☆お勉強しようUz☆ 物理 電磁気

2016/12-2012/1 Yuji.W

☆点電荷と導体球

. 点電荷と導体球 アポロニウスの円(球) 鏡像法 鏡映法

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1 ◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

{復習}点電荷が球面上に作る電場

『点電荷が球面上に作る電場』 2016/10

◆ 点電荷 [電荷 q 位置 Q] 球[半径 R 中心の位置 O] 球面上の観測点 P

OQ=h〔 0<R<h 〕 ∠POQ=a

電場の動径成分 Er 接線成分 Et

■ Er=-ke*q*[h*cos(a)-R]/[h^2+R^2-2*h*R*cos(a)]^(3/2)
 Et=ke*q*h*sin(a)/[h^2+R^2-2*h*R*cos(a)]^(3/2)

▲ a1=arccos(R/h) cos(a1)=R/h q>0 のとき、

0<a<a1 で Er<0 Et>0  a1<a<Pi で Er>0 Et>0

{復習}外部電場+導体による電場

『外部電場+導体による電場』 2016/11

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系 ke=1

◆ 外部電場+導体 ◇ 導体の表面の法線成分には n 接線成分には t

外部電場 E0n,E0t

導体の表面に誘起された電荷面密度 σ

導体が作る電場 導体のすぐ内側で E1n=-E0n E1t=-E0t
 導体のすぐ外側で E2n,E2t

両方の電場の重ね合わせ 導体のすぐ外側で En=E0n+E2n

導体の表面に誘起された電荷面密度 σ=En/(4Pi*ke)

■ さらに導体表面のごく近くで E1n=-E2n とみなせるとき、

 En=2*E0n σ=-E0n/(2Pi*ke)

◇点電荷と導体球

. 正点電荷を導体球の近くに置く。導体球は接地しない。導体球の総電荷は 0 。鏡映法を使わないで求める。

◎ 導体球の正点電荷に近い側に自由電子群が集まる。遠い側に正電荷群が誘起される。系の電場は、正点電荷が作る電場と、導体内に誘起されたに電荷群が作る電場の重ね合わせになる。導体内部では、その2つの電場が相殺され、電場は 0 になる。導体球面が等電位面になる。

◆ 点電荷 [電荷 q 位置 Q] 球[半径 R 中心の位置 O] 球面上の観測点 P

OQ=h〔 0<R<h 〕 ∠POQ=(z軸と成す角)=a 現象すべてz軸対称

電場の導体球面上の動径成分を考える。接線成分は相殺されるので、考えない。

点電荷が作る電場 E0r

導体内の電荷が導体球のすぐ内側に作る電場 E1r すぐ外側に作る電場 E2r

導体のすぐ外側の電場の動径成分 Er=E0r+E2r

導体表面の電荷面密度 σ=Er/(4Pi*ke)

■【 Er,σ 】

導体内部で E0r+E1r=0  導体表面のすぐ近くで E1r=-E2r

導体表面のすぐ近くで E2r=E0r Er=E0r+E2r=2*E0r

ここで E0r=-ke*q*[h*cos(a)-R]/[h^2+R^2-2*h*R*cos(a)]^(3/2) だから、

 Er=-2*ke*q*[h*cos(a)-R]/[h^2+R^2-2*h*R*cos(a)]^(3/2) .

 σ=-[q/(2Pi)]*[h*cos(a)-R]/[h^2+R^2-2*h*R*cos(a)]^(3/2) .

▲ a=0 Er=-2*ke*q/(h-R)^2 σ=-[q/(2Pi)]/(h-R)^2

a=Pi Er=+2*ke*q/(h+R)^2 σ=+[q/(2Pi)]/(h+R)^2

cos(a)=R/h Er=0 σ=0

■【 電位 】

基準点:無限遠

z軸上、負の無限遠から導体球に近づく事を考える。常に、z軸負の方向への力を受けるから、導体球の電位は正であると言える。

{復習}正点電荷と負点電荷の等電位面

『正点電荷と負点電荷が作る等電位面(球面)』 2016/11

◆ 正点電荷 +q 電位 0 の等電位面(球面)の半径 R 正点電荷とその球の中心との距離 h 負点電荷と球の中心の距離 s 電位の基準点:無限遠

■ 正点電荷 +q を点Aに、負点電荷 -q*R/h を点Bに置く s=R^2/h

点電荷と接地された導体球

. 点電荷と、接地された導体球 導体球の電位は 0 鏡映法を使う

◎ 接地されていない導体球の近くに正点電荷を置く。導体球の正点電荷に近い側に自由電子群が集まる。遠い側に正電荷群が誘起される。導体内部の電場は 0 。導体球面が等電位面。その電位は正。
導体球を接地すると、電位が 0 になるから、正電荷が地球側に移動する。自由電子群だけが残る。

◆ 正点電荷[電荷 q 位置 (0,0,h)] 接地された導体球[半径 R 中心:原点]

