| ☆お勉強しようwithUz☆ 物理.量子力学 |
2016/2-2011/11 Yuji.W |
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☆量子力学.自由粒子.1次元☆ |
◎ 動ける範囲が定められた場合 量子力学 1次元 力が働かない
◇ プランク定数 h ディラック定数 h.=h/(2*Pi) [エネルギー*時間]
◇
ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 〔物理定数〕 ★.
| ☆量子力学.自由粒子.1次元☆ |
◎ 1粒子がある定まった全エネルギーを持つ、位置エネルギーが定数
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『シュレディンガー方程式』 2015/10 ① シュレディンガー方程式 i*h.*[ψ(x,t);t]=[H]ψ(x,t) ② 定常状態(存在確率が時間に依らない場合) [H]φ(x)=E*φ(x) ③ 非相対論.1次元.定常状態.1個の粒子 力がポテンシャルで表せる(電場など) φ(x);;x+(2*m/h.^2)*[E-V(x)]*φ(x)=0 |
◎ 等速直線運動をする粒子を、量子力学的に扱う
◆ ある定まった全エネルギー E を持った粒子 質量 m
位置エネルギー V(x)=V0=定数 の場合
■ シュレディンガー方程式 φ(x);;x=-[2*m*(E-V0)/h.^2]*φ(x)
V0=0 のとき root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数 と置くと、
φ(x);;x=-k0^2*φ(x) 基本解 expi(k0*x) , expi(-k0*x) 周期関数 ★.
E>V0 のとき root[2*m*(E-V0)]/h.≡k1=正の定数 と置くと、
φ(x);;x=-k1^2*φ(x) 基本解 expi(k1*x) , expi(-k1*x) 周期関数 ★.
E<V0 のとき root[2*m*(V0-E)]/h.≡k2=正の定数 と置くと、
φ(x);;x=+k2^2*φ(x) 基本解 exp(k2*x) , expi(-k2*x) 指数関数 ★.
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『量子力学.1次元.自由粒子』 2015/10 ◆ 質量 m 全エネルギー E=定数 位置エネルギー V(x)=V0=定数 root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数 root[2*m*(E-V0)]/h.≡k1=正の定数 ※ E-V0=運動エネルギー root[2*m*(V0-E)]/h.≡k2=正の定数 ■ V0=0 のとき 基本解 expi(k0*x) , expi(-k0*x) 周期関数 E>V0 のとき 基本解 expi(k1*x) , expi(-k1*x) 周期関数 E<V0 のとき 基本解 exp(k2*x) , exp(-k2*x) 指数関数(古典論では存在しない) |
{ここがわかってなかった!2015/10}
| ☆無限大の位置エネルギーに囲まれている場合☆ |
◎ 粒子の動ける範囲が制限される
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『定在波.1次元』 2015/9 ◆ 定在波 x=0 , L で z=0 波の(位相)速度 v ■ z(x,t)=z0*sin(k*x)*cos(w*t)〔n=整数 k=n*Pi/L w=k*v=n*Pi*v/L〕
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◆ 1粒子が動ける範囲を x=0~x=L〔L:正の定数〕とする
x=0 , x=L の所で、位置エネルギーが正の無限大になると考える。その他の位置で、V=0
x=0 , x=L で φ(x)=0 root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数
■ [長さ L にある波の数]=[k0/(2Pi)]*L
波は長さ 2*L に間に自然数個あるとして [k0/(2Pi)]*(2*L)=n〔n:自然数〕
k0=n*Pi/L
φ(x)=φ0*sin(n*Pi*x/L) ★.
※ もちろん、シュレディンガー方程式を満たしている
そのとき k(n)=n*Pi/L p(n)=n*Pi*h./L E(n)=n^2*[(Pi*h.)^2/(2*m)]/L^2 ★.
(角)波数やエネルギーが、長さ L の関数になっていて、自由な値を取る事ができない
■
${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]
=${|sin[n*(Pi/L)*x] |^2*dx}[x:0~L]
=(1/2)*L*1
=L/2 だから、
規格化した状態関数 φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 ★.
| ☆基底エネルギー☆ |
● プランク定数 h=4.14*Ten(-21)_MeV*sec h*c=1.24*Ten(-6)_eV*m
ディラック定数 h.=6.58*Ten(-22)_MeV*sec
@m=電子の質量*c^2=古典電子半径=2.8*Ten(-15)_m
1_MeV=1.60*Ten(-13)_J
■ 電子 m*c^2≡@m=0.510_MeV
[(Pi*h.)^2/(2*m)]
=[(h/2)^2/(2*m)]
=[(h*c/2)^2/(2*@m)]=(h*c)^2/(8*@m)
[(Pi*h.)^2/(2*m)]
=(h*c)^2/(8*@m)
=[1.24*Ten(-6)]^2/{8*[0.51*Ten(6)]}
=3.77*Ten(-19)_eV*m^2
■ L=10_cm のとき
基底エネルギー E(1)=[(Pi*h.)^2/(2*m)]/0.1^2=3.77*Ten(-17)_eV ★.
