物理 流体力学

2013/8 Yvji.W

☆オイラー,ラグランジュ表現☆

◎流体力学の最初の壁{!}

◇オイラー表現での速度 v ラグランジュ表現での速度 \v

「微分演算子」

■ nabla ∇=<;x , ;y , ;z>  ベクトル扱い

 (<A>*∇)=(Ax*;x+Ay*;y+Az*;z)  スカラー扱い

 (<A>*∇)f=Ax*(f;x)+Ay*(f;y)+Az*(f;z)=<A>*grad(f)

 (<A>*∇)<B>=< (<A>*∇)Bx , (<A>*∇)By , (<A>*∇)Bz >

表示のお約束 物理定数 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 成分:x 内積* 外積#
微分;x 2階微分;;x 時間微分' 積分$ 球座標(r,a,b) 円柱座標(r.,a,z) 桁Ten
sin=S cos=C tan=T lin=ln e^(i*x)=expi(x)

☆流れを表す☆

◎流れを表すのに、オイラー表現とラグランジュ表現の2種がある。

{流体力学の最初の壁だ。わかりにくく書いてる資料が多い!2013/8}

■オイラー表現

 位置 <x,y,z> 時刻 t の流れの速度 <v(x,y,z,t)>

電磁場を表すのと同じ方法。

定常流のとき、流束ベクトルをつないだものは、流線を表す。

■ラグランジュ表現 流体素片がどのように動いていくかを表す。

ある特定の流体素片 (識別時刻 t0 に、位置 <r0>)に注目して、時刻 t での、

 位置 <\r(t)> 速度 <\v(t)>=<\r(t)>'

質点の運動を表すのと同じ。

{両方とも別に難しい概念ではないのに、流体の本だと、やたら難しく書いてある!2013/8}

■オイラー表現とラグランジュ表現の関係

 <\v(t)>=(時刻 t での、位置 <x,y,z> での流れの速度)=<v(x,y,z,t)>

★x方向への一様な定常流

 <v>=v*<xu> <\r>=v*t+初期値 <\v>=v*<xu>

2種の速度は一致している。

☆加速度☆

◎運動方程式を作りたい。<\v>' をオイラー表現だとどうなるか知りたい。

■速度の差 <\v(t+dt)>-<\v(t)> をオイラー表現化したい。

 <\v(t)>=<v(x,y,z,t)> <\v(t+dt)>=<v(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt)>

オイラー表現だと、位置の値も変化しているのがミソである。

 <\r(t+dt)>-<\r(t)>=<\v(t)>*dt=<v(x,y,z,t)>*dt

成分ごとに表せば dx=vx*dt dy=vy*dt dz=vz*dt

 <\v(t+dt)>-<\v(t)>
=<v(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt)>-<v(x,y,z,t)>
=(<v>;x)*dx+(<v>;y)*dy+(<v>;z)*dz+(<v>')*dt
=(<v>;x)*vx*dt+(<v>;y)*vy*dt+(<v>;z)*vz*dt+(<v>')*dt

 (加速度)
=[<\v(t+dt)>-<\v(t)>]/dt
=(<v>;x)*vx+(<v>;y)*vy+(<v>;z)*vz+<v>'
=vx*(<v>;x)+vy*(<v>;y)+vz*(<v>;z)+<v>'
=(<v>*∇)<v>+<v>'

{ここがわからず、何十年も悩んでいた!2013/8}

●(<A>*∇)<A>=<curl<A>>#<A>+(1/2)*<grad(A^2)>

■ (加速度)
=<v>'+(<v>*∇)<v>
=<v>'+<curl<v>>#<v>+(1/2)*<grad(v^2)>

 渦度 <Ω>=<curl<v>> とすると、

 <加速度>
=<v>'+(<v>*∇)<v>=<v>'+<Ω>#<v>+(1/2)*<grad(v^2)>

▲第1項:非定常項 第2項+第3項:移流項

 第2項:渦ができることによる加速度

 第3項:速さの2乗が、位置によって変化することによる加速度

☆  2013  Yvji.W  ☆

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