物理 電磁気 2018/4-2012/1 Yuji.W

☆ 有限な長さの直線電荷 ☆

直線電荷 棒状電荷 有限な長さ 電場 電位  _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)
 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔 電磁気単位

〓 直線電荷が作る電場、電位 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) z軸上に無限長の直線電荷 電荷線密度 λ=一定 電場 <E> 電位 φ

■ <E>=<hu>*2*ke*λ/h

φ(H)=0 のとき φ(h)=-2*ke*λ*ln(h/H)

〓 長さが有限な直線電荷 〓 .

◎ 長さが有限の直線電荷

◆ x軸上に直線電荷 長さ 2*X 中心:原点 -X<x<X〔 X:正の定数 〕

電荷線密度 λ=一定 総電荷 Q=2*λ*l 観測点 (0,0,z)〔 z>0 〕 電位 φ(z)

{dx/root(x^2+A^2)}=ln[x+root(x^2+A^2)+積分定数

■ 微少部分 x~x+dx にある電荷 λ*dx 観測点までの距離 root(x^2+z^2)

 dφ=ke*λ*dx/root(x^2+z^2)

 φ=2*ke*λ*${dx/root(x^2+z^2)}[x:0~X]
${dx/root(x^2+z^2)}=ln[x+root(x^2+z^2)]
 ${dx/root(x^2+z^2)}[x:0~X]=ln[X+root(X^2+z^2)]-ln(z)

 φ(z)=2*ke*λ*{ln[X+root(X^2+z^2)]-ln(z)}+積分定数

z=X のとき φ(X)=φ0 とすれば、

 φ0=φ(X)=2*ke*λ*{ln[X+root(X^2+X^2)]-ln(X)}+積分定数

ここで ln[X+root(X^2+X^2)]-ln(X)=ln(1+root2)

 積分定数=φ0-2*ke*λ*ln(1+root2)

 φ(z)=2*ke*λ*{ln[X+root(X^2+z^2)]-ln(z)-ln(1+root2)}+φ0

ここで ln[X+root(X^2+z^2)]-ln(z)-ln(1+root2)
=ln{[X+root(X^2+z^2)]/z}-ln(1+root2)
=ln{X/z+root[1+(X/z)^2]}-ln(1+root2)

》φ(z)=2*ke*λ*(ln{X/z+root[1+(X/z)^2]-ln(1+root2))+φ0 _

★ φ(X)=2*ke*λ*[ln(1+root2)-ln(1+root2)]+φ0=φ0

 φ(2*X)=2*ke*λ*{ln[0.5+root(1.25)]-ln(1+root2)}+φ0

ここで ln[0.5+root(1.25)]~0.48 ln(1+root2)~0.88

 φ(2*X)=-0.8*ke*λ+φ0

z->∞ φ(∞)=-2*ke*λ*ln(1+root2))+φ0~-1.76*ke*λ*+φ0

〓 直線電荷の電位 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) z軸上に直線電荷 -l<z<l〔 l:正の定数 〕

電荷線密度 λ=一定 総電荷 Q=2*λ*l R=root(h^2+l^2)

観測点 (h,0,0) 電位 φ(h)

■ 微少部分 z~z+dz にある電荷 λ*dz 観測点までの距離 r

 dφ=ke*λ*dz/r φ=2*ke*λ*${dz/r}[z:0~l]+積分定数

ここで、次のように、角 a を導入すると、

 z=h*tan(a) r*cos(a)=h r=root(z^2+h^2) 0≦a<Pi/2

 l=h*tan(a0) sin(a0)=l/root(h^2+l^2)=l/R

 dz=h*da/cos(a)^2 [z:0~l] ⇔ [a:0~a0]

 dz/r=[h*da/cos(a)^2]*[cos(a)/h]=da/cos(a)

 ${dz/r}[z:0~l]
=${da/cos(a)}[a:0~a0]
=(1/2)*ln{[1+sin(a0)]/[1-sin(a0)]}
=(1/2)*ln[(1+l/R)/(1-l/R)]
=(1/2)*ln[(R+l)/(R-l)]

