☆ 電流とベクトルポテンシャル ☆

☆ お勉強しよう　電磁気　数学　22.7-18.7　Yuji.W

〇 定常電流が作るベクトルポテンシャル　ポアソン方程式　★　

2*3=6　6/2=3　3^2=9　Ten(3)=10^3=1000　　000 py- 0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　|<A>|=A　<A>/A=<Au>　
積 3*<A>　内積 <A>*<B>　外積 <A>#<B>

(3|=2.99792458　光速 c=(3|*Ten(8)_m/sec
速さ(対光速比) b　相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)　Γ(b)*b=Λ(b)

(1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C　　
クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2　 

〓　ポアソン方程式の一般解　〓　22.5

▢ 関数 u(x,y,z) , f(x,y,z)　ラプラシアン △=(::x)+(::y)+(::z)

ポアソン方程式　△u(x,y,z)=-f(x,y,z)

観測点 (x,y,z)　関数 f(x,y,z) の要素の位置 (X,Y,Z)　2点間の距離 s　体積要素 dV

▷ 解 u(x,y,z)=[1/(4Pi)]*$$${[f(X,Y,Z)/s]*dV [f(X,Y,Z) がある領域]}

〓　電磁気方程式.Maxwell方程式.静電磁場　〓　

▢ 静電磁場、定電流　電荷密度 ρ　電流面密度 <j>　クーロン力定数 ke

▷ ① div<E>=4Pi*ke*ρ　② <curl<E>>=0　

③ div<B>=0　④ <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<j>

〓  連続的な電荷分布が作る電位  〓  22.6　

● 2階偏微分 ::　ラプラシアン △=(::x)+(::y)+(::z)

● 2つの点電荷が作る電位 φ=ke*(q1/r1+q2/r2)

▢ 静電場(電荷が静止している)　連続的な電荷

電荷密度 ρ(x,y,z)　電位 φ(x,y,z)　電場 <E(x,y,z)>=-<grad(φ)>　

クーロン力定数 ke　国際単位系 ke=1/(4*Pi*ε0)　CGS静電単位系 ke=1

▷ △φ(x,y,z)=-4Pi*ke*ρ(x,y,z)　

▷ 体積要素 dV　観測点までの距離 s(X,Y,Z)=root[(X-x)^2+(Y-y)^2+((Z-z)^2]　

　φ(x,y,z)=ke*$$${dV*ρ(X,Y,Z)/s(X,Y,Z) [電荷のある領域]}　

〓  定常電流が作るベクトルポテンシャル　 〓　

● 2階偏微分 ::　ラプラシアン △=(::x)+(::y)+(::z)

▢ 静磁場、定電流の場　クーロン力定数 ke

電流面密度 <j>　ベクトルポテンシャル <A>　磁場 <B>=<curl<A>>

▷ <B>=<curl<A>>　

両辺の curl をとって　<curl<B>>=<curl<curl<A>>>

任意のベクトル <V> に対して　<curl<curl<V>>>+△<V>=<grad(div<V>)>　だから、

　<curl<B>>=-△<A>+<grad(div<A>)>

静磁場では　div<A>=0　として　<curl<B>>=-△<A>

Maxwell方程式④　<curl<B>>=4*Pi*(ke/c^2)*<j(x,y,z)>　だったから、

　△<A>=-4*Pi*(ke/c^2)*<j(x,y,z)>　★　ベクトルポテンシャルと電流面密度のポアソン方程式

両辺とも、単純なベクトルで表されているから、成分ごとに簡単に分けられる。

x成分　△Ax=-4*Pi*(ke/c^2)*jx　★　他の成分も同様

体積要素 dV　関数 f の要素と観測点との距離 s=root[(X-x)^2+(Y-y)^2+((Z-z)^2]　として、

解　Ax=(ke/c^2)*$$${dV*jx(X,Y,Z)/s [jx がある領域]}　★　他の成分も同様

▲ 次の、電位を求めるポアソン方程式の解の結果を使う事ができる

連続的な電荷　電荷密度 ρ(x,y,z)　体積要素 dV　観測点までの距離 s(X,Y,Z)

　φ(x,y,z)=ke*$$${dV*ρ(X,Y,Z)/s(X,Y,Z) [電荷のある領域]}　

〓　定常電流が作るベクトルポテンシャル　〓　22.7

● 2階偏微分 ::　ラプラシアン △=(::x)+(::y)+(::z)

▢ 静磁場、定電流の場　電流面密度 <j(x,y,z)>　クーロン力定数 ke

ベクトルポテンシャル <A(x,y,z)>　磁場 <B(x,y,z)>=<curl<A(x,y,z)>>　

▷ △<A(x,y,z)>=-4*Pi*(ke/c^2)*<j(x,y,z)>

x成分　△Ax(x,y,z)=-4*Pi*(ke/c^2)*jx(x,y,z)　

▷ 体積要素 dV　観測点までの距離 s(X,Y,Z)=root[(X-x)^2+(Y-y)^2+((Z-z)^2]　

　Ax(x,y,z)=(ke/c^2)*$$${dV*jx(X,Y,Z)/s(X,Y,Z) [jx がある領域]}　他の成分も同様

▷ 国際単位系で　ke/c^2=μ0/(4*Pi)=Ten(-7)_N/A^2　

CGS静電単位系で　Acgsx(x,y,z)=(1/c)*$$${dV*jx(X,Y,Z)/s(X,Y,Z) [jx がある領域]}　

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