お勉強しようwithUz 物理.量子力学

2016/2-2015/10 Yuji.W

☆物理量と期待値☆

◎ 状態関数 波動関数 運動量の平均 位置の平均

◇プランク定数 h~6.6*Ten(-34)_J*sec~4.1*Ten(-15)_eV*sec

ディラック定数 h.=h/(2Pi)~1.1*Ten(-34)_J*sec~6.6*Ten(-16)_eV*sec

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆物理量と期待値☆

『物理量と期待値』 2015/10

■ 物理量に対応した演算子 [A]

 [A]ψ(x,t)=a*ψ(x,t) を満たす値 a が、その物理量の1つとなる。

物理量 [A] の期待値(平均値) [@A]=${ψ!*([A]ψ)*dx}/${ψ!*ψ*dx}

量子化 位置 x ⇒ x 運動量 p ⇒ -i*h.*[;x] エネルギー E ⇒ i*h.*[;t]

☆いろいろな状態関数☆

★ [-Pi<x<Pi] φ(x)=sin(x)/root(Pi)

★ [-Pi<x<Pi] n:整数 φ(x)=expi(n*x)/root(2*Pi)

★ [-Pi<x<Pi] φ(x)=|x|/root(2*Pi^3/3)

☆運動量の平均☆

■ [-Pi<x<Pi] 運動量の平均 @p=-i*h.*${φ(x)!*[φ(x);x]*dx}[x:-Pi~Pi] .

■ n:偶数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

n:奇数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=2/n

■ n:偶数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=-i*2*Pi/n

n:奇数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=i*2*(Pi/n+1/n^2)

■ n:偶数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=4*Pi/n^2

n:奇数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=2*Pi^2/n-4*Pi/n^2-i*4/n^3

★ [-Pi~Pi] φ(x) ∝ expi(3*x)+expi(x)

規格化する 

 φ(x)!=expi(-3*x)+expi(-x)

 |φ(x)|^2
=φ(x)!*φ(x)
=[expi(-3*x)+expi(-x)]*[expi(3*x)+expi(x)]
=1+expi(-2*x)+expi(2*x)+1
=2+2*cos(2*x)

 ${|φ(x)|^2*dx}[x:-Pi~Pi]
=${[2+2*cos(2*x)]*dx}[x:-Pi~Pi]
=2*[2*x+sin(2*x)][x:0~Pi]
=4*Pi

 規格化された状態関数 φ(x)=[expi(3*x)+expi(x)]/[2*root(Pi)]

運動量の平均を求める 

 φ(x);x=i*[3*expi(3*x)+expi(x)]/[2*root(Pi)]

 φ(x)!*[φ(x);x]
=[expi(-3*x)+expi(-x)]*[3*expi(3*x)+expi(x)]*i/(4*Pi)
=[3+expi(-2*x)+3*expi(2*x)+1]*i/(4*Pi)
=[4+expi(-2*x)+3*expi(2*x)]*i/(4*Pi)

 expi(-2*x) と expi(2*x) の定積分は 0 になる

 @p=[h./(4*Pi)]*${4*dx}[x:-Pi~Pi]=[h./(4*Pi)]*8*Pi=2*h. .

☆位置の平均☆

■ [x1<x<x2] 位置の平均 @x=${x*|φ(x)|^2*dx}[x:x1~x2] .

★ [a<x<b] φ(x) ∝ [H/(b-a)]*(x-a) その他の位置で φ(x)=0

規格化する 

 |φ(x)|^2=[H/(b-a)]^2*(x-a)^2

 ${|φ(x)|^2*dx}[x:a~b]
=[H/(b-a)]^2*${(x-a)^2*dx}[x:a~b]
=[H/(b-a)]^2*[(x-a)^3/3][x:a~b]
=[H/(b-a)]^2*(b-a)^3/3
=H^2*(b-a)/3

 規格化された状態関数 φ(x)
=[H/(b-a)]*(x-a)*root3/[H*root(b-a)]
=(x-a)*root3/(b-a)^(3/2)

位置の平均を求める 

 |φ(x)|^2=(x-a)^2*3/(b-a)^3

 ${x*(x-a)^2*dx}[x:a~b]
=${[x^3-2*a*x^2+a^2*x]*dx}[x:a~b]
=[x^4/4-2*a*x^3/3+a^2*x^2/2][x:a~b]
=[x^2*(3*x^2-8*a*x+6*a^2)/12][x:a~b]
=[b^2*(3*b^2-8*a*b+6*a^2)/12]-[a^2*(3*a^2-8*a^2+6*a^2)/12]
=b^2*(3*b^2-8*a*b+6*a^2)/12-a^4/12
=(3*b^4-8*a*b^3+6*a^2*b^2-a^4)/12
=(b-a)*(3*b^3-5*a*b^2+a^2*b+a^3)/12
=(b-a)*(b-a)*(3*b^2-2*a*b-a^2)/12
=(b-a)*(b-a)*(b-a)*(3*b+a)/12
=(b-a)^3*(3*b+a)/12 {核心!}

 @x
=${x*|φ(x)|^2*dx}[x:a~b]
=[3/(b-a)^3]*${x*(x-a)^2*dx}[x:a~b]
=[3/(b-a)^3]*[(b-a)^3*(3*b+a)/12]
=(3*b+a)/4
.

  物理量と期待値  

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