☆お勉強しよう.Uz☆ 物理.電磁気

2016/12-2012/1 Yuji.W

☆棒状電荷

. 棒状電荷が作る電場 長さが有限 等電位面 

クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1
ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔
物理定数〕.  .
ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}直線電荷

『直線電荷』 2016/12

◆ 無限に続く直線電荷 電荷(線)密度 λ=電荷密度*断面積=一定

直線電荷からの距離 r 電場 E(r) 電位 φ(r) 電位の基準点:r0

■ E(r)=2*ke*λ/r φ(r)-φ(r0)=-2*ke*λ*ln(r/r0)

◇棒状電荷の電位◇

◎ 直線状に並んだ電荷(長さは有限)が作る電位

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■【 棒の垂直二等分線上の電位 】 z=0

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=root[Z^2+r^2]

 φ(r,0)
=ke*λ*${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:-L~L]
=2*ke*λ*${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:0~L]

正の数 A に対して ${dx/root(x^2+A)}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

 ${dZ/root[Z^2+r^2]}[Z:0~L]
={ln[Z+root(Z^2+r^2)]}[Z:0~L]
=ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)

 φ(r,0)=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}

ln[L+root(L^2+r^2)]+ln[-L+root(a^2+r^2)]=ln(r^2)=2*ln(r) を使うと、

 2*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ln[L+root(L^2+r^2)]+ln[L+root(L^2+r^2)]-2*ln(r)
=ln[L+root(L^2+r^2)]-ln[-L+root(L^2+r^2)]
=ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

≫ φ(r,0)
=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]} 
.

{やっとできた!苦労した!2016/12}

■【 z軸上の電位  】  r=0

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=z-Z

 φ(0,z)=ke*λ*${dZ/(z-Z)}[Z:-L~L]

 ${dZ/(z-Z)}[Z:-L~L]
=[-ln(z-Z)][Z:-L~L]
=-ln(z-L)+ln(z+L)
=ln[(z+L)/(z-L)]

 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)/(z-L)] .

■【 任意の位置の電位 】

微少部分 Z~Z+dZ にある電荷 λ*dZ 距離=root[(z-Z)^2+r^2]

 φ(r,z)=ke*λ*${dZ/root[(z-Z)^2+r^2]}[Z:-L~L]

● ${dx/root(x^2+A^2)}=ln[x+root(x^2+A^2)]+積分定数

■ z-Z=h と置くと dZ=-dh [Z:-L~L]=[h:z+L~z-L]

 ${dZ/root[(z-Z)^2+r^2]}[Z:-L~L]
=-${dZ/root[h^2+r^2]}[h:z+L~z-L]
=-ln[h+root(h^2+r^2)][h:z+L~z-L]
=ln{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}-ln{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]})

≫ φ(r,z)
=ke*λ*ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}) 
.

▲ r=0 & z>L のとき

 [ln(~)の中身]=[2*(z+L)]/[2*(z-L)]=(z+L)]/(z-L)

 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)]/(z-L)]

r>0 & z=0 のとき

 [ln(~)の中身]=[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]

 φ(r,0)=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

『棒状電荷の電位』 2016/12

◎ 直線状に並んだ電荷(長さは有限)が作る電位

◆ z軸上 z=-L から z=L までに一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■ φ(r,z)
=ke*λ*ln({(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]})

z軸上 φ(0,z)=ke*λ*ln[(z+L)]/(z-L)]

棒の垂直二等分線上

 φ(r,0)
=2*ke*λ*{ln[L+root(L^2+r^2)]-ln(r)}
=ke*λ*ln{[L+root(L^2+r^2)]/[-L+root(L^2+r^2)]}

★ r=root3*L & z=0 のとき

 φ=ke*λ*ln{(L+2*L)/(-L+2*L)]=ln(3)*ke*λ

★ r=0 & z=2*L のとき

 φ=ke*λ*ln(3*L/L)=ln(3)*ke*λ

★ r=(3/2)*L & z=L のとき

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=[2*L+(5/2)*L]/[(3/2)*L]
=(9/2)/(3/2)
=ln(3)

 φ(r=(3/2)*L,z=L)=ln(3)*ke*λ

{まとめ} 電位 φ(r=root3*L,z=0) 次の3点の電位は等しい。

 φ(root3*L,0)=φ(0,2*L)=φ((3/2)*L,L)=ln(3)*ke*λ

◇棒状電荷の等電位面◇

『回転楕円体』 2016/12

■ z軸で回転した楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1

 r^2=x^2+y^2 R,Z:正の定数 楕円体[半径 R 直径 2*R 長さ 2*Z]

■【 すっきり回転楕円体 0<R<Z 】

 F=root(Z^2-R^2) 離心率 e=F/Z=root[1-(R/Z)^2]

 r^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1

■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<R 】

 F=root(R^2-Z^2) 離心率 e=F/R=root[1-(Z/R)^2]

 r^2/R^2+z^2/(R^2-F^2)=1

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z)

 電位 φ(r,z)
=ke*λ*ln[{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}]

