☆量子力学の原理Uz

☆お勉強しようwithUz☆　物理.量子力学

2016/2-2013/5　Yuji.W

☆量子力学の原理☆

◎

◇ ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　積分$*dx　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　〔物理定数〕 ★.

☆量子力学の第1原理☆

「量子力学の第1原理」

◆ 理想的実験　外部から不確かな影響を受けないとする。

　確率 P　ひとつの実数　0<P<1
　確率振幅 Pa　ひとつの複素数　0<|Pa|<1

あるひとつの事象が異なる過程1と2で起きる場合

　過程1を経て起きる確率 P1　確率振幅 Pa1=|Pa1|*expi(∠Pa1)
　過程2を経て起きる確率 P2　確率振幅 Pa2=|Pa2|*expi(∠Pa2)

　その事象が起きる確率 P　確率振幅 Pa

■ 原理1　確率と確率振幅の関係

　P=|Pa|^2　P1=|Pa1|^2　P2=|Pa2|^2

※ 過程1だけ起こるように制御すれば　P=P1=|Pa1|^2
　過程2だけ起こるように制御すれば　P=P2=|Pa2|^2

■ 原理2　同一の事象が、区別のつかない2つの過程で起きている場合(量子力学的な世界)

　not[P=P1+P2]　Pa=Pa1+Pa2〔★〕確率振幅の和

　P
=|Pa|^2
=|Pa1+Pa2|^2
=|Pa1|^2+|Pa2|^2+2*|Pa1|*|Pa2|*cos(∠Pa1-∠Pa2)
=P1+P2+2*root(P1*P2)*cos(∠Pa1-∠Pa2)〔★〕干渉を起こす

▲ 位相差 ∠Pa1-∠Pa2 に応じて、干渉の大きさが決まる

※ 別の過程ではあるが、始まりと終わりの状態は同じ事象である場合を扱っている。別の事象は、干渉は起きない。

{こうやって求めた確率の総和は 1 になるのだろうか?2013/5}

■ 原理3　過程1と2で、どちらが起きているか決定できる場合(常識的な世界)

　not[Pa=Pa1+Pa2]　P=P1+P2=|Pa1|^2+|Pa2|^2〔★〕確率の和

■

☆ディラック記法,量子力学の一般原理☆

◎ 2重スリットの事象を、ディラック記法を使って表す

◆ 電子が s を出る。2重スリットを通り、スクリーン上の x の位置に到達する

■ s を出て、x に到達する確率振幅 Pa=<x|s>　ディラック記法

　その確率 P=|Pa|^2=|<x|s>|^2〔★〕量子力学の一般原理①

■ s を出て、スリット i を通り、スクリーン上の x に到達する確率振幅 Pai
　Pa1=<x|1>*<1|s>　Pa2=<x|2>*<2|s>〔★〕量子力学の一般原理②

▲ 続いて起きる2つの事象の確率振幅が、それぞれの事象の確率振幅の積になる{!}　※ <|> ひとつの複素数　<|>*<|> ふたつの複素数の積

■ スリット1だけ開けておけば　Pa=Pa1=<x|1>*<1|s>

■ s を出て、スリット1か2のどちらかを通り、スクリーン上の x に到達する確率振幅 Pa　確率 P

同一の事象が、区別のつかない2つの過程を通して起きているから、干渉が起きて、

　Pa=Pa1+Pa2　すなわち　<x|s>=<x|1>*<1|s>+<x|2>*<2|s>〔★〕

量子力学の一般原理③

　確率 P=|<x|s>|^2=|<x|1>*<1|s>+<x|2>*<2|s>|^2

▲ 区別のつかない2つの過程を通して起きる事象のそれぞれの確率振幅の和が、その事象の確率振幅になる{!}

◆ 2重スリット1,2+3重スリットa,b,c

　i=1,2　j=a,b,c

■ 確率振幅 Pa=<x|s>=Σ{<x|j>*<j|i>*<i|s>}[i=1,2　j=a,b,c]

