お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

☆直線電流☆

_ 直線電流が作る電磁場 _〔物理定数

 

 

 

@ ベクトルポテンシャル A ゆっくり等速直線運動をする電荷 B アンペールの法則 C ビオ・サバールの法則

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

{復習}直線電荷

『直線電荷』

◆ x軸上に直線電荷 電荷線密度 λ0=一定 円柱座標(r,a,x)

■ 電場 <E(r)>=<ru>*2*ke*λ0/r

☆直線電流の諸量

■ 電荷密度 ρ 電荷線密度 λ=ρ*(電流の断面積)

電流の速さ(対光速比) b 電流面密度 J=ρ*c*b 電流 I=J*(断面積)=λ*c*b

■ 電荷が静止しているときの電荷密度 ρ0 電荷線密度 λ0

 ρ=Γ(b)*ρ0 λ=Γ(b)*λ0 J=Γ(b)*b*c*ρ0 I=Γ(b)*b*c*λ0

☆直線電流が作る電磁場☆

◆ 円柱座標 (r,a,x) 定常直線電流 <I>=<xu>*Ix

電荷が静止しているときの電荷線密度 λ0 電流の速さ(対光速比) b

電流 Ix=Γ(b)*b*c*λ0

直線電流が作る電場 <E>=<ru>*Er 磁場 <B>=<au>*Ba

■ Er=

 

 

 I=J*(電線の断面積)

電流の向きと、<curl<B>> の向きが同じ <B> が電流の向きと垂直

電流の方向に対して右ねじの接線方向の単位ベクトル <au>

■ 閉曲線:電流の方向に垂直な平面上の円(半径 r.)

<B(r.)> 円の接線方向だけに成分を持ち、かつ一定の値

アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(曲面)

 左辺=2Pi*r.*B(r.) 右辺=(4Pi*ke/c^2)*I

 B(r.)=(ke/c^2)*2*I/r. _直線電流が作る磁場

方向も考えて <B(r.)>=<au>*(ke/c^2)*2*I/r. _直線電流が作る磁場

国際単位系(SI系)で B(r.)=(μ0/4Pi)*2*I/r.=Ten(-7)*2*I/r.

CGS静電単位系で Bcgs(r.)=(1/c)*2*I/r.

※この値は、無限に長い電流すべての寄与である。計算上は、一平面しか考えていないように見えるが…。無限に長い電流でなければ、Bの値はもっと小さくなる。

{復習}直線電流のベクトルポテンシャル、磁場

『直線電流のベクトルポテンシャル、磁場』

◆ 直線電流 <I> 直線と観測点の距離 r 直線から観測点に向かう方向単位ベクトル <ru>

■ ベクトルポテンシャル <A>=-2*(ke/c^2)*<I>*ln(r)

国際単位系(SI系)で <A>=-(μ0/2Pi)*<I>*ln(r)
CGS静電単位系で <Acgs>=-(2/c)*<I>*ln(r)

■ <B>=2*(ke/c^2)*<I>#<ru>/r

国際単位系(SI系)で <B>=-(μ0/2Pi)*<I>*ln(r)
CGS静電単位系で <Bcgs>=-(2/c)*<I>*ln(r)

☆直線電流が作る磁場☆

「ゆっくり等速直線運動をする電荷が作る電磁場」

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) 単位 m/F=N*m^2/C^2

(ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

◆ 観測点 <r> r=root(x^2+y^2+z^2) r.=root(y^2+z^2)

<ru>=<r>/r x軸と<r>に垂直な単位ベクトル <xr⊥u>

x軸と<r>とが作る角 ∠xOr sin(∠xOr)=r./r

電荷 +q (x軸上を速さ v で動く t=0 観測時刻に原点) v<<c Γ=1

■ <E>=ke*q*<ru>/r^2

 <B>
=(ke/c^2)*q*v*<0,-z,y>/r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*r./r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*sin(∠xOr)/r^2

▲ 本当は、観測時刻より過去に、電荷が存在した位置からの影響が、速さ c で進み、時間がかかって、観測点に届く。しかし、原点にあって静止している電荷の影響が、時間0で瞬間的に届いた電場と同じことになっている{不思議!おもしろい!}

<B> は、x軸と<r>に垂直な向き、すなわち、x軸を取り囲む渦のような磁場になっている。

◎ ゆっくり等速直線をする電荷が作る電磁場から、直線電流が作る磁場を求めよう。

◆ 電荷線密度 λ 電流の速さ v 直線電流 I=λ*v x軸を流れる

v<<c 電線の太さは無視できる 観測点 <0,r.,0> r.>0

● ${(c^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/c^2

■ 観測時刻に観測点における磁場は、直線上に並んだ電荷が、その位置から観測点に瞬間的に及ぼすものと解釈でき、その影響の和になる。

x軸上 x~x+dx にある電荷 λ*dx が作る磁場は、

磁場の向きは、電荷の位置に関係なく、<zu>

 その大きさ dB
=(ke/c^2)*λ*dx*v*r./r^3
=(ke/c^2)*I*r.*(r.^2+x^2)^(-3/2)*dx

 B=(ke/c^2)*2*I*r.*${(r.^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]

次の公式を使って、

公式  ${(r.^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/r.^2

 B=(ke/c^2)*2*I*r./r.^2=2*(ke/c^2)*I/r.

