お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012 Yuji.W

☆コイル.ベクトルポテンシャル☆

_ ソレノイド solenoid コイル 磁場 _〔物理定数

◇積* 商/ 微分;x 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積#

◇国際単位系(SI系) クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
◇CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

長いソレノイド

◎ 螺旋状に電気が流れる、無限に長いソレノイド(コイル)が作るベクトルポテンシャルを求めよう。

● ソレノイドの内部で B=μ0*n*I 外部で <B>=0

〓◆〓 電流 I 螺旋の半径(円と見なす) a 単位長さあたりの巻き数 n

 電流(面)密度 J=n*I

■ Jx=-J*Sa=-J*y/r Jy=J*Ca=J*x/r Jz=0

 △Ax=-μ0*n*I*y/r △Ay=+μ0*n*I*x/r △Az=0

■ Ax を求めよう。△Ax=+μ0*J*Sa

▲ x軸方向には電流がなく、y軸方向には電流がある。
{注}電流自体は、方向に関係なく一定の大きさであるが、ベクトルポテンシャルのひとつの成分を考えると、電流が偏っているように見なせる。

● 円柱 軸がz軸 xy平面に平行な面(円)に、面電荷密度=-(σ0)*Sa

重ね合わせの原理により、プラスに一様に σ0 で帯電した球を1/2だけy軸方向マイナス側に、マイナスに一様に σ0 で帯電した球を1/2だけy軸方向プラス側にずらしたものとを重ね合わせた場合の電位と電場と同じになる。

プラス、または、マイナスだけの円柱の電位∝ln(r)
少し位置をずらしたプラスとマイナスの円柱の電位∝ln(r);y=y/r^2

■ 電気双極子と同様に考えて、Ax∝-y/r^2

■ Ay についても、同様に考えて(x軸方向にずらした電気双極子と同じ)、Ay∝x/r^2

■ ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル 比例定数k

 Ax=-ky/r^2 Ay=kx/r^2 Az=0

■ <B>=<rot<A>> だから、{注}r=x^2+y^2 zは関係ない(円筒座標)

 -ky/r^2 kx/r^2 0

 @k/r^2-2k*y^2/r^4 0 0

 A0 k/r^2-2k*x^2/r^4 0

 <B>
 =<0,0,(k/r^2-2k*y^2/r^4)+(k/r^2-2k*x^2/r^4)>
 =<0,0,(2k/r^2-2k*(x^2+y^2)/r^4)>
 =<0,0,0>

長いソレノイド-2-

◎ <A> を電流ベクトルから直接求めてみよう。円柱座標(r,a,z) を使う。

● 円柱座標(r,a,z) では、<△<A>>=<△Ax,△Ay,△Az> のようにならない{!}

● 円柱座標(r,a,z) <A(r,a,z)>=Aa(r)*<au> の場合、

 △Aa(r)=k=定数

k=0 ≫ Aa(r)=C1/r+C2 else ≫ Aa(r)=(k/6)*r^3+C3/r+C4

■ 円柱座標(r,a,z) J=n*I <J>=J*<au>=n*I*<au> <A>=Aa(r)*<au>

 r=a ≫ △<A>=μ0*n*I else △<A>=μ0*n*I

 Aa(r>a)=C1/r+C2 Aa(a)=(μ0*n*I/6)*a^3+C3/a+C4

ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ ソレノイドの内部には磁場があり、外部ではない。ところが、外部にベクトルポテンシャルがある{!}

「ベクトルポテンシャル」

■ 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A> 電流(面密度) <j>

 <B>=<curl<A>> div<A>=0 △<A>=-μ0*<j>=-4Pi*kb*<j>

 <A(1)>=kb*$$${[<j(2)>/r12]*dV2}

◎ ストークスの定理を使って、ベクトルポテンシャルを求める

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド 電流 I 半径 R n [巻/m]

円柱座標(r.,b,x) ソレノイドの軸 x軸 電流(面)密度 <j>=<bu>*n*I

■ 電流は、x軸を取り囲む円の接線方向成分しかないから、ベクトルポテンシャルも同様に、 x軸を取り囲む円の接線方向成分しかない。

 <A>=<bu>*Ab

ソレノイドの外部に、x軸を取り囲むような円(中心がx軸、半径 r.>R)を考えて、

 $${<B>*<dS>}[曲面]=${<A>*<ds>}[閉曲線] ストークスの定理

 左辺=(μ0*n*I)*Pi*R^2 右辺=Ab*2Pi*r.

 Ab=μ0*n*I*(R^2/2)/r.

 <A>=<bu>*μ0*n*I*(R^2/2)/r.  ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

▲ ソレノイドの表面で Ab=μ0*n*I*(R^2/2)/R=μ0*n*I*R/2

{確かめ} <A>より、<B>を求めよう

● 任意のベクトル <A>

 円柱座標のcurl <curl<Ar. , Ab , Az>>_c
=<Az;b/r.-Ab;z , Ar.;z-Az;r. , (r.*Ab);r./r.-Ar.;b/r.>_c

● <bu>成分しかない任意のベクトル <bu>*Ab

 <curl(<bu>*Ab)>_c=<zu>*(r.*Ab);r./r.

