☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/3-2013/3 Yuji.W

光行差

◎ 特殊相対性理論 光行差 年周光行差

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 -

☆光行差-非相対論☆

◎ 相対論的効果を考えるときに、次の2種類があることに注意するべきである。

@ 非相対論では、その効果はない。相対論で初めて表れる効果。同時性の破れ、長さの短縮など。

A 非相対論でも、その効果がある。座標系の動く速さが大きくなると、その効果が大きくなり、修正が必要になる。

「光行差」は、Aの場合である。非相対論でも「光行差」はある{!}

■ x系でy軸の向きに動く物体 その速さ uy ux=0

X系はx系の正の向きに、速さ v. で進む

X系で Ux=-v. Uy=uy

x軸(X軸)の負の方向に成分を持つことになる。その物体が向かう方から物体の動きを見ると、x軸(X軸)の正の方向に傾いた方向から来るように観測される。【

 その傾く角度 a_rad tan(a)=v./uy【

■ When{uy=c} その傾く角度 a_rad tan(a)=v./c

v.<<c のとき、tan(a)=a_rad だから、a_rad=v./c【光行差{!}

☆光行差-相対論☆

◎ 運動している方向に対して垂直な方向から光が来る。

◆ 2つの慣性系x系、X系を考える。x系は、X系のX軸の負の方向へ、X系は、x系のx軸の正の方向へ、速さ v. で動く。

地球の公転に対する光行差を考えるときは、宇宙全体をx系、地球の公転の動きの短い部分をX系とする。

x系(宇宙)でy軸の負の方向に光が来る その速さ c

◇ b.=v./c

■ 相対論で、速度の合成を考えて、

X系(地球)で、光のY成分 c/Γ X成分 -v.

光を受け取る観測者からは、X軸の正の方向(X系が進む方向)に少し傾いた位置から光が来るように観測される。その傾く角度 a_rad a_rad<<1

 tan(a_rad)=Γ*v./c=Γ*b.

 1+(Γ*b.)^2=1+b.^2/(1-b.^2)=1/(1-b.^2)

 cos(a_rad)^2=1-b.^2

 sin(a_rad)^2=b.^2 sin(a_rad)=b.=v./c

まとめて tan(a_rad)=Γ*v./c sin(a_rad)=v./c【

★ 真横にある光源からの光が、前方に傾いて見える角度を求めよう。

 v./c=0.5 a=arcsin(0.5)=30_°
 v./c=0.8 a=arcsin(0.8)~53_°
 v./c=0.9 a=arcsin(0.9)~64_°
 v./c=0.99 a=arcsin(0.99)~82_° 真横にあるはずの物が前方に見える

■ If{v./c<<1} a_rad=v./c【光行差(地球の公転に対する光行差)

地球の公転速度 30km/sec a_rad=v./c=3*Ten(4)/[3*Ten(8)]=Ten(-4)

1_rad=(180/Pi)_°=(180/Pi)*3600_秒~2.06*Ten(5)_秒 ※角度の「秒」

 Ten(-4)_rad=Ten(-4)*2.06*Ten(5)_秒=20.6_秒

実際の観測結果 20.5秒


◆ 地球 光行差 ae 公転半径 Re 公転周期 Te 公転速度 Ve

別の惑星 光行差 a 公転半径 R 公転周期 T 公転速度 V

■ a/ae=V/Ve=(R/Re)*(Te/T)

★ 火星 光行差 a 公転半径 R=2.28*Ten(11)_m 公転周期 T=687_day
地球 光行差 ae=20.5_秒 公転半径 Re=1.50*Ten(11)_m 公転周期 Te=365_day

 a=20.5*(2.28/1.5)*(365/687)~20.5*1.52*0.53=16.5_秒

★ 人工衛星 光行差 a 公転半径 R=4.4*Ten(7)_m 公転周期 T=1.5/24=0.0625_day

 a=20.5*(4.4/15000)*(365/0.0625)~35_秒

☆光行差-平面波☆

◎ 平面波をローレンツ変換して、光行差を導出しよう。 

◆ X系で、Y軸の負の方向に進む平面波 H(X,T)/H0 c=W/K

 H(X,T)/H0=sin(W*T+K*Y)=sin[W*(T+Y/c)]

■ x系の値 <t|x|y) にローレンツ変換する。

 T=Γ*(t-v.*x/c^2)  X=Γ*(x-v.*t) Y=y

 W*(T+Y/c)
=W*[Γ*(t-v.*x/c^2)+y/c]
=W*Γ*t+W*(y/c-Γ*v.*x/c^2)

 w=Γ*W kx=-Γ*W*v./c^2=-Γ*(W/c)*b. ky=W/c

光を受け取る観測者からは、X軸の正の方向(X系が進む方向)に少し傾いた位置から光が来るように観測される。その傾く角度 a_rad a_rad<<1

 tan(a)=|kx/ky|=Γ*v./c【

■ k=root(kx^2+ky^2)=(W/c)*root(Γ^2*b.^2+1)=Γ*W/c

 速さ=w/k=(Γ*W)/(Γ*W/c)=c【】光速度は変わらない{ほんと、相対論はよくできてる!2014/3}

☆年周光行差☆

◎ 地球の公転速度は、30km/sec であって、非常に速い。これを利用して、光の光行差を求めようとした人がいた。

James Bradley 1693-1762 イギリス 1728年に光行差を求めた。後にグリニッジ天文台長になった。

■ 地球の公転面に垂直な位置に近い星ほど、光行差は大きい。地球の動く方向にその角度はずれていくから、1年で、天球に半径20秒の円を描くことになる。

ただし、近くの星も同様な動きをするから、写真を撮っても、光行差を示す証拠は得られない。公転面に垂直な位置に近い星と、公転面に近い星の位置関係を比べる必要がある。1年間で40秒ほど、100分の1°ほどのずれが記録される。それを観測しなくてはならない。

■ 太陽系の動き、銀河系の動きによる光行差もあるが、1年間で向きが変わるというようなことない。いつでも、どの星でも、同じ値だけずれているので、光行差を検出することはできない。

  光行差  

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