☆お勉強しようUz☆　物理.熱力学

2016/6-2011/11　Yuji.W

☆カルノーサイクル☆

◎ 準静的　可逆　等温変化+断熱変化　熱効率

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◇カルノー◇

■ Nicolas Leonard Sadi Carnot 1796-1832 フランス人 軍人、数学者、物理学者

フランス革命、ナポレオンの時代の人、日本で言えば、写楽が活躍した1794-95の直後、江戸幕府が崩壊への道をたどり始めた頃。

1769年、James Watt が新方式の蒸気機関を開発。産業革命の引き金となる。

{復習}気体の膨張,圧縮

『気体の膨張、圧縮』　2016/5

◆ 理想気体　[単原子分子 Γ=5/3　2原子分子 Γ=7/5　3原子分子、光子 Γ=4/3]

【 状態方程式 】P*V=N*kB*T=(Γ-1)*U

【 断熱膨張 】P*V^Γ=一定　T*V^(Γ-1)=一定　ΔU=N*kB*ΔT/(Γ-1)

【 等温膨張 】V1~V2　T=一定　Qin=Wout=N*kB*T*ln(V2/V1)

■

◇カルノーサイクル◇

【 カルノーサイクル 】次の4サイクルを繰り返す。すべて、準静的に行う。可逆的である。

①高熱源から熱をもらい、等温膨張する。
②断熱膨張する。温度が下がる。
③熱を低熱源に捨て、等温圧縮する。
④断熱圧縮する。温度が上がる。元に戻るようにする。

◆ 理想気体(分子数 N)　高熱源の温度 T　低熱源の温度 T0

　[V0,T]⇒①等温膨張⇒[V1,T]⇒②断熱膨張⇒[V2,T0]⇒③等温圧縮⇒[V3,T0]⇒④断熱圧縮⇒[V0,T]

※ N,V0,V1,T,T0:コントロールできる量　V2,V3:未知量

※ 圧力や内部エネルギーはすぐ求める事ができる。体積と温度を変数として扱う。

【 体積と温度 】

②断熱膨張　T*V1^(Γ-1)=T0*V2^(Γ-1)

　(V2/V1)^(Γ-1)=T/T0

　V2/V1=(T/T0)^[1/(Γ-1)]

★ 2原子分子 Γ=7/5　V2/V1=(T/T0)^(5/2)

④断熱圧縮　V3/V0=(T/T0)^[1/(Γ-1)]

▲ V2/V1=V3/V0=(T/T0)^[1/(Γ-1)] ★.{重要な性質!}

【 エネルギー 】

①等温膨張　内部エネルギーは変化しない　Qin=Wout1=N*kB*T*ln(V1/V0)

②断熱膨張　熱の出入りがない　Wout2=ΔU=N*kB*(T-T0)/(Γ-1)　

③等温圧縮　内部エネルギーは変化しない

　Qout=Win1=N*kB*T0*ln(V2/V3)=N*kB*T0*ln(V1/V0) ★.

④断熱圧縮　熱の出入りがない　Win2=ΔU=N*kB*(T-T0)/(Γ-1)

▲ Wout2=Win2=ΔU=N*kB*(T-T0)/(Γ-1) ★.

『カルノーサイクル』　2016/6

■ 次の4サイクルを繰り返す。すべて、準静的に行う。可逆的である。

①高熱源から熱をもらい、等温膨張する。
②断熱膨張する。温度が下がる。
③熱を低熱源に捨て、等温圧縮する。
④断熱圧縮する。温度が上がる。元に戻るようにする。

◆ 理想気体(分子数 N)　高熱源の温度 T　低熱源の温度 T0

　[V0,T]⇒①等温膨張⇒[V1,T]⇒②断熱膨張⇒[V2,T0]⇒③等温圧縮⇒[V3,T0]⇒④断熱圧縮⇒[V0,T]

■ V2/V1=V3/V0=(T/T0)^[1/(Γ-1)]

■ ①等温膨張(高温で)　Qin=Wout1=N*kB*T*ln(V1/V0)

②断熱膨張　Wout2=N*kB*(T-T0)/(Γ-1)　温度が下がる

③等温圧縮(低温で)　Qout=Win1=N*kB*T0*ln(V1/V0)

④断熱圧縮　Win2=N*kB*(T-T0)/(Γ-1)　温度が上がる

{すっきりとまとめる事ができたと思う!2016/6}

◇カルノーサイクルの熱効率◇

■ 熱機関の熱効率=[(外部にした仕事)-(気体にした仕事)]/(機関に与えた熱)

　(外部にした仕事)-(気体にした仕事)
=(Wout1+Wout2)-(Win1+Win2)
=(Wout1-Win1)+(Wout2-Win2)
=[N*kB*T*ln(V1/V0)-N*kB*T0*ln(V1/V0)]+0
=N*kB*(T-T0)*ln(V1/V0)

　熱効率
=(Wout1+Wout2-Win1-Win2)/Qin
=[N*kB*(T-T0)*ln(V1/V0)]/[N*kB*T*ln(V1/V0)]
=(T-T0)/T
=1-T0/T

≫　熱効率=1-T0/T ★.V1 に依らない

『カルノーサイクルの熱効率　T0=300』　2016/6

T

600

800

1000

1200

熱効率

0.5

0.625

0.7

0.75

■

◇カルノーサイクル最高！◇

★ カルノーサイクルは、理想気体、可逆過程の機関である。理想気体でない場合の熱効率は、どうなるだろうか。

◆ 機関①　高熱源(T)から熱 Q1 をもらい、仕事 W をし、低熱源(T0)に熱 Q2 を捨てる。カルノーサイクルより熱効率がよいと仮定する。

　T>T0　Q1-Q2=W

　1-Q2/Q1>1-T0/T ⇒ Q2/Q1<T0/T　捨てる熱 Q2 が少ない

機関②　カルノーサイクル(理想気体、可逆過程)　低熱源(T0)から熱 Q3 をもらい、仕事 W をしてもらい、高熱源(T)に熱 Q4 を捨てる。仕事は、機関①と同じであるのが、ミソである。

　Q4/Q3=T/T0　Q4-Q3=W

機関①+②　低熱源(T0)から熱 (Q3-Q2) をもらい、仕事は 0 、高熱源(T)に熱 (Q4-Q1) を捨てる。

■ W=Q1-Q2=Q4-Q3

　Q4=Q3-Q2+Q1

また、　Q4=Q3*T/T0　だから、

　Q3=(Q2-Q1)*T0/(T0-T)

　Q4-Q1=Q3-Q2=(Q2-Q1)*T0/(T0-T)-Q2
=[Q1*T0-Q2*T]/(T-T0)>0

機関①+② は、低熱源(T0)から熱 (Q3-Q2)>0 をもらい、仕事は 0 、高熱源(T)に熱 (Q4-Q1)>0 を捨てていることになる。

仕事をしてもらうことなしに、自然に、低熱源から高熱源に、熱が移動していることになる。これは、クラウジウスの原理「熱は、低熱源から高熱源に、ひとりでに、流れない。」に反する。

機関①の熱効率が、カルノーサイクルより大きいとした所に、間違いの原因がある。したがって、

　カルノーサイクル(理想気体、可逆)の熱効率が、可逆機関の熱効率の最大値であることがわかる ★

▲ 可逆機関の熱効率を扱うときに、カルノーサイクル(理想気体、可逆過程)とわざわざ断らなくても、その熱効率を使ってよいことになる{!} ★

{2012/11}カルノーサイクル、やっとわかってきた。40年かかったなあ{!}

　★　カルノーサイクル　★　
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