☆2重スリット☆

● h.=h/(2Pi)　角振動数 w=E/h.　(角)波数 k=p/h.
　p^2*c^2=E^2-(m0*c^2)^2

◆ 光源 s を出た光子が、距離 r だけ離れた検出器 D に到達する

　Pa=<D|s>=A*expi(k*r)/r　P=|A|^2/r^2

2重スリット　光源からスリットまでの距離(両方等しいとして) rs

スリットからスクリーン上の位置までの距離 r1,r2

Aの値は2つのスリットで等しく、ひとつの実数であるとする。

■ 事象[光源 s ---> 2重スリット ---> スクリーン上 x]

　Pa
=<x|s>
=<x|1>*<1|s>+<x|2>*<2|s>
=[A*expi(k*r1)/r1]*[A*expi(k*rs)/rs]
+[A*expi(k*r2)/r2]*[A*expi(k*rs)/rs]
=A^2*{expi(k*rs)]^2/rs^2}*[expi(k*r1)/r1+expi(k*r2)/r2]〔★〕

　P
=|Pa|^2
∝ [expi(k*r1)/r1+expi(k*r2)/r2]*[expi(-k*r1)/r1+expi(-k*r2)/r2]
=1/r1^2+1/r2^2+2*cos[k*(r1-r2)]/(r1*r2)
∝ 1+cos[k*(r1-r2)]〔★〕

☆自由粒子☆

● h.=h/(2Pi)　角振動数 w=E/h.　(角)波数 k=p/h.
　p^2*c^2=E^2-(m0*c^2)^2

◆ 粒子　質量 m　エネルギー=一定　定常状態(時間に依存しない)
　自由粒子(力を受けない)　<r1>から<r2>まで移動する
　<r12>=<r2>-<r1>　運動量 <p>

■ 確率振幅 <r2|r1> ∝ expi[<p>*<r12>/h.]/r12〔★〕自由粒子、定常状態

★

☆2つの粒子☆

◎ 2つの粒子が、ある定まった空間を動いている。空間を左右に分け、左と右はすべてにおいて同等だとする。ある瞬間に、粒子が、左右どちらの空間にあるかを考える。

2つの粒子が区別できるとき(2人の人間など)

　2つの粒子が左の空間にある確率 1/4

　2つの粒子が右の空間にある確率 1/4

　2つの粒子が1つずつ左右の空間にある確率 1/2

2つの粒子が区別できないとき(スピンを考えないときの2つの電子など)

　2つの粒子が左の空間にある確率 1/3

　2つの粒子が右の空間にある確率 1/3

　2つの粒子が1つずつ左右の空間にある確率 1/3

以上の結果を、確率振幅を使って、どのように求めたらよいのだろう{?2013/5}

◆ 粒子iが左に空間にある確率振幅 <i,L>　右にある確率振幅 <i,R>

　2つの粒子が1つずつ左右の空間にある確率振幅 Pa　その確率 P=|Pa|^2

■ <1,L>=<1,R>=1/root2　<2,L>=1/root2　<2,R>=1/roo2　のとき、

　Pa=<1,L>*<2,R>+<1,R>*<2,L>=1　P=1

■ <1,L>=<1,R>=1/root2　<2,L>=1/root2　<2,R>=-1/roo2　のとき、

　Pa=-1+1=0　P=0

■ <1,L>=<1,R>=1/root2　<2,L>=1/root2　<2,R>=i/roo2　のとき、

　Pa=(1+i)/2　P=1/2

■ <1,L>=<1,R>=1/root2　<2,L>=1/root2　<2,R>=-i/roo2　のとき、

　Pa=(1-i)/2　P=1/2

■ <1,L>=<1,R>=1/root2　<2,L>=1/root2　<2,R>=expi(x)/roo2　のとき、

　Pa=[1+expi(x)]/2　P=[1+cos(x)]/2

　P_avg=1/2

◎ 平均を考えると、確率が 1/3 ずつになるのだろうか{?2013/5}

★　量子力学の原理　★