する速さ b(G)

実験室系

(m)--E1,pc1,b1-> |m|

(M)--#E,#pc,#b->

全運動量0系

(m)--EG,pcG,bG-> <-EG,pcG,bG--(m) 

|M|

同質量の場合 b(G)=[Γ(b1)*b1+Γ(b2)*b2]/[Γ(b1)+Γ(b2)]

さらに b2=0 b(G)=Γ(b1)*b1/[1+Γ(b1)]

■ 全運動量0系で 2*EG=@M EG=@m*Γ(bG)

 Γ(bG)=EG/@m=@M/(@m/2) bG がわかる b(G)=bG b(G) がわかる

 b1=bG[+]b(G)=[bG+b(G)]/[1+bG*b(G)]=2*bG/(1+bG^2) .

◇ 衝突&合体

◎ 同質量2粒子を衝突させ、新しい粒子1個を作る。なるべく小さいエネルギーで、新しい粒子を作りたい。

■ b~1 のとき 1-b=1/[2*Γ(b)^2]

◆ 衝突前の2粒子の質量 m 新しい粒子の質量 M

実験室系(一方が静止)

運動量0系

●--> |●|
○->

E0,m m
E,M

●-> <-●
|○|

EG,m EG,m
M

■ まず、運動量0系で考える。

・衝突前の2粒子の運動量は、大きさは等しく、方向は逆。
・衝突前の2粒子のエネルギーは等しい。
・衝突後の新しい粒子は静止する。
・2*EG=M となる場合を考える。2*EG<M なら 新しい粒子は生成されない。2*EG>M なら 余分なエネルギーを持ち去る必要がある。別の粒子が生成されるとか、粒子が振動するとか…。

エネルギー EG=M/2 .運動量0系の閾値エネルギー ちょうどこの値で、新しい粒子が生成される。

■ M が既知量であれば、EG がわかり、衝突前の粒子の速さもわかる。ローレンツ変換すれば、実験室系のエネルギー、運動量、速さなど、すべて求められる。

■ 実験室系で考える。

エネルギー E0+m=E 運動量^2 E0^2-m^2=E^2-M^2

E を消去すれば E0^2-m^2=(E0+m)^2-M^2

 E0^2-m^2=E0^2+2*E0*m+m^2-M^2

 E0=(M^2-2*m^2)/(2*m) .実験室系の閾値エネルギー ちょうどこの値で、新しい粒子が生成される。

■ E0/EG
=[(M^2-2*m^2)/(2*m)]/(M/2)
=(M^2-2*m^2)/(M*m)
=M/m-2*m/M

M>>m のとき E0/EG~M/m .

▲ 運動量0系で、正面衝突させる場合、新しく生成される粒子の質量は、衝突前の粒子のエネルギーに比例する。

実験室系で M<<m のとき M=root(2*m*E0) 一方が静止している場合、新しく生成される粒子の質量は、衝突前の粒子のエネルギーの平方根にしか比例しない。効率が悪い。

◇ 同質量2粒子の衝突

◆ 同質量 m の2粒子の衝突 実験室系で一方が静止

実験室系(一方が静止)

全運動量0系

●-->  |●|
|●| ●-->

E,@m,b @m
@m E,@m,b

●--> <--●
<--● ●-->

EG,@m,b(G) EG,@m,b(G)
EG,@m,b(G) EG,@m,b(G)

■ b(G)=root(E^2-@m^2)/(E+@m) EG=@m*Γ(b(G)) .

◇ 2粒子⇒新しい2粒子、閾値

◆ 異なる質量の2粒子を衝突させ、全く新しい2粒子を生成したい。

なるべく少ないエネルギーで生成したい。全運動量0系で、衝突後、静止する場合を考えればよい。

実験室系(一方は静止)

