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◎ 動ける範囲が定められた場合 量子力学 1次元 力が働かない ◇ プランク定数 h ディラック定数 h.=h/(2*Pi) [エネルギー*時間] |
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ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# |
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◎ 1粒子がある定まった全エネルギーを持つ、位置エネルギーが定数
◎ 等速直線運動をする粒子を、量子力学的に扱う ◆ ある定まった全エネルギー E を持った粒子 質量 m 位置エネルギー V(x)=V0=定数 の場合 ■ シュレディンガー方程式 φ(x);;x=-[2*m*(E-V0)/h.^2]*φ(x) V0=0 のとき root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数 と置くと、 φ(x);;x=-k0^2*φ(x) 基本解 expi(k0*x) , expi(-k0*x) 周期関数 ★. E>V0 のとき root[2*m*(E-V0)]/h.≡k1=正の定数 と置くと、 φ(x);;x=-k1^2*φ(x) 基本解 expi(k1*x) , expi(-k1*x) 周期関数 ★. E<V0 のとき root[2*m*(V0-E)]/h.≡k2=正の定数 と置くと、 φ(x);;x=+k2^2*φ(x) 基本解 exp(k2*x) , expi(-k2*x) 指数関数 ★.
{ここがわかってなかった!2015/10} |
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◎ 粒子の動ける範囲が制限される
◆ 1粒子が動ける範囲を x=0~x=L〔L:正の定数〕とする x=0 , x=L の所で、位置エネルギーが正の無限大になると考える。その他の位置で、V=0 x=0 , x=L で φ(x)=0 root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数 ■ [長さ L にある波の数]=[k0/(2Pi)]*L 波は長さ 2*L に間に自然数個あるとして [k0/(2Pi)]*(2*L)=n〔n:自然数〕 k0=n*Pi/L φ(x)=φ0*sin(n*Pi*x/L) ★. ※ もちろん、シュレディンガー方程式を満たしている そのとき k(n)=n*Pi/L p(n)=n*Pi*h./L E(n)=n^2*[(Pi*h.)^2/(2*m)]/L^2 ★. (角)波数やエネルギーが、長さ L の関数になっていて、自由な値を取る事ができない ■
${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L] 規格化した状態関数 φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 ★. |
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● プランク定数 h=4.14*Ten(-21)_MeV*sec h*c=1.24*Ten(-6)_eV*m ディラック定数 h.=6.58*Ten(-22)_MeV*sec @m=電子の質量*c^2=古典電子半径=2.8*Ten(-15)_m 1_MeV=1.60*Ten(-13)_J ■ 電子 m*c^2≡@m=0.510_MeV [(Pi*h.)^2/(2*m)] [(Pi*h.)^2/(2*m)] ■ L=10_cm のとき 基底エネルギー E(1)=[(Pi*h.)^2/(2*m)]/0.1^2=3.77*Ten(-17)_eV ★. 可視光の光子1個で 1_eV テレビ電波の光子1個で Ten(-9)_eV 電子のエネルギーが離散的(とびとび)であると言われても、検出できない。連続量であると見なしてよい事がわかる。 ■ 電子を、直径の10倍の長さに閉じ込める L=5.6*Ten(-14)_m E(1)=[3.77*Ten(-19)]/[5.6*Ten(-14)]^2=1.20*Ten(8)_eV=120_MeV ★. |
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◆ 1個の粒子 質量 m 位置エネルギー V=0 定常状態 粒子の動ける範囲 x=0~L 状態関数 φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L) 粒子が x=A~B にある存在確率 P(A~B)
