☆お勉強しようUz☆ 物理.熱力学

2016/5-2012/10 Yuji.W

☆気体の比熱

◎ 気体の比熱 heat capacity 定積比熱 定圧比熱

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

{復習}気体の内部エネルギー

『温度とエネルギー』 2016/5

◆ 理想気体 分子数 N 圧力 P 体積 V 温度 T 内部エネルギー U

● 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子、光子 Γ=4/3

■ P*V=N*kB*T=(Γ-1)*U

◇気体の比熱◇

■ 気体の比熱 1モルの気体の温度を 1° 上げるのに必要な熱量

気体は一般に大きさも変わるから、次の2種類を考える

@ 体積を一定にしたままの場合 定積比熱 Cv

A 圧力を一定にしたままの場合 定圧比熱 Cp

Aの場合、外に仕事をするから、加えた熱の一部がそれに使われてしまい、温度を上げるのにロスが生じる。Aの方が、より多くの熱が必要である。

 Cp>Cv

比熱比 Γ=Cp/Cv >1

■ 気体定数 R=kB*Na=8.314_J/mol/K

『気体の比熱(25°C)_J/(K*mol)』 2016/5

Cv

Cv/R

Cp

Cp/R

(Cp-Cv)/R

Cp/Cv

He

ヘリウム

12.47

1.50

20.78

2.50

1

1.67

O2

酸素

21.01

2.53

29.33

3.53

1

1.40

CO2

二酸化炭素

28.83

3.47

37.14

4.47

1

1.29

NH3

アンモニア

27.17

3.27

35.18

4.23

0.96

1.29

◇定積比熱◇

◆ 1モルの理想気体 体積の変化なし

[P,V,T,U] ⇒ 熱 Q を加えて ⇒ [P+ΔP,V,T+ΔT+,U+ΔU]

 Cv=Q/ΔT

■ 状態方程式 P*V=R*T & (P+ΔP)*V=R*(T+ΔT) より、

 ΔP*V=R*ΔT @

内部エネルギー P*V=(Γ-1)*U & (P+ΔP)*V=(Γ-1)*(U+ΔU) より、

 ΔP*V=(Γ-1)*ΔU A

体積の変化がないから、気体は外部に仕事をしない。加えられた熱量は、すべて、内部エネルギーの増加分になる。

 Q=ΔU B

@ABより R*ΔT=(Γ-1)*Q

 Cv=Q/ΔT=R/(Γ-1) .温度に依らない定数

単原子分子 Γ-1=2/3 Cv/R=3/2=1.5
2原子分子 Γ-1=2/5 Cv/R=5/2=2.5
3原子分子 Γ-1=1/3 Cv/R=3

{なるほどなあ!うまくできてるなあ!2016/5}

◇定積比熱と内部エネルギー◇

■ 定積(モル)比熱 Cv=R/(Γ-1) 分子1個当たり Cv=kB/(Γ-1)

内部エネルギー U=N*kB*T/(Γ-1)=N*Cv*T .

『理想気体の内部エネルギーと定積比熱』 2016/6

◆ 理想気体 分子数 N 圧力 P 体積 V 温度 T 内部エネルギー U

分子1個当たりの定積比熱 Cv=kB/(Γ-1)

● 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子、光子 Γ=4/3

■ U=N*Cv*T

◇定圧比熱◇

◆ 1モルの理想気体 圧力の変化なし

[P,V,T,U] ⇒ 熱 Q を加えて ⇒ [P,V+ΔV,T+ΔT+,U+ΔU]

 Cp=Q/ΔT

■ 状態方程式 P*V=R*T & P*(V+ΔV)=R*(T+ΔT) より、

 P*ΔV=R*ΔT @

内部エネルギー P*V=(Γ-1)*U & P*(V+ΔV)=(Γ-1)*(U+ΔU) より、

 P*ΔV=(Γ-1)*ΔU A

@Aより ΔU=R*ΔT/(Γ-1)

また、気体が膨張することで、外部にしてしまう仕事=P*ΔV だから、

 Q=P*ΔV+ΔU=R*ΔT+R*ΔT/(Γ-1)=R*ΔT*Γ/(Γ-1)

 Cp=Q/ΔT=R*Γ/(Γ-1) .

◇定積比熱と定圧比熱◇

◆ Cv=R/(Γ-1) Cp=R*Γ/(Γ-1)

■ Cp-Cv=[R/(Γ-1)]*(Γ-1)=R .

■ Cp/Cv=[R*Γ/(Γ-1)]/[R/(Γ-1)]=Γ .

{なるほどなあ!こういう事だったんだ!2016/5}

◇比熱-一般の原子◇

■ 比熱比 Γ=Cp/Cv 分子の運動の自由度 fr=3+(回転の自由度)

 fr=2/(Γ-1) Γ=1+2/fr

▲ 回転エネルギーも、並進運動エネルギーと同じように、自由度に比例したエネルギーを持つと仮定すれば、この関係式が成り立つ。ただし、なぜそれでいいのかは定かでない。{2013/12}

■ 比熱比の実測値

 He 1.66 O2 1.40 空気 1.403 CO2 1.29 NH3 1.31 CH4 1.30

■ @ 単原子分子 fr=3 Γ=1+2/3=5/3=1.67 ヘリウムなど

A2原子分子 fr=3+2=5 Γ=1+2/5=7/5=1.4 酸素、窒素など

B3原子分子、光子 fr=3+3=6 Γ=1+2/6=4/3=1.33 二酸化炭素など

▲ 光子は、並進運動エネルギーと同じ量の別の運動エネルギーを持つとみなすことができる。{へー、不思議!2013/5}

■ 分子1個で Cv/k=1/(Γ-1)=(1/2)*fr Cp=Cv+k

1モルで Cv/R=1/(Γ-1)=(1/2)*fr Cp=Cv+R

■ 内部エネルギー U=P*V/(Γ-1)=(fr/2)*P*V

@単原子分子 U=(3/2)*P*V

A2原子分子 U=(5/2)*P*V

B3原子分子、光子 U=3*P*V

「理想気体の比熱比、内部エネルギー」

分子の運動の自由度 fr 気体の内部エネルギー U

定積比熱 Cv=(fr/2)*k 定圧比熱 Cp=Cv+k 比熱比 Γ=Cp/Cv

@単原子分子 fr=3 Γ=5/3 A2原子分子 fr=5 Γ=7/5
B3原子分子、光子 fr=6 Γ=4/3

■ U=(fr/2)*P*V

  気体の比熱  

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