全運動量0系

m1--> |m2|

(m3,m4)->

E1,m1 m2
#E,(m3+m4)

m1--> <-m2
|m3,m4|

E1G,m1 E2G,m2
m3,m4

 m3+m4≡M

運動量0系で 

エネルギー E1G+E2G=@m3+@m4=@M

運動量 E1G^2-@m1^2=E2G^2-@m2^2

上記の2式より E2G を消去すれば、

 E1G^2-@m1^2=@M^2-@m2^2

 2*E1G*@M=@M^2+@m1^2-@m2^2

 E1G=(@M^2+@m1^2-@m2^2)/(2*@M) .閾値 

 E2G=(@M^2-@m1^2+@m2^2)/(2*@M) .閾値 

実験室系で 全運動量0系での考察により、衝突後、新しい2粒子が同じ速さで動く場合が、最もエネルギーが少なくてすむ。

全運動量0系の速さを求めて、実験室系に換算してもよいが、異なる質量の2粒子が衝突し、1つの粒子になる場合を考えればよい。

エネルギー E1+@m2=#E  運動量 E1^2-@m1^2=#E^2-@M^2

#E を消去して E1^2-@m1^2=(E1+@m2)^2-@M^2

 E1=(@M^2-@m1^2-@m2^2)/(2*@m2) .閾値 

※ @M=@m3+@m4 の部分は、新しい粒子の和だから、粒子の数に関係なく成り立つ量である

◇ 反陽子を作る

◇ 陽子 p 反陽子 p! 陽子と反陽子の質量 mp mp*c^2≡@mp

◎ 反陽子を作りたい 次の反応で作る p+p ⇒ p+p+p+p!

◆ 静止している陽子に、別の陽子を衝突させる。最も少ないエネルギーで作りたいから、生成後、4つの粒子がまとまって動く場合を考える。

必要な運動エネルギー 実験室系で K 全運動量0系で KG

実験室系

(p)-E-> |p|

(p,p,p,p!)-#E->

全運動量0系

(p)-> <-(p)

|p,p,p,p!|

反応前の2陽子の運動エネルギーの最小値は 2*@mp でいいかと思うが、そうではない。粒子を作り出すエネルギーの他に、運動エネルギーを担う必要があるからである。 .

実験室系で 

エネルギー E+@mp=#E  運動量(光速倍)^2 E^2-@mp^2=#E^2-(4*@mp)^2

#E を消去して E^2-@mp^2=(E+@mp)^2-(4*@mp)^2

 E^2-@mp^2=E^2+2*E*@mp+@mp^2-16*@mp^2

 E=7*@mp K=E-@mp=6*@mp .

◇ タキオン

◎ 光速より速い、仮想粒子

◆ 虚数単位 i タキオンの質量 i*@m0 ※ @m0 は実数

速さ(対光速比) b>1 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/[i*root(b^2-1)]=-i/root(b^2-1)

■ E=(i*@m0)*Γ(b)=(i*@m0)*[-i/root(b^2-1)]=+@m0/root(b^2-1)

 p=E*b=+@m0*b/root(b^2-1)

 p^2+(i*@m0)^2
=@m0^2*b^2/(b^2-1)-@m0^2
=@m0^2*[b^2/(b^2-1)-1]
=@m0^2*[b^2-(b^2-1)]/(b^2-1)
=@m0^2/(b^2-1)
=E^2

{うまくできてる!2015/3}

「タキオン」 2015/3 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) p

◆ 虚数単位 i タキオンの質量 i*@m0 ※ @m0 は実数 (i*@m0)^2=-@m0^2

速さ(対光速比) b>1 Γ(b)=-i/root(b^2-1)

■ E=@m0/root(b^2-1) p=@m0*b/root(b^2-1) E^2=p^2+(i*@m0)^2

◆ 静止している粒子が、2つの粒子に崩壊した。元の粒子も@も通常の粒子

|◎|
<--@ A-->

@M
E1,@m1 E2,@m2

■ エネルギー保存 @M=E1+E2  運動量保存 root(E1^2-@m1^2)=root(E2^2-@m2^2)

E2 を消去すると E1^2-@m1^2=(@M-E1)^2-@m2^2

 @m2^2=@M^2+@m1^2-2*@M*E1

E1=(@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2=0 Aは質量のない粒子
E1<(@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2^2>0 Aは通常の粒子
E1 < (@M^2+@m1^2)/(2*@M) のとき @m2^2<0 Aは

タキオンの質量やエネルギーがわからなくても、もう1つの粒子のエネルギーがわかれば、タキオンができているかが判定できる。{素晴らしい!2015/3}

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