☆お勉強しようUz☆ 物理.電磁気

2016/3-2012/3 Yuji.W

熱伝導

◎ 静電場の考え方を利用する事ができる conduction of heat thermal conduction

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z物理定数 .

☆熱伝導☆

◇温度 [K] 熱量 [J] cal/J~4.18 J/cal~0.239 W=J/sec

■ ジョゼフ・フーリエ フランスの数学者・物理学者 1768-1830

熱伝導方程式 フーリエ解析

■ 熱の伝わり方

@ 熱伝導 高温側から低温側へ、熱が伝わる。粒子の移動はない。
A 対流 重力場で、密度差による浮力による、物質の固まりの移動
B 相変化
C 輻射 電磁波がエネルギーを運ぶ

以下、@熱伝導のみを扱っていく。

☆1次元熱伝導方程式☆

◎ 1次元 熱の発生源がない場合

◆ 温度場 T(x,y,z,t) 熱流束 heat flux 単位時間 [J/sec]=[W]
熱流束面密度 heat flux density 単位時間、単位面積あたり h [J/(m^2*sec)]=[W/m^2]
※ 「流束」と「流束密度」は混乱して使われている

内部エネルギー(単位体積あたり) u [J/m^3] 比熱(単位体積あたり) Cv [J/(m^3*K)]
 u=Cv*T @

■ h=-λ*(T;x) _AFourier's law 1822 熱伝導率 (heat conductivity) λ

エネルギー保存 u'=-h;x B

@ABより T'=+(λ/Cv)*(T;;x) _1次元熱伝導方程式(熱源がない場合)
 
熱拡散率 λ/Cv

■ 定常状態 T'=0 T;;x=0 T は x の1次関数

☆熱伝導の基本方程式-定常状態☆

◎定常状態の熱伝導 ⇔ 静電場、静磁場

■ <h>=-λ*<grad(T)> _Fourier's law ⇔ 静電場 <E>=-<grad(φ)>

■ div<h>=0 ⇔ 静電場 div<E>=0

■ △T=-s/λ ⇔ 静電場 △φ=-ρ/ε0

▲熱源や電荷のある所の、温度や電位は高い

■ 定常状態の熱伝導 ⇔ 静電場、静磁場 のような置き換え

 T⇔φ   [K]⇔[V=N*m/C=J/C]

 s⇔ρ   [W/m^3)]⇔[C/m^3]

 λ⇔ε0   [W/(m*K)]⇔[C/(m*V)]

 <h>⇔(ε0)*<E>   [W/m^2)]⇔[C/m^2]

 <h>/λ⇔<E>    [K/m]⇔[N/C=V/m]

「ポアソン方程式 △f=k=定数 の解」◇積分定数C1,C2

※考えている領域すべてで定数。ある1点だけ定数になるという意味ではない。領域の境界での条件を満たすようにしなければならない。

■ f=f(x) のとき f(x)=(1/2)*k*x^2+C1*x+C2

球座標 f=f(r) のとき f(r)=(1/6)*k*r^2+C1/r+C2

円柱座標 f=f(r.) のとき f(r.)=(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2

☆1次元の熱の流れ,温度分布☆

◆ 1次元 x軸 x=-L~L に熱源 s その熱伝導率 λ 温度分布 T(x)

定常状態

■ △T=-s/λ T;;x=-s/λ=定数

解 T(x)=-(1/2)*(s/λ)*x^2+C1*x+C2

後は、境界値を考え、積分定数 C1,C2 を定めればよい。

 T1=-(1/2)*(s/λ)*L^2-C1*L+C2 T2=-(1/2)*(s/λ)*L^2+C1*L+C2

 T2-T1=2*C1*L C1=(T2-T1)/(2*L)

 T1+T2=-(s/λ)*L^2+2*C2 C2=(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

 T=-(1/2)*(s/λ)*x^2+(T2-T1)*x/(2*L)+(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

T1=T2 のとき T=(1/2)*(s/λ)*(L^2-x^2)+T1

 最高温度 Tmax=(1/2)*(s/λ)*L^2+T1

{初めてポアソン方程式を使えた!2013/8}

☆1次元の熱の流れ,温度分布☆

◎直方体全体が熱源になっている。温度分布を求めよう。中心部に近い方が熱く、表面に近い部分は冷たいなるだろう。

◎1次元のポアソン方程式の、いい例になっている。

◆ y軸方向、z軸方向には対称で、x軸方向にのみ変化があるとする。

直方体 x=-L~x=L T(-L)=T1 T(L)=T2

熱源 s [W/m^3)] が直方体のすべての場所に広がっている 直方体の熱伝導率λ

■ △T=-s/λ 1次元で 解は、 T(x)=-(1/2)*(s/λ)*x^2+C1*x+C2 _

後は、境界値を考え、積分定数 C1,C2 を定めればよい。

 T1=-(1/2)*(s/λ)*L^2-C1*L+C2 T2=-(1/2)*(s/λ)*L^2+C1*L+C2

 T2-T1=2*C1*L C1=(T2-T1)/(2*L)

 T1+T2=-(s/λ)*L^2+2*C2 C2=(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

 T=-(1/2)*(s/λ)*x^2+(T2-T1)*x/(2*L)+(T1+T2)/2+(1/2)*(s/λ)*L^2

T1=T2 のとき T=(1/2)*(s/λ)*(L^2-x^2)+T1

 最高温度 Tmax=(1/2)*(s/λ)*L^2+T1

{初めてポアソン方程式を使えた!2013/8}

◇気体の熱伝導率◇

◎ 容器の上部に高温の気体、下部に低温の気体があるとしよう。高エネルギーの分子が下へ、低エネルギーの分子が上へ、「拡散」し、熱分布が一様になっていく。熱伝導率を求めよう。

●比熱比 Γ を使って、

 総内部エネルギー N*U=N*(Kt+Kr)=P*V/(Γ-1)
=N*k*T/(Γ-1)=N*(1/2)*k*T*(自由度)

◆ 鉛直線(上から下へ) z軸
平均自由行程 l だけ離れて、温度の違う気体があるとする。

温度 上 T+dT 下 T T;z=-dT/l

総内部エネルギー 上 U+du 下 U

分子1個の内部エネルギー U=k*T/(Γ-1) dU=[k/(Γ-1)]*dT

分子の速さ v {注}分子の速さの違いを考えないとする。

分子の数密度 n

熱量 Q(t) 面積 A 単位面積当たりの熱の流れ Q'/A

■ 熱伝導率 (kappa)=-(Q'/A)/(T;z)=+(Q'/A)*l/dT @

 Q'/A=(下向きのエネルギーの流量)-(上向きのエネルギーの流量)
=(内部エネルギーの差)*(流量)
=dU*n*v=[k*n*v/(Γ-1)]*dT A

@,Aより、

 (kappa)=k*n*l*v/(Γ-1) _

{やっとできた!1週間かかった。内部エネルギーがわかってなかった。2012/10}

  熱伝導  

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