物理 電磁気 2018/7-2012/1 Yuji.W

定常電流のベクトルポテンシャル ☆

ポアソン方程式 電流面密度とベクトルポテンシャル

 ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) _

デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec

\e=1.6021766208 素電荷 qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=Ten(-7)=μ0/(4Pi)

CGS静電単位系 ke=1 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>
 
I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G _

物理定数 力学の単位 電磁気の単位 00

〓 ポアソン方程式の解 〓

◆ △φ(x,y,z)=f(x,y,z)

体積積分するときの座標 (X,Y,Z) 体積要素 dV (x,y,z)と(X,Y,Z)の距離 r

■ 解 φ(x,y,z)=-$$${[f(X,Y,Z)/r]*dV}/(4Pi)

〓 定常電流が作るベクトルポテンシャル 〓

◆ 静磁場 定常電流密度 <J> それが作る磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

■ 電磁気方程式(マクスウェル方程式)より、

 <curl<B>>=4Pi*(ke/c^2)*<J(x,y,z)> @

<B>=<curl<A>> であったから、

 <curl<B>>=<curl<curl<A>>>=<grad(div<A>)>-△<A>

静磁場では div<A>=0 とするから <curl<B>>=-△<A>

 △<A>=-4Pi*(ke/c^2)*<J(x,y,z)> _

成分ごとに表示すれば

 △Ax=-4Pi*(ke/c^2)*Jx
 △Ay=-4Pi*(ke/c^2)*Jx
 △Az=-4Pi*(ke/c^2)*Jx

解は成分ごとに、

 Ax=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V]
 Ay=(ke/c^2)*$$${(Jy/r)*dV}[電流が流れている領域V]
 Az=(ke/c^2)*$$${(Jz/r)*dV}[電流が流れている領域V]

ベクトルで表せば、

 <A>=(ke/c^2)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V] _

 〔 r:体積要素から観測点までの距離

国際単位系 <A>=-Ten(-7)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

CGS静電単位系 <Acgs>=-(1/c)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

〓 定常電流が作るベクトルポテンシャル 〓

◆ 静磁場 定常電流密度 <J> ベクトルポテンシャル <A>

■ <A>=(ke/c^2)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

 〔 r:体積要素から観測点までの距離

※ 領域Vは有限である必要がある。そうでないと、積分が発散してしまう恐れがある。

国際単位系 <A>=Ten(-7)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

CGS静電単位系 <Acgs>=(1/c)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

〓 ベクトルポテンシャルの任意性 〓

■ 任意のスカラー関数 f(x,y,z) に対して、

 <\A>=<A>+<grad(f)> <\B>=<curl<\A>> とすると、

 <\B>
=<curl<\A>>
=<curl<A>>+<curl<grad(f)>>
=<curl<A>>+0
=<B>

したがって ベクトルポテンシャル <A> に対して、任意のスカラー関数 f(x,y,z) を使って <\A>=<A>+<grad(f)> としても、磁場は変わらない。 _

■ curl は1階微分だから、任意の定数a,b,c に対して

  <curl<Ax+a,Ay+b,Az+c>>=<curl<Ax,Ay,Az>>

任意の関数 f に対して、<curl<grad(f)>=0 だから、

  <curl<<A>+grad(f)>>=<curl<A>>

<A> の各成分に任意の定数を加えても、任意の関数の grad を加えても、磁場 <B> の値は変わらない。

■ さらに、<A>=<\A>+grad(f) のとき、

  div<A>=div[<\A>+grad(f)]=div<\A>+△f  だから、

適当な f を決めて、div<A> とすることができる。

  静磁場で <B>=<curl<A>> & div<A>=0

■ <B>=<curl<A1>>=<curl<A2>> のとき、

  <curl<(<A1>+<A2>)/2>>=<B> となる

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆

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