■ 次の3点の電位は等しい。

 φ(root3*L,0)=φ(0,2*L)=φ((3/2)*L,L)=ln(3)*ke*λ

3点は、次の回転楕円体上にある  r^2/3+z^2/4=L^2

等電位面は、回転楕円体であると予想できる。

{確かめ}  r^2/3+z^2/4=L^2 のとき r^2=3*L^2-3*z^2/4〔 |z|≦2*L 〕

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]} {(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}

 (z+L)^2+r^2
=(z+L)^2+(3*L^2-3*z^2/4)
=z^2/4+2*z*L+4*L^2
=(z^2+8*z*L+16*L^2)/4
=(z+4*L)^2/4

 (z+L)+root[(z+L)^2+r^2]=(z+L)+(z+4*L)/2=(3/2)*(z+2*L)

また (z-L)^2+r^2
=(z-L)^2+(3*L^2-3*z^2/4)
=z^2/4-2*z*L+4*L^2
=(z-4*L)^2/4

 (z-L)+root[(z-L)^2+r^2]=(z-L)-(z-4*L)/2=(1/2)*(z+2*L)

よって {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=[(3/2)*(z+2*L)]/[(1/2)*(z+2*L)]
=3 {定数になった!}

r^2/3+z^2/4=L^2 のとき φ(r,z)=ke*λ*ln(3) .

■ 回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 R=root(Z^2-L^2) 〕 上で、

 r^2=R^2-z^2*R^2/Z^2

 (z+L)^2+r^2
=(z+L)^2+(R^2-z^2*R^2/Z^2)
=z^2+2*z*L+L^2+R^2-z^2*R^2/Z^2
=z^2*(1-R^2/Z^2)+2*z*L+Z^2
=z^2*L^2/Z^2+2*z*L+Z^2
=(z*L/Z+Z)^2

 (z+L)+root[(z+L)^2+r^2]=(z+L)+(z*L/Z+Z)=(z+Z)*(1+L/Z)

また (z-L)+root[(z-L)^2+r^2]=(z+Z)*(1-L/Z)

よって、

 {(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}
=(1+L/Z)/(1-L/Z)
=(Z+L)/(Z-L)

 φ(r,z)=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)]=一定 .

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 R=root(Z^2-L^2) 〕が等電位面になっている

『棒状電荷』 2016/12

◆ z軸上 z=-L から z=L まで一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■ φ(r,z)
=ke*λ*ln[{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}]

■ 回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 Z^2=R^2+L^2 〕 上で、

 φ(r,z)=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)] 等電位面

★ Z=2*L R=root3*L

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 が等電位面

 φ(r,z)=ln(3)*ke*λ

★ Z=3*L R=2*root2*L

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 が等電位面

 φ(r,z)=ln[4/(3-2*root2)]*ke*λ~ln(23.256)*

◇棒状電荷の電場◇

◎ 直線状に並んだ電荷(長さは有限)が作る電位

◆ z軸上 z=-L から z=L までに一様な電荷〔L>0〕

電荷(線)密度 λ電位 E ※ 観測点はある特定の位置

■【 観測点(L,0,0) 】

微少部分 z~z+dz にある電荷を考える

 電場の大きさ=ke*λ*dz/(z^2+L^2)

 そのx成分=[ke*λ*dz/(z^2+L^2)]*[L/root(z^2+L^2)]

 dE=ke*λ*L*dz/(z^2+L^2)^(3/2)

 E=2*ke*λ*L*${dz/(z^2+L^2)^(3/2)}[z:0~L]

 ${dz/(z^2+L^2)^(3/2)}=(1/L^2)*z/root(z^2+L^2)

 ${dz/(z^2+L^2)^(3/2)}[z:0~L]=(root2/2)/L^2

 E/(ke*λ/L)=root2 .〔 観測点(L,0,0) 〕

★ CGS静電単位系で λ=0.8_esu/cm L=5_cm

 E=root2*1*0.8/5~0.226_dyn/esu

■【 観測点(0,0,Z)〔 Z>L 〕 】

微少部分 z~z+dz にある電荷を考える

 電場の大きさ=ke*λ*dz/(Z-z)^2  方向はz軸方向

 dE=ke*λ*dz/(Z-z)^2

 E
=ke*λ*${dz/(Z-z)^2}[z:-L~L]
=ke*λ*[1/(Z-z)][z:-L~L]
=ke*λ*[1/(Z-L)-1/(Z+L)]

≫ E/(ke*λ/L)=1/(Z/L-1)-1/(Z/L+1) .〔 観測点(0,0,Z) 〕

{別解} φ(Z)/(ke*λ)
=ln[(Z/L+1)/(Z/L-1)]
=ln[(Z/L+1)/(Z/L-1)]
=ln(Z+L)-ln(Z-L)

 E
=-φ(Z);Z
=-ke*λ*[1/(Z+L)-1/(Z-L)]
=ke*λ*[1/(Z-L)-1/(Z+L)]

≫ E/(ke*λ/L)=1/(Z/L-1)-1/(Z/L+1)

★ If{ Z/L=2 } E/(ke*λ/L)=1-1/3=2/3

  棒状電荷  

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