お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

ベクトルポテンシャル

_ 電流が作る磁場 ベクトルポテンシャル 定常電流が作るベクトルポテンシャル ポアソン方程式 _

【ベクトル】ベクトル <A> 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
【微積分】微分 ;x 
時間微分 ' 積分 $【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【光速】2.99792458=\3 c=\3*Ten(8)_m/sec=\3*Ten(10)_cm/sec
【相対論】速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
【電磁気】国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

物理定数〕〔質量やエネルギーの単位〕〔力学の単位〕〔電磁気の単位

{復習}マクスウェル方程式

『マクスウェル方程式』

◆ 電荷密度 ρ 電流(面)密度 <J> 電場 <E> 磁場 <B>

■ @ div<E>=4Pi*ke*ρ A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J>+<E>'/c^2

■ 国際単位系(SI系)で @ div<E>=ρ/ε0 A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=μ0*<J>+<E>'/c^2

■ CGS静電単位系で @ div<E>=4Pi*ρ A <curl<E>>=-<Bcgs>'/c
B div<B>=0 C <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J>+<E>'/c

ベクトルポテンシャル

■ <E>'=0 のとき div<B>=0 & <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<j>

div<B>=0 より、次のような <A> を定める事ができる。

 ベクトルポテンシャル <A> <B>=<curl<A>> _

自動的に div<B>=<div<curl<A>>>=0 を満たしている

{復習}curl

『curl』

■ 3次元ベクトル <A(x,y,z)>=<Ax Ay Az>

 z軸に対する循環=${<A>*<ds>}[xy平面上の閉曲線]

 <curl<A>>のz成分=lim[面積->0]{z軸に対する単位面積当たりの循環}

■ <curl<Ax Ay Az>>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y>

■ x の関数 f(x) <curl[<yu>*f(x)]>=<zu>*[f(x);x]

 <curl[<zu>*f(x)]>=-<yu>*[f(x);x]

■ 円柱座標(r,a,z) r=root(x^2+y^2) r だけの関数 f(r)

 <curl[<au>*f(r)]>=<zu>*{[(f(r)*r];r}/r

 <curl[<zu>*f(r)]>=-<au>*[f(r);r]

★ <curl(<au>*r)>=<zu>*2 ★ <curl(<au>/r)>=0

★ <curl[<zu>*ln(r)]>=-<au>/r

■ $${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]=${<A>*<ds>}[s:閉曲線]

 ストークスの定理

☆一様な磁場のベクトルポテンシャル

◆ <B>=<zu>*B0=一様 となるベクトルポテンシャル <A>=<Ax Ay Az> ?

{例1} <A>=-<xu>*B0*y

{例2} <A>=<yu>*B0*x

{例3} <A>=<-y x 0>*B0/2

{例4} <A>=<au>*B0*r/2

ベクトルポテンシャルの任意性

■ 任意のスカラー関数 f(x,y,z) に対して、

 <\A>=<A>+<grad(f)> <\B>=<curl<\A>> とすると、

 <\B>
=<curl<\A>>
=<curl<A>>+<curl<grad(f)>>
=<curl<A>>+0
=<B>

したがって ベクトルポテンシャル <A> に対して、任意のスカラー関数 f(x,y,z) を使って <\A>=<A>+<grad(f)> としても、磁場は変わらない。 _

■ curl は1階微分だから、任意の定数a,b,c に対して

  <curl<Ax+a,Ay+b,Az+c>>=<curl<Ax,Ay,Az>>

任意の関数 f に対して、<curl<grad(f)>=0 だから、

  <curl<<A>+grad(f)>>=<curl<A>>

<A> の各成分に任意の定数を加えても、任意の関数の grad を加えても、磁場 <B> の値は変わらない。

■ さらに、<A>=<\A>+grad(f) のとき、

  div<A>=div[<\A>+grad(f)]=div<\A>+△f  だから、

適当な f を決めて、div<A> とすることができる。

  静磁場で <B>=<curl<A>> & div<A>=0

■ <B>=<curl<A1>>=<curl<A2>> のとき、

  <curl<(<A1>+<A2>)/2>>=<B> となる

{復習}ポアソン方程式の解

『ポアソン方程式の解』

◆ △φ(x,y,z)=f(x,y,z)

体積積分するときの座標 (X,Y,Z) 体積要素 dV (x,y,z)と(X,Y,Z)の距離 r

■ 解 φ(x,y,z)=-(1/4Pi)*$$${[f(X,Y,Z)/r]*dV}

☆定常電流が作るベクトルポテンシャル

◆ 定常電流密度 <J> それが作る磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

■ <B>と<A>の関係 <B>=<curl<A>>

 <curl<B>>=<curl<curl<A>>>

ベクトルの公式より

 <curl<curl<A>>>=<grad(div<A>)>-△<A>

静磁場では div<A>=0 とするから <curl<curl<A>>>=-△<A>

 <curl<B>>=<curl<curl<A>>>=-△<A>

≫ <curl<B>>=-△<A> _静磁場での<B>と<A> @

■ 静磁場で、マクスウェルの方程式4より、

定常電流が作る磁場 <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J(x,y,z)> A

@Aより △<A>=-(4Pi*ke/c^2)*<J(x,y,z)> _

x成分は、 △Ax=-(4Pi*ke/c^2)*Jx

解は Ax
=+(4Pi*ke/c^2)*(1/4Pi)*$$${(Jx/r)*dV}
=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V]

他の成分も同様。結果をベクトルで表せば、

 <A>=(ke/c^2)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V] _

国際単位系(SI系)で <A>=(μ0/4Pi)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

CGS静電単位系で <Acgs>=(1/c)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

『定常電流のベクトルポテンシャル』

◆ 定常電流密度 <J> それが作る磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

 電流密度と観測点との距離 r

■ △<A>=-(4Pi*ke/c^2)*<J(x,y,z)>

■ Ax=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V] Ay=… Az=…

 <A>=(ke/c^2)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

国際単位系(SI系)で <A>=(μ0/4Pi)*$$${<J>/r)*dV}
CGS静電単位系で <Acgs>=(1/c)*$$${<J>/r)*dV}

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