 <curl<bu>/r.>=(r./r.);r./r.=(1;r.)/r.=0

 <B>=0  ソレノイドの外部の磁場

{<A> ∝ <bu>/r. ⇒ <B>=0 !}

※ ベクトルポテンシャルは計算上の仮想量ではなく、実際に他の物理量に影響を及ぼす効果があることが確認されている{!}

☆{別解}ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ ベクトルポテンシャルのポアソン方程式を解く

 ◆ 電流 I 螺旋の半径(円と見なす) R 単位長さあたりの巻き数 n

 電流(面)密度 <jx,jy,jz> その大きさ n*I

ソレノイドの中心軸 z軸 円 xy平面 円柱座標(r.,b,z) r.=root(x^2+y^2)

■ 円形に一定の電流密度 n*I で流れるのだが、その成分は、

b=0 で jx=0,jy=最大 b=Pi/2 で jx=最小,jy=0
b=Pi で jx=0,jy=最小 b=3Pi/2 で jx=最大,jy=0
あらゆる所で jz=0

 jx=-n*I*y/r. jy=n*I*x/r.

 △Ax=μ0*n*I*y/r. △Ay=-μ0*n*I*x/r.

比例定数を K として Ax=K*y/r.^2 Ay=-K*x/r.^2 Az=0

● r.;x=2*x/(2*r.)=x/r.

● (1/r.^2);x=[(1/r.^2);r.]*(r.;x)=-(2/r.^3)*(x/r.)=-2*x/r.^4

● (x/r.^2);x=1/r.^2-2*x^2/r.^4

磁場は、

 Bx=Az;y-Ay;z=0 By=Ax;z-Az;x=0

 Bz
=Ay;x-Ax;y
=-K*(x/r.^2);x-K*(y/r.^2);y
=-K*[(1/r.^2-2*x^2/r.^4)+(1/r.^2-2*x^2/r.^4)]
=-K*[2/r.^2-2*(x^2+y^2)/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2*r.^2/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2/r.^2]
=0 
 

 ソレノイドの外部の磁場 <B>=0

☆{別解}ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ ベクトルポテンシャルのポアソン方程式を解く

 ◆ 電流 I 螺旋の半径(円と見なす) R 単位長さあたりの巻き数 n

 電流(面)密度 <jx,jy,jz> その大きさ n*I

ソレノイドの中心軸 z軸 円 xy平面 円柱座標(r.,b,z) r.=root(x^2+y^2)

■ 円形に一定の電流密度 n*I で流れるのだが、その成分は、

b=0 で jx=0,jy=最大 b=Pi/2 で jx=最小,jy=0
b=Pi で jx=0,jy=最小 b=3Pi/2 で jx=最大,jy=0
あらゆる所で jz=0

 jx=-n*I*y/r. jy=n*I*x/r.

 △Ax=μ0*n*I*y/r. △Ay=-μ0*n*I*x/r.

比例定数を K として Ax=K*y/r.^2 Ay=-K*x/r.^2 Az=0

● r.;x=2*x/(2*r.)=x/r.

● (1/r.^2);x=[(1/r.^2);r.]*(r.;x)=-(2/r.^3)*(x/r.)=-2*x/r.^4

● (x/r.^2);x=1/r.^2-2*x^2/r.^4

磁場は、

 Bx=Az;y-Ay;z=0 By=Ax;z-Az;x=0

 Bz
=Ay;x-Ax;y
=-K*(x/r.^2);x-K*(y/r.^2);y
=-K*[(1/r.^2-2*x^2/r.^4)+(1/r.^2-2*x^2/r.^4)]
=-K*[2/r.^2-2*(x^2+y^2)/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2*r.^2/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2/r.^2]
=0 
 

 ソレノイドの外部の磁場 <B>=0

ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ 螺旋状に電気が流れる、無限に長いソレノイド(コイル)が作るベクトルポテンシャルを求めよう。

● ソレノイドの内部(どこでも)で B=μ0*n*I 外部で B=0

〓◆〓 電流 I 螺旋の半径(円と見なす) a 単位長さあたりの巻き数 n

 電流(面)密度 J=n*I

■ 円柱座標(r,a,z)で、<A>=A*<au>

ソレノイドの外部に、z軸を中心とする円を考えて、

 $${<B>*<dS>}[曲面]=${<A>*<ds>}[閉曲線] ストークスの定理

 左辺=(μ0*n*I)*Pi*a^2

 右辺=A*2Pi*r

 A=(μ0*n*I*a^2/2)/r

 <A>=<au>*(μ0*n*I*a^2/2)/r

■ <B>=<rot<A>>=<zu>*(f;r+f/r) ∝ <zu>*(-1/r^2+1/r^2)=0

▲ ソレノイドの外部では、<B>=0 なのに、<A> がある。

<A> は実在する物理量なのか?実在するのが確認されている。

ヘルムホルツコイル

★円電流を2つ平行に置くと、その中間付近では、ほぼ一様な磁場ができる。

■ 2つの円電流の距離2b 中心軸上で、中点からのずれx

 B/{[(μ0)/2]*I*a^2}
=1/[a^2+(b+x)^2]^(3/2)+1/[a^2+(b-x)^2]^(3/2)}

x<<b のとき、

右辺=2/(a^2+b^2)^(3/2)+3*(4*b^2-a^2)*x^2/(a^2+b^2)^(7/2)+…

▲ 中心付近では、 x の項がないので、ほぼ一様な磁場ができる。

■ さらに、2b=a (2つの円電流の距離)=(半径) とすると、x^2 の項もなくなる。もともと x^3 の項もないので、そこまで、一様な磁場ができる。

右辺=2/[a^2+(a/2)^2]^(3/2)={2/root[125/64]}/a^3=1.43/a^3

 B=0.72*(μ0)*I/a ★ヘルムホルツコイルの磁場

お勉強しようUz〕 物理 電磁気 コイル.ベクトルポテンシャル

inserted by FC2 system