■ P(A~B) ≫ P(A~B)=(B-A)/L-[sin(2*n*Pi*B/L)-sin(2*n*Pi*A/L)]/(2*n*Pi) ★. ▲ 関数 sin(x)^2 の x=0~Pi を6等分した図形面積の比 0~Pi の面積を 1 として、 @3% A17% B30% C30% D17% E3% x=L/3~2*L/3 の存在する確率=60% ▲ n=2 のとき 左右2つの部分の存在確率が大きい 中央付近は小さい n=3 のとき 3つの位置にしぼられてくる その和 端にある存在確率は小さいものの、だいぶならされてきて、位置によって存在確率があまり変わらないようになってくる{おもしろい!2015/9} ★ n=3 のとき P(A~B)=(B-A)/L-[sin(6*Pi*B/L)-sin(6*Pi*A/L)]/(6*Pi) P(L/12~L/4)=1/6-[-1-1]/(6*Pi)=1/6+1/(3*Pi)~0.17+0.11=0.28 |
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◆ φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 [H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x] ■ エネルギーの固有値 φn(x);;x=-(n*Pi/L)^2*root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)=-(n*Pi/L)^2*φn(x) [H]φn(x) Pi^2*h.^2/(2*m*L^2)=E1 と置くと、 [H]φn(x)=+n^2*E1*φn(x) En=n^2*E1 ★. ■ エネルギーの期待値 φn(x)の複素共役関数 φn(x)!=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)=φn(x) ${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]=1 だったから、 @En |
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◆ φn(x)=root(2/L)*sin(n*Pi*x/L)〔n=自然数〕 位置の平均値 @x(n) ※ |φn(x)|^2 が x=L/2 について線対称だから @x(n)=L/2 ■ 計算で求めよう ${|φn(x)|^2*dx}[x:0~L]=1 だから、 @x(n)
${x*sin(n*Pi*x/L)^2*dx} ${x*sin(n*Pi*x/L)^2*dx}[x:0~L] @x(n)=(2/L)*(L^2/4)=L/2 ★.{素晴らしい!2015/9} |
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▲ @青 y=x A茶 y=cos(x) B緑 y=x*cos(x) 右にいくにつれ、コサインカーブの振幅が、だんだん大きくなっていく。 C赤 関数 y=x*cos(x) を、x=0 から、x のその値までを数値積分して求めた値を、円周率倍したもの。積分は、そのグラフと、x軸との間の図形の面積を表す。ただし、x軸より上にあればプラス、下にあるとマイナスになる。 ■ x=0~0.5 緑のグラフはx軸より上にあるので、その積分値(赤)はプラス x=0~1 緑のグラフのx軸より下の部分が、x軸より上の部分より、広いので、その積分値(赤)はマイナス x=0~1.5 積分値は、極小値 x=0~2 緑のグラフのx軸より下の部分が、x軸より上の部分と同じ面積になるので、その積分値(赤)は0 さらに、同様な事が起きる。x=2、4、6 の時、積分値が 0 になる。 |
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◆ 力が働かない粒子の運動 位置エネルギー V=0 ψ(x,t)=A*expi(k*x)*expi(-w*t)=A*expi(k*x-w*t) と仮定する [H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x] ■ シュレディンガー方程式 φ(x);;x+(2*m*E/h.^2)*φ(x)=0 (角)波数を使って表すと、{とっても簡単になる!} φ(x);;x+k^2*φ(x)=0 ★. 解は簡単に求めることができて、 φ(x)=expi(k*x) ψ(x,t)=expi(k*x)*expi(-w*t)=expi(k*x-w*t)=expi[(p/h.)*x-(E/h.)*t] ★. {シュレディンガー方程式の解って、とても難しそうに見えるけど、ただ、普通の波の複素指数表示の k や w を、E,p,h. で表しただけ!2013/4} ◎ この自由粒子のエネルギー、運動量を求めよう。 ■ i*h.*ψ(x,t);t=+h.*w*ψ(x,t)=+E*ψ(x,t) E がエネルギーを表す -i*h.*ψ(x,t);x=+h.*k*ψ(x,t)=+p*ψ(x,t) p が運動量を表す |
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★ 量子力学.自由粒子.1次元 ★ |