可視光の光子1個で 1_eV テレビ電波の光子1個で Ten(-9)_eV
電子のエネルギーが離散的(とびとび)であると言われても、検出できない。連続量であると見なしてよい事がわかる。
■ 電子を、直径の10倍の長さに閉じ込める L=5.6*Ten(-14)_m
E(1)=[3.77*Ten(-19)]/[5.6*Ten(-14)]^2=1.20*Ten(8)_eV=120_MeV ★.
| ☆存在確率☆ |
◆ 1個の粒子 質量 m 位置エネルギー V=0 定常状態 粒子の動ける範囲 x=0~L
状態関数 φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)
粒子が x=A~B にある存在確率 P(A~B)
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■ ${sin(x)^2*dx}=x/2-sin(2*x)/4 ${sin(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]=Pi/4 ■ ${sin(a*x)^2*dx}=x/2-sin(2*a*x)/(4*a) ${sin(a*x)^2*dx}[x:0~Pi/(2*a)]=Pi/(4*a) ▲ 関数 sin(x)^2 の x=0~Pi を6等分した図形面積の比 0~Pi の面積を 1 として、 ①3% ②17% ③30% ④30% ⑤17% ⑥3% |
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■ ${sin(n*Pi*x/L)^2*dx}=x/2-sin(2*n*Pi*x/L)/(4*n*Pi/L) ■ n:整数 のとき ${sin(n*Pi*x/L)^2*dx}[x:0~L]=L/2 |
■ P(A~B)
=${|φn(x)|^2*dx}[x:A~B]
=(2/L)*${sin[n*(Pi/L)*x]^2*dx}[x:A~B]
=(2/L)*[x/2-sin(2*n*Pi*x/L)/(4*n*Pi/L)][x:A~B]
=x/L-sin(2*n*Pi*x/L)/(2*n*Pi)][x:A~B]
=(B-A)/L-[sin(2*n*Pi*B/L)-sin(2*n*Pi*A/L)]/(2*n*Pi)
≫ P(A~B)=(B-A)/L-[sin(2*n*Pi*B/L)-sin(2*n*Pi*A/L)]/(2*n*Pi) ★.
▲ 関数 sin(x)^2 の x=0~Pi を6等分した図形面積の比 0~Pi の面積を 1 として、
①3% ②17% ③30% ④30% ⑤17% ⑥3%
x=L/3~2*L/3 の存在する確率=60%
▲ n=2 のとき 左右２つの部分の存在確率が大きい 中央付近は小さい
n=3 のとき 3つの位置にしぼられてくる
その和 端にある存在確率は小さいものの、だいぶならされてきて、位置によって存在確率があまり変わらないようになってくる{おもしろい!2015/9}
★ n=3 のとき
P(A~B)=(B-A)/L-[sin(6*Pi*B/L)-sin(6*Pi*A/L)]/(6*Pi)
P(L/12~L/4)=1/6-[-1-1]/(6*Pi)=1/6+1/(3*Pi)~0.17+0.11=0.28
| ☆エネルギー☆ |
◆ φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 [H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x]
■ エネルギーの固有値
φn(x);;x=-(n*Pi/L)^2*root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)=-(n*Pi/L)^2*φn(x)
[H]φn(x)
=-[h.^2/(2*m)]*φn(x);;x
=+[h.^2/(2*m)]*(n*Pi/L)]^2*φn(x)
=+[n^2*Pi^2*h.^2/(2*m*L^2)]*φn(x)
Pi^2*h.^2/(2*m*L^2)=E1 と置くと、
[H]φn(x)=+n^2*E1*φn(x)
En=n^2*E1 ★.
