☆お勉強しよう.Uz☆ 物理.電磁気

2016/11-2012/2 Yuji.W

☆回転楕円体の導体☆

. 回転楕円体 導体  静電容量 静電エネルギー spheroid

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1
ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 〔
物理定数〕 .
ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}回転楕円体

『回転楕円体』 2016/12

■ z軸で回転した楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1

 r^2=x^2+y^2 R,Z:正の定数 楕円体[半径 R 直径 2*R 長さ 2*Z]

■【 すっきり回転楕円体 0<R<Z 】

 F=root(Z^2-R^2) 離心率 e=F/Z=root[1-(R/Z)^2]

 r^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1

■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<R 】

 F=root(R^2-Z^2) 離心率 e=F/R=root[1-(Z/R)^2]

 r^2/R^2+z^2/(R^2-F^2)=1

{復習}棒状電荷の等電位面

『棒状電荷』 2016/12

◆ z軸上 z=-L から z=L までに一様な電荷〔L>0〕 電荷(線)密度 λ=一定

系はz軸対称 円柱座標(r,z) 電位 φ(r,z)

■ φ(r,z)
=ke*λ*ln[{(z+L)+root[(z+L)^2+r^2]}/{(z-L)+root[(z-L)^2+r^2]}]

■ 回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1〔 Z^2=R^2+L^2 〕 上で、

 φ(r,z)=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)] 等電位面

◇回転楕円体の導体の静電容量◇

◎ 孤立している導体球の静電容量=R/ke

◆ 孤立している回転楕円体の導体[長さ 2*Z 直径 2*R] 0<R/Z≦1

回転楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 Z^2=R^2+L^2

離心率 e=root[1-(R/Z)^2]=L/Z L=Z*e

全電荷 Q 電位 φ 静電容量 C

■ 回転楕円体の表面が等電位面になる。回転楕円体の表面に誘起される電荷群が作る電場は、次の棒状電荷が作る電場と同じになる。ただし、回転楕円体の外側の部分だけである。

棒状電荷[長さ 2*L 電荷(線)密度 λ=一定 Q=2*L*λ]

等電位面の電位 φ=ke*λ*ln[(Z+L)/(Z-L)]=ke*[Q/(2*L)]*ln[(Z+L)/(Z-L)]

 C=Q/φ=2*[(L/ke)]/ln[(Z+L)/(Z-L)]

ここで (1+e)/(1-e)=(1+L/Z)/(1-L/Z)=(Z+L)/(Z-L)

 C=(2*L/ke)/ln[(1+e)/(1-e)]=(2*Z*e/ke)/ln[(1+e)/(1-e)] .

『棒状電荷の静電容量』 2016/12

◆ 孤立している回転楕円体の導体[長さ 2*Z 直径 2*R] 0<R/Z≦1

離心率 e=root[1-(R/Z)^2] 静電容量 C

※ 長さ 2*root(Z^2-R^2) の棒状電荷が作る等電位面

■ C=(2*Z*e/ke)/ln[(1+e)/(1-e)]

◇導体回転楕円体の静電容量◇

. 「バークレー物理学コース 電磁気」p147 問題3.20

◎ 孤立している導体球の静電容量=R/ke

◆ 導体回転楕円体[長さ 2*a 直径 2*b] 0<b/a≦1 離心率 e=root(1-b^2/a^2)

 静電容量 C=(1/ke)*2*a*e/ln[(1+e)/(1-e)]

 静電エネルギー U=(1/2)*Q^2/C

■【 球に近い場合 】e<<1

|x|<<1 のとき ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-… だから、

 ln(1+e)=e-e^2/2+e^3/3- ln(1-e)=-e-e^2/2-e^3/3-

 ln[(1+e)/(1-e)]
=ln(1+e)-ln(1-e)
=(e-e^2/2+e^3/3)-(-e-e^2/2-e^3/3)
=2*e*(1+e^2/3)

 1/ln[(1+e)/(1-e)]=(1-e^2/3)/(2*e)

 C=(1/ke)*2*a*e*[(1-e^2/3)/(2*e)]=(1/ke)*a*(1-e^2/3) .

▲ 球 e=0 C=a/ke

■【 体積一定 】

★ a=1 , b=1 体積=(4/3)*Pi*1*1^2=(4/3)*Pi

 C=1/ke

★ a=2 , b=1/root2 体積=(4/3)*Pi*2*(1/root2)^2=(4/3)*Pi

 e=root[1-(1/root2)^2/2^2]=root(7/8)=0.935

 ln[(1+e)/(1-e)]=ln(1.935/0.065)~3.393

  C=(1/ke)*2*2*0.935/3.393~1.102/ke

静電容量は大きくなり、静電エネルギーは小さくなる

{予想と違っていた!2016/12}

.  回転楕円体の導体  .

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