☆ 一様な電荷密度の球の電場と電位 ☆

uzお勉強しよう 力学 特殊相対性理論 電磁気 量子力学 物理学一般 数学

〇  2021.1-2012.1 Yuji.W  

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 #  000 

〓 一様な電荷密度の球の電場と電位 〓 

▢ 球[半径 R 中心:原点] 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3

球[半径 r 中心:原点]内の電荷 q(r)=Q*(r/R)^3

電場 <E>=<ru>*E(r) 電位 φ(r)

■【 球の外部 】 

球対称の電荷分布だから、すべての電荷が原点に集まっているとみなす事ができる。

 <E(r>R)>=<ru>*ke*Q/r^2 φ(r>R)=ke*Q/r  

▲ 無限遠の電位を 0 にした

■【 球の内部 】

 球対称の電荷分布だから、半径 0~r の球の内部の電荷にしか影響を受けない。外部の電荷の影響は、相殺される。

 <E(r<R)>
=<ru>*ke*q(r)/r^2
=<ru>*ke*[Q*(r/R)^3]/r^2
=<ru>*ke*(Q/R^3)*r

≫ <E(r<R)>=<ru>*ke*(Q/R^3)*r  

電位 φ は、

 φ(r<R)=-ke*(Q/R^3)*${r*dr}=-(1/2)*ke*(Q/R^3)*r^2+C 〔 C:積分定数 〕

r=R で φ の連続性より、

 ke*Q/R=-(1/2)*ke*(Q/R^3)*R^2+C=-(1/2)*ke*Q/R+C

 C=(3/2)*ke*Q/R

 φ(r<R)
=-(1/2)*ke*(Q/R^3)*r^2+(3/2)*ke*Q/R
=(1/2)*ke*(Q/R^3)*(3*R^2-r^2)

 φ(r<R)=(1/2)*ke*(Q/R^3)*(3*R^2-r^2)  

■ 球の中心で <E(0)>=0 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

----- まとめ -----

中心で <E(0)>=0 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

内部で <E(r<R)>=<ru>*ke*(Q/R^3)*r

 φ(r<R)=(1/2)*ke*(Q/R^3)*(3*R^2-r^2)

外部で <E(r>R)>=<ru>*ke*Q/r^2 φ(r>R)=ke*Q/r

※ 国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

▲一様な電荷分布の球が作る電位
縦軸の単位 ke*Q/R 横軸の単位 R

総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3 の代わりに ρ を使えば、

球電荷の中心で <E(0)>=0 φ(0)=2Pi*ke*Pi*ρ*R^2=(1/2)*(ρ/ε0)*R^2

内部で <E(r)>=<ru>*(4Pi*ke/3)*ρ*r=(1/3)*(ρ/ε0)*r

 φ(r)=(2Pi*ke/3)*ρ*(3*R^2-r^2)=(1/6)*(ρ/ε0)*(3*R^2-r^2)

外部で <E(r)>=<ru>*(4Pi*ke/3)*ρ*R^3/r^2=(1/3)*(ρ/ε0)*R^3/r^2

 φ(r)=(4Pi*ke/3)*ρ*R^3/r=(1/3)*(ρ/ε0)*R^3/r

{より理解できた!おもしろいなあ!2016/1}

▲ 上記のポテンシャルの任意の場所にマイナス電荷をそっと(初速度0)置く。球の内部、外部で、電磁気以外の抵抗力を受けない場合、振動現象を起こす。

球の内部に置いた場合は、調和振動子(1次元のバネ振り子)の運動をする。

球の外部に、適当な初速度を与えて置けば、楕円軌道をえがく。惑星の運動と同じになる。

▲ 重力場や中性子の拡散の問題に適用できる。

〓 球電荷の電場と電位 〓 球電荷の電場と電位 2024.1

● クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2=(3|^2*Ten(9)

▢ 球[半径 R 中心:原点] 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3

球[半径 r 中心:原点]内の電荷 q(r)=Q*(r/R)^3

電場 <E>=<ru>*E(r) 電位 φ(r)

▷ 中心で <E(0)>=0 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

内部で <E(r<R)>=<ru>*ke*(Q/R^3)*r

 φ(r<R)=(1/2)*ke*(Q/R^3)*(3*R^2-r^2)

外部で <E(r>R)>=<ru>*ke*Q/r^2 φ(r>R)=ke*Q/r

※ 国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

▲一様な電荷分布の球が作る電位
縦軸の単位 ke*Q/R 横軸の単位 R

総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3 の代わりに ρ を使えば、

球電荷の中心で <E(0)>=0 φ(0)=2Pi*ke*Pi*ρ*R^2=(1/2)*(ρ/ε0)*R^2

内部で <E(r)>=<ru>*(4Pi*ke/3)*ρ*r=(1/3)*(ρ/ε0)*r

 φ(r)=(2Pi*ke/3)*ρ*(3*R^2-r^2)=(1/6)*(ρ/ε0)*(3*R^2-r^2)

外部で <E(r)>=<ru>*(4Pi*ke/3)*ρ*R^3/r^2=(1/3)*(ρ/ε0)*R^3/r^2

 φ(r)=(4Pi*ke/3)*ρ*R^3/r=(1/3)*(ρ/ε0)*R^3/r

〓 金の原子核 〓 「バークレー物理学コース 電磁気」

▢ 金の原子核を、電荷が一様に分布する球とみなす

電荷 79*Qe 半径 6*Ten(-15)_m 中心の電位 φ(0)=(3/2)*ke*Q/R

■ φ(0)
=(3/2)*[9*Ten(9)]*[79*1.6*Ten(-19)]/[6*Ten(-15)]
=2.8*Ten(7)_V

お勉強しよう since 2011 Yuji Watanabe

inserted by FC2 system