物理 流体力学

2013/8 Yuji.W

☆ベルヌーイの定理☆

◎定常流

表示のお約束 物理定数 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 成分:x 内積* 外積#
微分;x 2階微分;;x 時間微分' 積分$ 球座標(r,a,b) 円柱座標(r.,a,z) 桁Ten
sin=S cos=C tan=T lin=ln e^(i*x)=expi(x)

☆ベルヌーイの定理☆

「grad の意味」

■f(x,y,z)~f(x+dx , y+dy , z+dz) のときの微少変化量 df

 df=(f;x)*dx+(f;y)*dy+(f;z)*dz=<grad(f)>*<dx,dy,dz> .

▲最大傾斜の方向に垂直に微少移動すると、

 |df|=最大値 <grad(f)> が f の最大傾斜の方向になる .

また、最大傾斜の方向に垂直に微少移動すると、

 df=0 関数の値は変化しない .{これも大事!2013/8}

◎定常流

◆密度 ρ(x,y,z) 圧力 P(x,y,z) 外力によるポテンシャル φ(x,y,z)

 流れの場(オイラー表現) <v(x,y,z)> 渦度 <Ω>=<curl<v>>

 流れの場のベクトルをつなげたものは、流線となる

 <加速度>=(<v>*∇)<v>=<Ω>#<v>+(1/2)*<grad(v^2)>

■定常流のときの流れの運動方程式

 <Ω>#<v>+(1/2)*<grad(v^2)>=-<grad(P)>/ρ-<grad(φ)>

両辺に <v> をかける <v>*<Ω>#<v>=0 に注意して、

 <Ω>#<v>+(1/2)*<grad(v^2)>=-<grad(P)>/ρ-<grad(φ)>

 <v>*<grad[P/ρ+φ+v^2/2]>=0

[P/ρ+φ+v^2/2] の最大傾斜の方向と、流れの速度が垂直である。流れの速度の方向に移動しても、[P/ρ+φ+v^2/2] の値は変化しないということである。今、定常流であるから、流れの速度をつなぐ曲線は、流線と一致する。すなわち、

 P/ρ+φ+v^2/2=ある特定の流線上で一定 .ベルヌーイの定理

※定常流である 密度は一定 渦はあってもよい

■定常流 密度は一定 渦がないとき、

 <grad[P/ρ+φ+v^2/2]>=0

 P/ρ+φ+v^2/2=いたる所で一定 .渦がない場合のベルヌーイの定理

☆水槽からの水☆

◆十分大きさ水槽 水面から h だけ下の壁面に穴が開いていて、そこから水が流れ出る 位置エネルギーポテンシャル φ=-g*h

大気圧 P0 考えている範囲で一定 水の密度 ρ=一定

水が流れ出る速さ v 水面が下に下がる速さは 0 とする

■ある特定の流線上で

 P0/ρ=P/ρ-g*h+v^2/2 v=root(2*g*h) .

☆  2013  Yuji.W  ☆

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