■ エネルギーの期待値
φn(x)の複素共役関数 φn(x)!=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)=φn(x)
${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]=1 だったから、
@En
=${φn(x)!*[[H]φn(x)]*dx}[x:0~L]
=+[n^2*Pi^2*h.^2/(2*m*L^2)]*${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]
=n^2*Pi^2*h.^2/(2*m*L^2)
=E1*n^2 ★.
| ☆位置の平均値☆ |
◆ φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 位置の平均値 @x(n)
※ |φn(x)|^2 が x=L/2 について線対称だから @x(n)=L/2
■ 計算で求めよう
${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]=1 だから、
@x(n)
=${φn(x)!*[x*φn(x)]*dx}[x:0~L]
=${x*φn(x)^2*dx}[x:0~L]
=(2/L)*${x*sin(n*Pi*x/L)^2*dx}[x:0~L]
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■ ${x*sin(k*x)^2*dx} まず sin(k*x)^2=[1-cos(k*x)]/2 を使って、 ${x*sin(k*x)^2*dx}=(1/2)*${[x-x*cos(k*x)]*dx} 第1項 ${x*dx}=x^2/2 第2項 ${x*cos(k*x)]*dx} ${x*sin(k*x)^2*dx}=x^2/4-x*sin(k*x)/(4*k)-cos(k*x)/(2*k^2) |
${x*sin(n*Pi*x/L)^2*dx}
=x^2/4-x*sin(n*Pi*x/L)/(4*n*Pi/L)-cos(n*Pi*x/L)/(2*n^2*Pi^2/L^2)
${x*sin(n*Pi*x/L)^2*dx}[x:0~L]
=L^2/4-1/(2*n^2*Pi^2/L^2)+1/(2*n^2*Pi^2/L^2)
=L^2/4
@x(n)=(2/L)*(L^2/4)=L/2 ★.{素晴らしい!2015/9}
| ☆関数 x*cos(x)☆ |
▲ ①青 y=x ②茶 y=cos(x)
③緑 y=x*cos(x) 右にいくにつれ、コサインカーブの振幅が、だんだん大きくなっていく。
④赤 関数 y=x*cos(x) を、x=0 から、x のその値までを数値積分して求めた値を、円周率倍したもの。積分は、そのグラフと、x軸との間の図形の面積を表す。ただし、x軸より上にあればプラス、下にあるとマイナスになる。
■ x=0~0.5 緑のグラフはx軸より上にあるので、その積分値(赤)はプラス
x=0~1 緑のグラフのx軸より下の部分が、x軸より上の部分より、広いので、その積分値(赤)はマイナス
x=0~1.5 積分値は、極小値
x=0~2 緑のグラフのx軸より下の部分が、x軸より上の部分と同じ面積になるので、その積分値(赤)は0
さらに、同様な事が起きる。x=２、４、6 の時、積分値が 0 になる。
| ☆量子力学.1次元☆ |
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『シュレディンガー方程式.1次元.非相対論.1個の粒子.時間に依存しない』 2015/9 ◇ プランク定数 h ディラック定数 h.=h/2Pi ◆ 1個の粒子 質量 m 位置エネルギー V(x) 状態関数 ψ(x,t) (角)波数 k=p/h. 角振動数 w=E/h. E=p^2/(2*m)+V [H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x]+V(x) 定常状態(存在確率が時間に依らない場合) ψ(x,t)=φ(x)*expi(-w*t) ■ φ(x);;x+(2*m/h.^2)*[E-V(x)]*φ(x)=0 |
◆ 力が働かない粒子の運動 位置エネルギー V=0
ψ(x,t)=A*expi(k*x)*expi(-w*t)=A*expi(k*x-w*t) と仮定する
[H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x]
■ シュレディンガー方程式 φ(x);;x+(2*m*E/h.^2)*φ(x)=0
(角)波数を使って表すと、{とっても簡単になる!}
φ(x);;x+k^2*φ(x)=0 ★.
解は簡単に求めることができて、
φ(x)=expi(k*x)
ψ(x,t)=expi(k*x)*expi(-w*t)=expi(k*x-w*t)=expi[(p/h.)*x-(E/h.)*t] ★.
{シュレディンガー方程式の解って、とても難しそうに見えるけど、ただ、普通の波の複素指数表示の k や w を、E,p,h. で表しただけ!2013/4}
◎ この自由粒子のエネルギー、運動量を求めよう。
■ i*h.*ψ(x,t);t=+h.*w*ψ(x,t)=+E*ψ(x,t) E がエネルギーを表す
-i*h.*ψ(x,t);x=+h.*k*ψ(x,t)=+p*ψ(x,t) p が運動量を表す
★ 量子力学.自由粒子.1次元 ★