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ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# |
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◎水素原子中の電子、すなわち、陽子の周りを漂う電子は、ある定まったエネルギー状態しか取らない。自由なエネルギー状態を取ることはできない。ただし、その状態は無数にある。無数にはあるが、自由な値ではない。ある状態から、別の状態に遷移するときに、ある定まったエネルギー差の光子を発する、または、吸収する。可視光領域では、Hα線 赤 がある。 ●可視光 波長
600_nm=6*Ten(-7)_m=6000_Å ●「10000° で 1_eV」 ■プランク定数 h~4.1*Ten(-15)_eV*sec エネルギー E=h*振動数 波長 λ=c/振動数 E*λ=c*h 単位 E_eV λ_nm=λ_Ten(-9)*m c=3*Ten(8)_m/sec となって、 E_eV*λ_nm=3*Ten(8)*4.1*Ten(-15)/Ten(-9)=1230 E_eV*λ_nm=1200 ★ 「2_eV で 600_nm ★ 」 ■リードベルグ Er=m*e^4/(2*h.^2)~13.6_eV エネルギー順位 En=-Er/n^2 E1=-13.6 E2=-3.4 E3=-1.5 E2-E1=10.2_eV E3-E1=12.1_eV E3-E2=1.9_eV ■基底状態への遷移 ライマン系列 E1=13.6_eV…91.2_nm 紫外線 電子が、はぎ取られる E2-E1=10.2_eV…121_nm 紫外線 2番目から基底状態へ ■2番目のエネルギー状態への遷移 バルマー系列 1885年発見 E3-E2=1.9_eV…Hα線 656_nm 赤 宇宙現象でよく観測される Hβ線 486_nm 水色 Hγ線 434_nm 青 Hδ線 410_nm 紫 ■21cm線 水素原子からの電波。上記の話とは、別の機構で起きる。電子スピンの差による、超微細構造によって起きる。 |
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◎水素原子 陽子1個の周りを、電子1個が漂っている。その動きを量子力学を使って計算しよう。球対称の場合を考える。 ●△f=div<grad(f)>=f;;x+f;;y+f;;z △<A>=<△Ax,△Ay,△Az> 球座標 △f=[f;;r+2*f;r/r]+[f;;a/r^2+f;a/(r^2*Ta)]+f;;b/(r^2*Sa^2) 球対称 △f=f;;r+2*f;r/r=(r*f);;r/r ●任意の関数 f f;x=f;y*y;x ◆定常状態 電子1個の重さ m<<陽子の重さ 非相対論 力は電場のみを考える k=p/h. w=E/h. E=p^2/(2*m)+V(r) [H]=-[h.^2/(2*m)]*△+V(r) 状態関数 ψ(r,t)=φ(r)*expi(-w*t) new電荷 e を導入すると、 e=Qe/root(4Pi*ε0) V(r)=-e^2/r △φ(r)+(2*m/h.^2)*[E-V(r)]*φ(r)=0 (r*φ);;r/r=-(2*m/h.^2)*(E+e^2/r)*φ ★ ■無次元パラメータ ρ,ε を導入すると、 電子のボーア半径 Rb=h.^2/(m*e^2)~0.5*Ten(-10)_m~0.5_Å リードベルグ Er=m*e^4/(2*h.^2)~13.6_eV r=Rb*ρ E=Er*ε (r*φ);;r/r=(Rb*ρ*φ);;ρ*ρ;;r/(Rb*ρ)=(ρ*φ);;ρ/(Rb^2*ρ) (2*m/h.^2)*[m*e^4/(2*h.^2)]*ε (2*m/h.^2)*e^2/r (ρ*φ);;ρ/ρ=-(ε+2/ρ)*φ (ρ*φ);;ρ=-(ε+2/ρ)*ρφ さらに、ρ*φ(ρ)=f(ρ) ★ と置けば、 f(ρ);;ρ+ε*f(ρ)+2*f(ρ)/ρ=0 ★ ●f(x);;x+B*f(x)+C*f(x)/x=0 f(x)=exp(-a*x)*g(x) a^2=-B g(x);;x-2*a*g(x);x+C*g(x)/x=0 ■f(ρ)=exp[-a*ρ]*g(ρ) と置く。a^2=-ε > 0 とする。 g;;ρ-2*a*g;ρ+2*g/ρ=0 ★ |
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◎g;;ρ-2*a*g;ρ+2*g/ρ=0 を解こう。 ●一般項 x^(n+r) の係数を考えると、 f(x)…Cn f;x…(n+r+1)*C(n+1) f;;x…(n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2) ◆g(ρ) がべき級数で展開できるとする。 ■一般項 x^(n+r) の係数を考えると、 g(ρ)/ρ…C(n+1) g(ρ);ρ…(n+r+1)*C(n+1) g(ρ);;ρ…(n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2) (n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2)-2*a*(n+r+1)*C(n+1)+2*C(n+1)=0 (n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2)-2*[a*(n+r+1)-1]*C(n+1)=0 (n+r+1)*(n+r)*C(n+1)-2*[a*(n+r)-1]*Cn=0 (r+1)*r*C1-2*[a*r-1]*C0=0 (r+2)*(r+1)*C2-2*[a*(r+1)-1]*C1=0 (r+3)*(r+2)*C3-2*[a*(r+2)-1]*C2=0 したがって、 C1=2*[a*r-1]*C0/(r+1)*r C2=2*[a*(r+1)-1]*C1/[(r+2)*(r+1)] C3=2*[a*(r+2)-1]*C2/[(r+3)*(r+2)] ■r=1 の場合、 C1=2*(a-1)*C0/(2*1) C2=2*(2*a-1)*C1/(3*2)=4*(a-1)*(2*a-1)*C0/(3*2*2*1) C3 Cn=2^n*(a-1)*(2*a-1)*(3*a-1)*…*(n*a-1)*C0*n/(n!)^2 n>>1 で、 Cn=2^n*a^n*n!*C0*n/(n!)^2=(2*a)^n*C0*n*/n! 発散してしまう 発散しまわないようにするには、a=1,1/2,1/3,1/4,… すなわち、 -ε=1,1/4,1/9,1/16,…,1/n^2,… En=-Er/n^2 φ(ρ)=exp(-a*ρ)*[C0+C1*ρ+C2*ρ^2+…+Cn*ρ^n+…] ★ |
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■基底状態 a=1 E1=-Er のとき、 C1=C2=…=0 φ1(ρ)=C0*exp[-ρ] ★ ■2番目 a=1/2 E2=-Er/4 のとき、 C1=-C0/2 C2=C3=…=0 φ2(ρ)=C0*exp(-ρ/2)*(1-ρ/2) ★ ■3番目 a=1/3 E2=-Er/9 のとき、 C1=-(2/3)*C0 C2=+(2/27)*C0 C3=C4=…=0 φ3(ρ)=C0*exp(-ρ/3)*[1-(2/3)*ρ+(2/27)*ρ^2] ★ |
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★ 水素原子 ★ |