{復習}アンペールの法則

『磁場.アンペールの法則』

◆ <E>'=0 電流(面)密度 <J> 磁場 <B> クーロン力定数 ke

■ ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(曲面)

国際単位系(SI系)で ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I(曲面)

CGS静電単位系で ${<Bcgs>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi/c)*I(曲面)

☆アンペールの法則を使って☆

◆ 無限に長い定常直線電流 I 電流面密度 <J> I=J*(電線の断面積)

電流の向きと、<curl<B>> の向きが同じ <B> が電流の向きと垂直

電流の方向に対して右ねじの接線方向の単位ベクトル <au>

■ 閉曲線:電流の方向に垂直な平面上の円(半径 r.)

<B(r.)> 円の接線方向だけに成分を持ち、かつ一定の値

アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(曲面)

 左辺=2Pi*r.*B(r.) 右辺=(4Pi*ke/c^2)*I

 B(r.)=(ke/c^2)*2*I/r. _直線電流が作る磁場

方向も考えて <B(r.)>=<au>*(ke/c^2)*2*I/r. _直線電流が作る磁場

国際単位系(SI系)で B(r.)=(μ0/4Pi)*2*I/r.=Ten(-7)*2*I/r.

CGS静電単位系で Bcgs(r.)=(1/c)*2*I/r.

※この値は、無限に長い電流すべての寄与である。計算上は、一平面しか考えていないように見えるが…。無限に長い電流でなければ、Bの値はもっと小さくなる。

{復習}直線電流が受ける力

◆ 磁場 <B> 直線電流 <I> 直線電流が受ける力(単位長さ当たり) <\F>

■ <\F>=<I>#<B> _

☆平行直線電荷に働く力☆

◆ 2本の無限に長い定常直線電流 I1,I2 距離 r. その間に働く引力(単位長さ当たり) \F

■ I1 が作る磁場=(ke/c^2)*2*I1/r.

 I2 が受ける力(単位長さ当たり)=I2*[(ke/c^2)*2*I1/r.]=(ke/c^2)*2*I1*I2/r.

I1 と I2 は対称だから、

 \F=(ke/c^2)*2*I1*I2/r. _平行直線電流間に働く引力(単位長さ当たり)

直線電流が作る磁場

「電磁気の単位」 2015/8 [J]=[N*m]=[C*V]=[Wb*A]

■ 電荷 [C] 電流 [A]=[C/sec] 電圧 [V]=[J/C] 電場 E [N/C]

磁場(磁束(面)密度) B [(N/C)/(m/sec)]=[T]=Ten(4)*[gauss]=[Wb/m^2]

真空の誘電率 ε0=Ten(7)/(4Pi*c^2)~8.85418782*Ten(-12)_F/m

 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)_N*m^2/C^2

真空の透磁率 μ0=4Pi*Ten(-7)~1.25663706*Ten(-6)_N/A^2

 (ke/c^2)=μ0/4Pi=Ten(-7) ε0*μ0*c^2=1

◆ 直線電流が受ける力 ◆ 一様な磁場 B0_T 直線電流 I_A

直線電流の単位長さが受ける力 \F_N/m

■ \F=I*B 

単位 [T]=[(N/m)/A] [Wb]=[T]*[m^2]=[N*m/A]=[J/A]

◆ 直線電流が作る磁場 ◆ 直線電流 I_A 距離 r._m 磁場 B_T

■ B=2*(ke/c^2)*I/r. 

 (ke/c^2)の単位=[T/(A*m)]=[N/A^2] (ke/c^2)=Ten(-7)

◆ 平行電流同士の力 ◆ 平行電流 I1,I2 距離 r. 単位長さ当たりの力 \F

■ \F=I1*B=I1*(2*(ke/c^2)*I2/r.)=2*(ke/c^2)*I1*I2/r. 

★ I1=I2=1_A r.=1_m ★ \F=2*Ten(-7)*1*1/1=2*Ten(-7)_N

☆ビオ・サバールの法則を使って☆

[ビオ・サバールの法則 1820] ◇ (ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

 <dB>=(ke/c^2)*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 電流 I x軸上 直線電流から観測点までの距離 r.

ビオ・サバールの法則 電流素片 dI が作る磁場 dB

電流素片と観測点を結ぶベクトル <r> <r>とx軸とが作る角 b

観測点から直線電流への垂線と<r>とが作る角 a a+b=Pi/2

 x/r.=tan(a) r./r=cos(a)

電流素片が作る磁場 dB=(ke/c^2)*dI*sin(b)/r^2=(ke/c^2)*I*dx*cos(a)/r^2

■ dx=[r./cos(a)^2]*da cos(a)/r^2=cos(a)*cos(a)^2/r.^2

 [cos(a)/r^2]*dx=[cos(a)/r.]*da

 B
=2*(ke/c^2)*I*${[cos(a)/r^2]*dx}[x:0~∞]
=2*(ke/c^2)*(I/r.)*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*(I/r.)*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*I/r.{素晴らしい!}

お勉強しようUz〕 物理 電磁気 直線電流

inserted by FC2 system