電位 0 の等電位面は、導体球面と無限遠である。

■【 鏡映法 】

次の2つの静電場系を考える。

静電場@ 正点電荷と接地された導体球
静電場A 正点電荷と負点電荷

もし、2つの系の電位が、導体球を除く空間すべてで同じになれば、導体球を除く空間すべてで同じ静電現象になる。

正点電荷と負点電荷を使って、導体球面と無限遠で電位 0 の等電位面を作ることを考えればよい。 .鏡映法

■【 正点電荷と負点電荷 】

次のように正点電荷と負点電荷を配置すれば、無限遠と、半径Rの球面で、電位 0 の等電位面を作ることができる。

 正点電荷と等電位面の球の中心との距離 h
 正点電荷と負点電荷との距離=h-R^2/h
 負点電荷と等電位面の球の中心との距離=R^2/h
 正点電荷=q 負点電荷=-(h/R)*q

■【 引力 】

 静電場@で正点電荷と接地された導体球間とに働く引力
=静電場Aでの2電荷間の引力
=ke*q*(q*R/h)/(h-R^2/h)^2
=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2

≫ 正点電荷と接地された導体球間とに働く引力=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2 .

■【 総電荷量 】

閉曲面:導体球面 でガウスの法則を

静電場@で 4Pi*ke*(導体内の総電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]

静電場Aで 4Pi*ke*(負点電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]

上記の2つの系で、右辺は等しいから、

 導体内の総電荷=負点電荷=-q*R/h .

これだけの電子群が、導体内で正点電荷に近い方に移動したという事。跡に生じた正電荷は、接地されているので、地球から電子群が補充され、0 になってしまう。

点電荷と接地された導体球

. 点電荷と、接地された導体球 導体球の電位は 0 鏡映法を使う

■【 点電荷と導体球が作る等電位面 】

正点電荷[電荷 q 位置 (0,0,h)] 接地された導体球[半径 R 中心:原点]

導体球内の電場 0

導体球の表面上は、電位の等電位面の1つになる。接地されているから、電位 0 の等電位面になる。

■【 鏡映法 】

次の2つの静電場系を考える

静電場@ 正点電荷[電荷 q] 接地された導体球[半径 R] 正点電荷と導体球の中心との距離 h

静電場A 正点電荷[電荷 q] 負点電荷[電荷 -q*R/h]

 正点電荷と等電位面の球の中心との距離 h
 正点電荷と負点電荷との距離=h-R^2/h
 負点電荷と等電位面の球の中心との距離=R^2/h

上記の2つの系は、同じ大きさの等電位面(電位 0)を作る。静電場@の導体球の外側と、同じ部分の静電場Aの電位や電場は同じになる .鏡映法

■【 引力 】

 静電場@で正点電荷と接地された導体球間とに働く引力
=静電場Aでの2電荷間の引力
=ke*q*(q*R/h)/(h-R^2/h)^2
=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2

≫ 正点電荷と接地された導体球間とに働く引力=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2 .

■【 総電荷量 】

閉曲面:導体球面 でガウスの法則を

静電場@で 4Pi*ke*(導体内の総電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]

静電場Aで 4Pi*ke*(負点電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]

上記の2つの系で、右辺は等しいから、

 導体内の総電荷=負点電荷=-q*R/h .

これだけの電子群が、導体内で正点電荷に近い方に移動したという事。跡に生じた正電荷は、接地されているので、地球から電子群が補充され、0 になってしまう。

点電荷と接地されていない導体球

. 導体球が接地されていない 導体球の総電荷 0 導体球の電位≠0

 導体球の表面上の電位=ke*(q-q*R/h)/R=ke*q*(h-R)/(R*h)

◆ 導体球の電荷 Q を持つ場合を考える 導体球面上で等電位面になる ただし、そこでの電位は 0 でない

■【 鏡映法で 】

次の3つの電荷による場合と同じになる

 @ 正点電荷 q A 負点電荷 -q*R/h B 原点に Q+q*R/h

@とAで、導体球の表面上に、電位 0 の等電位面を作った。Bが加わり、電位 0 ではない等電位面が、導体球面上に作られる。

 導体内の総電荷=A+B=-q*R/h+(Q+q*R/h)=Q

 電位=@Aの場合の電位+Bの電位=0+ke*(Q+q*R/h)/R=ke*(Q/R+q/h) .

★ Q=0 電位=ke*q/h .

■【 正点電荷と接地されていない導体球との間の引力 】

 @A間の引力=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2

 @B間の斥力=ke*q*(Q+q*R/h)/h^2

 引力
=@A間の引力-@B間の斥力
=ke*q^2*R*h/(h^2-R^2)^2-ke*q*(Q+q*R/h)/h^2
=ke*q*[q*R*h/(h^2-R^2)^2-Q/h^2-q*R/h^3] 
.

★ Q=0

 引力
=ke*q*[q*R*h/(h^2-R^2)^2-q*R/h^3]
=ke*q^2*R*h*[1/(h^2-R^2)^2-1/h^4]

ここで 1/(h^2-R^2)^2-1/h^4
=[h^4-(h^2-R^2)^2]/[h^4*(h^2-R^2)^2]
=R^2*(R^2-2*h^2)/[h^4*(h^2-R^2)^2]

 引力=ke*q^2*R^3*(R^2-2*h^2)/[h^3*(h^2-R^2)^2] .

〔 クーロン力定数 ke 正点電荷 q 導体球の半径 R 正点電荷と導体球の中心との距離 h 〕

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