 φ(h)=ke*λ*ln[(R+l)/(R-l)]+積分定数 _

φ(l)=0 とすれば 積分定数=-ke*λ*ln[(root2+1)/(root2-1)]

〓 直線電荷の電位-2- 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) z軸上に直線電荷 -l<z<l〔 l:正の定数 〕

電荷線密度 λ=一定 総電荷 Q=2*λ*l R=root(h^2+l^2)

観測点 (h,0,0) 電位 φ(h) φ(l)=0

 φ(h)=ke*λ*ln[(R+l)/(R-l)]+積分定数

■ l/R<<1 のとき

 R=root(h^2+l^2)=h

 φ(h)=ke*λ*ln[(1+l/R)/(1-l/R)]+積分定数

ここで |x|<<1 のとき ln(1+x)=x だから、

 ln[(1+l/R)/(1-l/R)]=ln(1+l/R)-ln(1-l/R)=l/R-(-l/R)=2*l/R=2*l/h

 φ(h)=2*ke*λ*l/h+積分定数=ke*Q/h+積分定数 _

〓 直線電荷の電位 〓 .

◎ 直線状に並んだ電荷(長さは有限)が作る電位

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■【 棒の垂直二等分線上の電位 】 z=0

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=root[Z^2+r^2]

 φ(r,0)
=ke*λ*${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:-L~L]
=2*ke*λ*${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:0~L]

正の数 A に対して ${dx/root(x^2+A)}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

 ${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:0~L]
={ln[Z+root(Z^2+r^2)]}[Z:0~L]
=ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)

 φ(r,0)=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}

ln[L+root(L^2+r^2)]+ln[-L+root(a^2+r^2)]=ln(r^2)=2*ln(r) を使うと、

 2*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ln[L+root(L^2+r^2)]+ln[L+root(L^2+r^2)]-2*ln(r)
=ln[L+root(L^2+r^2)]-ln[-L+root(L^2+r^2)]
=ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

≫ φ(r,0)
=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]} 
.

{やっとできた!苦労した!2016/12}

■【 z軸上の電位  】  r=0

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=z-Z

 φ(0,z)=ke*λ*${dZ/(z-Z)}[Z:-L~L]

 ${dZ/(z-Z)}[Z:-L~L]
=[-ln(z-Z)][Z:-L~L]
=-ln(z-L)+ln(z+L)
=ln[(z+L)/(z-L)]

 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)/(z-L)] .

■【 任意の位置の電位 】

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=root[(z-Z)^2+r^2]

 φ(r,z)=ke*λ*${dZ/root[(z-Z)^2+r^2]}[Z:-L~L]

● ${dx/root(x^2+A^2)}=ln[x+root(x^2+A^2)]+積分定数

■ z-Z=h と置くと dZ=-dh [Z:-L~L]=[h:z+L~z-L]

 ${dZ/root[(z-Z)^2+r^2]}[Z:-L~L]
=-${dZ/root[h^2+r^2]}[h:z+L~z-L]
=-ln[h+root(h^2+r^2)][h:z+L~z-L]
=ln{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}-ln{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]})

≫ φ(r,z)
=ke*λ*ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}) 
.

▲ r=0 & z>L のとき

 [ln(~)の中身]=[2*(z+L)]/[2*(z-L)]=(z+L)]/(z-L)

 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)]/(z-L)]

r>0 & z=0 のとき

 [ln(~)の中身]=[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]

 φ(r,0)=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

『直線電荷の電位』 2016/12

◎ 直線状に並んだ電荷(長さは有限)が作る電位

◆ z軸上 z=-L から z=L までに一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■ φ(r,z)
=ke*λ*ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]})

z軸上 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)]/(z-L)]

