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☆ 線分電荷 ☆ |
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〇 有限の長さ 棒状電荷 電場 電位 |
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【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # ★ |
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【電磁気】(1.6|=1.6021766208 素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2 μ0=1/(ε0*c^2)=4*Pi*ke/c^2=4*Pi*Ten(-7)_N/A^2 磁場 B [T]=[N/(A*m)] 磁場(光速倍) cB [N/C] CGS静電単位系で ke=1 電荷 q [esu]=[root(dyn)*cm] 1_C=(1.6|*Ten(9)_esu 磁場 Bcgs [G]=[dyn/esu] [国際単位系の磁場 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系の磁場 Bcgs=10000_G] [国際単位系で 電流 I=1_A=1_C/sec] ⇔ [CGS静電単位系で I/c=0.1_esu/cm] |
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〓 微分、積分 〓 〇 変数 x 正の定数 A ▷
{ln[root(x^2+A^2)+A]-ln(x)};x 通分すると、 (分母)=x*root(x^2+A^2)*[root(x^2+A^2)+A] (分子) (分子)/(分母)=-A/x*root(x^2+A^2) {ln[root(x^2+A^2)+A]-ln(x)};x=-A/[x*root(x^2+A^2)] ★ A*${dx/[x*root(x^2+A^2)]}=-ln[root(x^2+A^2)+A]+ln(x) ★ ♡ このページの{核心!} |
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〓 線分電荷が作る電場 垂直二等分線上 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) <Ax Ah Aa_C>=<xu>*Ax+<hu>*Ah+<au>*Aa x軸上 -L<x<L に一様な線分電荷 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2*λ*L 観測点 (0,h,a_C) 電場 <E>=<hu>*E(h) ▷ 微小部分 x~x+dx を考える。 (微小部分の電荷)=λ*dx (観測点までの距離)=root(x^2+h^2) (電場の大きさ)=ke*λ*dx/(x^2+h^2) (電場のy成分)=(電場の大きさ)*h/root(x^2+h^2)=ke*λ*h*dx/(x^2+h^2)^(3/2) E(h)=2*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~L] ● ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}=x/[h^2*root(x^2+h^2) ● ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~L]=L/[h^2*root(L^2+h^2) E(h) <E>=<hu>*2*ke*λ*L/[h*root(L^2+h^2)]=<hu>*ke*Q/[h*root(h^2+L^2)] ★ |
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〓 線分電荷が作る電位 垂直二等分線上 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) <Ax Ah Aa_C>=<xu>*Ax+<hu>*Ah+<au>*Aa x軸上 -L<x<L に一様な線分電荷 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2*λ*L 観測点 (0,h,a_C) 電位 φ(h) ▷ 微小部分 x~x+dx を考える。 (微小部分の電荷)=λ*dx (観測点までの距離)=root(x^2+h^2) (電位)=ke*λ*dx/root(x^2+h^2) φ(h)=2*ke*λ*${dx/(x^2+h^2) [0~L]} ${dx/(x^2+h^2)}=ln[root(x^2+A^2)+x]+積分定数 ${dx/(x^2+h^2) [x|0~L]} φ(h)=2*ke*λ*{ln[root(h^2+L^2)+L]-ln(h)} ★ ▷ <E>=<hu>*2*ke*λ*L/[h*root(L^2+h^2)] φ(h)=2*ke*λ*{ln[root(h^2+L^2)+L]-ln(h)} ここで {ln[root(x^2+A^2)+A]-ln(x)};x=-A/[x*root(x^2+A^2)] であったから、 Eh=-φ:h ★ |
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〓 線分電荷が作る電場 線分の延長上 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) <Ax Ah Aa_C>=<xu>*Ax+<hu>*Ah+<au>*Aa x軸上 -L<x<L に一様な線分電荷 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2*λ*L 0<L<x において 観測点 (x,0,a_C) 電場 <E>=<xu>*E(x) ▷ 微小部分 X~X+dX を考える。 (微小部分の電荷)=λ*dX (観測点までの距離)=x-X dE=ke*λ*dX/(x-X)^2 E(x)=ke*λ*${dX/(x-X)^2}[x:-L~L] ここで ${dX/(x-X)^2}=1/(x-X) ${dX/(x-X)^2}[x:-L~L]=1/(x-L)-1/(x+L)=2*L/(x^2-L^2) E(x)=2*ke*λ*L/(x^2-L^2)=ke*Q/(x^2-L^2) ★ |
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〓 線分電荷が作る電位 線分の延長上 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) <Ax Ah Aa_C>=<xu>*Ax+<hu>*Ah+<au>*Aa x軸上 -L<x<L に一様な線分電荷 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2*λ*L 0<L<x において 観測点 (x,0,a_C) 電位 φ(x) ▷ 微小部分 X~X+dX を考える。 (微小部分の電荷)=λ*dX (観測点までの距離)=x-X dφ=ke*λ*dX/(x-X) φ(x)=ke*λ*${dX/(x-X)}[x:-L~L] ここで ${dX/(x-X)}=-ln(x-X) ${dX/(x-X)}[x:-L~L]=-ln(x-L)+ln(x+L)=ln[(x+L)/(x-L)] φ(x)=ke*λ*ln[(x+L)/(x-L)] ★ |
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〓 線分電荷が作る電場、電位 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) x軸上 -L<x<L に一様な線分電荷 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2*λ*L 電場 <E> 電位 φ ▷ 線分電荷の垂直二等分線上で、 <E>=<hu>*2*ke*λ*L/[h*root(h^2+L^2)]=<hu>*ke*Q/[h*root(h^2+L^2)] φ(h)=2*ke*λ*{ln[root(L^2+h^2)+L]-ln(h)} ▷ 線分電荷の延長線上 0<L<x で、 <E>=<xu>*2*ke*λ*L/(x^2-L^2)=<xu>*ke*Q/(x^2-L^2) φ(x)=ke*λ*ln[(x+L)/(x-L)] |
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〓 {考察}線分電荷が作る電位 〓 ▢ 円柱座標 (x,h,a_C) 半径 2*L の球面上で ▷ 垂直二等分線上 φ(0,2*L,a_C)/(ke*λ)=2*ln{[root(5)+1]/2}~2*ln(1.618)~0.962 線分の延長上 φ(2*L,0,a_C)/(ke*λ)=ln(3)~1.099 φ(0,2*L,a_C)/φ(2*L,0,a_C)=0.962/1.099~0.875 ▢ φ(0,h,a_C)=φ(2*L,0,a_C) となるときの h ? h=2*L より小さい値になる ▷ 2*{ln[root(L^2+h^2)+L]-ln(h)}=ln(3) ln[root(L^2+h^2)+L]-ln(h) ここで L/h=a と置けば ln[root(L^2+h^2)+L]-ln(h)=ln[root(1+a^2)+a] 2*ln[root(1+a^2)+a]=ln(3) exp{2*ln[root(1+a^2)+a]}=3 [root(1+a^2)+a]^2=3 (1+a^2)+2*root(1+a^2)*a+a^2=3 root(1+a^2)*a=1-a^2 両辺を2乗すると (1+a^2)*a^2=1-2*a^2+a^4 a^2=1/3 a=1/root(3) L/h=1/root(3) h=root(3)*L~1.73*L ★ |
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