◎ 座標がぐるぐる回転しているわけではない。平面上で、斜めに傾いているだけ。

◆ 平面上の2つの座標系 xy系、XY系　原点は同じ　X軸がx軸に対して作る角 a
ある点の位置　xy系で (x,y)　XY系で (X,Y)_X

sin(a)=Sa　cos(a)=Ca　と表すと

【位置の変換】x=X*cos(a)-Y*sin(a)　&　y=X*sin(a)+Y*cos(a) ★_�@

【位置の逆変換】

　X=x*cos(a)+y*sin(a)　&　Y=-x*sin(a)+y*cos(a) ★_�A

{別解}�@で逆向きに a だけ回転させればいいから、

　X=x*cos(-a)-y*sin(-a)=x*cos(a)+y*sin(a)

　Y=x*sin(-a)+y*cos(-a)=-x*sin(a)+y*cos(a)　�Aになった

{別解2}�@を連立方程式として解いて、

　　　x*cos(a)=X*cos(a)^2-Y*cos(a)*sin(a)
　+)　y*sin(a)=X*sin(a)^2+Y*cos(a)*sin(a)

　x*cos(a)+y*sin(a)=X*[cos(a)^2+sin(a)^2}=X

　X=x*cos(a)+y*sin(a)

{公式を暗記するだけではなく、図で考えたり、別の方法で解いたりする事が大事!}

【行列を使って】縦ベクトル <x y),<X Y)

回転行列 [R(a)]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)]　を使って、

　<x,y)=[R(a)]*<X,Y)　<X,Y)=[R(-a)]*<x,y) ★_

■ <xu>を<Xu>と<Yu>に分解して　<xu>=<Xu>*cos(a)-<Yu>*sin(a)

<yu>を<Xu>と<Yu>に分解して　<yu>=<Xu>*sin(a)+<Yu>*cos(a)

逆変換　<Xu>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a)

　<Yu>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)

【行列を使って】<<xu>　<yu>)=[R(a)]*<<Xu>　<Yu>)

　<<Xu>　<Yu>)=[R(-a)]*<<xu>　<yu>) ★_

■ 任意のベクトル <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay=<Xu>*AX+<Yu>*AY

<Xu>,<Yu>　を　<xu>,<yu>　に直していくと、

　<A>
=<Xu>*AX+<Yu>*AY
=[<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a)]*AX+[-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)]*AY
=<xu>*[AX*cos(a)-AY*sin(a)]+<yu>*[AX*sin(a)+AY*cos(a)]

これが　<xu>*Ax+<yu>*Ay　でもあるのだから、

　Ax=AX*cos(a)-AY*sin(a)　Ay=AX*sin(a)+AY*cos(a)

【行列を使って】<Ax Ay)=[R(a)]*<AX AY)

　<AX AY)=[R(-a)]*<Ax Ay) ★_

■ x=X*cos(a)-Y*sin(a)　x;X=cos(a)　x;Y=-sin(a)

y=X*sin(a)+Y*cos(a)　y;X=sin(a)　y;Y=cos(a)

X=x*cos(a)+y*sin(a)　X;x=cos(a)　X;y=sin(a)

Y=-x*sin(a)+y*cos(a)　Y;x=-sin(a)　Y;y=cos(a)

※ 偏微分だから　(x;X)*(X;x)=1　とはならない

【】【任意の関数 f(x,y)=f(X,Y)　に対して】

　f;x=(f;X)*(X;x)+(f;Y)*(Y;x)=(f;X)*cos(a)-(f;Y)*sin(a)

　f;y=(f;X)*sin(a)+(f;Y)*cos(a)

　f;X=(f;x)*(x;X)+(f;y)*(y;X)=(f;x)*cos(a)+(f;y)*sin(a)

　f;Y=-(f;x)*sin(a)+(f;y)*cos(a)

【微分演算子で表して】

　;x=cos(a)*(;X)-sin(a)*(;Y)

　;y=sin(a)*(;X)+cos(a)*(;Y)

　;X=cos(a)*(;x)+sin(a)*(;y)

　;Y=-sin(a)*(;x)+cos(a)*(;y)

行列を使って　<;x ;y)=[R(a)]*<;X ;Y)　<;X ;Y)=[R(-a)]*<;x ;y) ★_

■ ∇
=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)
=[<Xu>*cos(a)-<Yu>*sin(a)]*[cos(a)*(;X)-sin(a)*(;Y)]
+[<Xu>*sin(a)+<Yu>*cos(a)]*[sin(a)*(;X)+cos(a)*(;Y)]
=<Xu>*cos(a)*[cos(a)*(;X)-sin(a)*(;Y)]
+<Xu>*sin(a)*[sin(a)*(;X)+cos(a)*(;Y)]}
-<Yu>*sin(a)]*[cos(a)*(;X)-sin(a)*(;Y)]
+<Yu>*cos(a)*[sin(a)*(;X)+cos(a)*(;Y)]
=<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)

≫　∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)=<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)

{別解}　∇
=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)
=<<xu>　<yu>>*<;x ;y)
={[R(a)]*<<Xu>　<Yu>)}*{[R(a)*<;X ;Y)}
=[R(a)]^2*[<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)]
=<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)

■ <grad>=∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)=<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)

■ div<A>
=∇*<A>
=[<Xu>*(;X)+<Yu>*(;Y)]*(<Xu>*AX+<Yu>*AY)
=AX;X+AY;Y

■ <curl<A>>=<zu>*(Ax;y-Ay;x)

ここで　Ax;y
=[sin(a)*(;X)+cos(a)*(;Y)]*[AX*cos(a)-AY*sin(a)]
=cos(a)*sin(a)*(AX;X)+cos(a)^2*(AX;Y)
-sin(a)^2*(AY;X)-cos(a)*sin(a)*(AY;Y)

　Ay;x
=[cos(a)*(;X)-sin(a)*(;Y)]*[AX*sin(a)+AY*cos(a)]
=cos(a)*sin(a)*(AX;X)-sin(a)^2*(AX;Y)
+cos(a)^2*(AY;X)-cos(a)*sin(a)*(AY;Y)　だから、

　Ax;y-Ay;x=AX;Y-AY;X

　<curl<A>>=<zu>*(AX;Y-AY;X)

■ △=∇^2=(;;x)+(;;y)=(;;X)+(;;Y)

■