棒の垂直二等分線上

 φ(r,0)
=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

★ r=root3*L & z=0 のとき

 φ=ke*λ*ln{(L+2*L)/(-L+2*L)]=ln(3)*ke*λ

★ r=0 & z=2*L のとき

 φ=ke*λ*ln(3*L/L)=ln(3)*ke*λ

★ r=(3/2)*L & z=L のとき

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=[2*L+(5/2)*L]/[(3/2)*L]
=(9/2)/(3/2)
=ln(3)

 φ(r=(3/2)*L,z=L)=ln(3)*ke*λ

{まとめ} 電位 φ(r=root3*L,z=0) 次の3点の電位は等しい。

 φ(root3*L,0)=φ(0,2*L)=φ((3/2)*L,L)=ln(3)*ke*λ

〓 直線電荷の等電位面 〓 .

『回転楕円体』 2016/12

■ z軸で回転した楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1

 r^2=x^2+y^2 R,Z:正の定数 楕円体[半径 R 直径 2*R 長さ 2*Z]

■【 すっきり回転楕円体 0<R<Z 】

 F=root(Z^2-R^2) 離心率 e=F/Z=root[1-(R/Z)^2]

 r^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1

■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<R 】

 F=root(R^2-Z^2) 離心率 e=F/R=root[1-(Z/R)^2]

 r^2/R^2+z^2/(R^2-F^2)=1

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z)

 電位 φ(r,z)
=ke*λ*ln[{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}]

■ 次の3点の電位は等しい。

 φ(root3*L,0)=φ(0,2*L)=φ((3/2)*L,L)=ln(3)*ke*λ

3点は、次の回転楕円体上にある  r^2/3+z^2/4=L^2

等電位面は、回転楕円体であると予想できる。

{確かめ}  r^2/3+z^2/4=L^2 のとき r^2=3*L^2-3*z^2/4〔 |z|≦2*L 〕

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]} {(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}

 (z+L)^2+r^2
=(z+L)^2+(3*L^2-3*z^2/4)
=z^2/4+2*z*L+4*L^2
=(z^2+8*z*L+16*L^2)/4
=(z+4*L)^2/4

 (z+L)+root[(z+L)^2+r^2]=(z+L)+(z+4*L)/2=(3/2)*(z+2*L)

また (z-L)^2+r^2
=(z-L)^2+(3*L^2-3*z^2/4)
=z^2/4-2*z*L+4*L^2
=(z-4*L)^2/4

 (z-L)+root[(z-L)^2+r^2]=(z-L)-(z-4*L)/2=(1/2)*(z+2*L)

よって {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=[(3/2)*(z+2*L)]/[(1/2)*(z+2*L)]
=3 {定数になった!}

r^2/3+z^2/4=L^2 のとき φ(r,z)=ke*λ*ln(3) .

■ 回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 R=root(Z^2-L^2) 〕 上で、

 r^2=R^2-z^2*R^2/Z^2

 (z+L)^2+r^2
=(z+L)^2+(R^2-z^2*R^2/Z^2)
=z^2+2*z*L+L^2+R^2-z^2*R^2/Z^2
=z^2*(1-R^2/Z^2)+2*z*L+Z^2
=z^2*L^2/Z^2+2*z*L+Z^2
=(z*L/Z+Z)^2

 (z+L)+root[(z+L)^2+r^2]=(z+L)+(z*L/Z+Z)=(z+Z)*(1+L/Z)

また (z-L)+root[(z-L)^2+r^2]=(z+Z)*(1-L/Z)

よって、

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=(1+L/Z)/(1-L/Z)
=(Z+L)/(Z-L)

 φ(r,z)=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)]=一定 .

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 R=root(Z^2-L^2) 〕が等電位面になっている

『直線電荷』 2016/12

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■ φ(r,z)
=ke*λ*ln[{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}]

■ 回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 Z^2=R^2+L^2 〕 上で、

 φ(r,z)=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)] 等電位面

★ Z=2*L R=root3*L

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 が等電位面

 φ(r,z)=ln(3)*ke*λ

★ Z=3*L R=2*root2*L

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 が等電位面

 φ(r,z)=ln[4/(3-2*root2)]*ke*λ~ln(23.256)*

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