お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

☆コイルが作る磁場

_ ソレノイド solenoid コイル 磁場

◇ 積 * 商 / 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A> 〔
物理定数

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

☆円電流が円の中心に作る電磁場☆

『円電流が中心に作る磁場』

◆ 円電流 I 半径 R

■ 国際単位系で B=2Pi*(ke/c^2)*I=(μ0/2)*I/R

CGS静電単位系で Bcgs=(2Pi/c)*I/R

ソレノイドが作る磁場-アンペールの法則

◎ アンペールの法則を使う

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド n [巻/m]

● アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I

■ 円形電流が作る磁場が無数に集まったものと考えられるから、磁場の向きは、ソレノイドの軸の向きと同じになる。

<B> の大きさを求めたいから、次の閉曲線を考える。

@軸と同じ向きに単位長さ

A外に垂直に出る <B>*<ds>=0

B外側を単位長さ

C中に垂直に入り、始点に戻る <B>*<ds>=0

とし、その閉曲線上で、<B> の線積分を考える。

 A,Cの線積分は 0 であるから、

 ${<B>*<ds>}[@]+${<B>*<ds>}[A]=(μ0)*n*I=一定

■ まず、@の線積分の位置をソレノイドの内部で変えても、その線積分の値は変化しないから、ソレノイドの内部の <B> は、どこでも同じ値をとることがわかる。

次に、Bの線積分の位置をソレノイドの外部で変えても、その線積分の値は変化しない。無限遠に持っていっても変化しない。無限遠では、明らかに <B>=0 としてよいから、ソレノイドの外部では、 <B>=0 と考えることができる。

したがって、閉曲線の@だけ計算すればよいことになる。

 B=4Pi*(ke/c^2)*n*I  ソレノイドの内部(どこでも) 半径に関係なく

 外部では B=0

国際単位系(SI系)で B=μ0*n*I  CGS静電単位系で Bcgs=(4Pi/c)*n*I

★ n=10_巻/cm=1000_巻/m I=1_A

 B=4Pi*Ten(-7)*1000*1~Ten(-3)_T~50*(地球磁場)

ソレノイドの中心軸の磁場-円電流

◎ 円電流が作る磁場を利用する

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド 電流 I n [巻/m] 半径 R

観測点 原点 ソレノイドの軸 x軸

電流は螺旋を描くのだが、円電流の集まりと見なす

「いろいろな磁場」

■ 直線電流 B/(μ0*I)=1/(2Pi*r.)

 円電流の中心 B/(μ0*I)=1/(2*R)

 円電流の軸上 B/(μ0*I)=(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)

■ x~x+dx にある円電流の数 n*dx 原点までの距離 root(x^2+R^2)

その円電流が原点に作る磁場 dB=[μ0*n*I*(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)]*dx

 B
=2*[μ0*n*I*(R^2/2)*${[1/(x^2+R^2)^(3/2)]*dx}[x:0~∞]
=μ0*n*I*R^2*$[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~∞] 

● $[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~∞]=1/R^2

 B=μ0*n*I*R^2/R^2=μ0*n*I  ソレノイド中心軸の磁場

{うまくできてるなあ!2014/4}

ソレノイドが作る磁場-アンペールの法則

◎ アンペールの法則を使う

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド n [巻/m]

● アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I

■ 円形電流が作る磁場が無数に集まったものと考えられるから、磁場の向きは、ソレノイドの軸の向きと同じになる。

<B> の大きさを求めたいから、次の閉曲線を考える。

@軸と同じ向きに単位長さ

A外に垂直に出る <B>*<ds>=0

B外側を単位長さ

C中に垂直に入り、始点に戻る <B>*<ds>=0

とし、その閉曲線上で、<B> の線積分を考える。

 A,Cの線積分は 0 であるから、

 ${<B>*<ds>}[@]+${<B>*<ds>}[A]=(μ0)*n*I=一定

■ まず、@の線積分の位置をソレノイドの内部で変えても、その線積分の値は変化しないから、ソレノイドの内部の <B> は、どこでも同じ値をとることがわかる。

次に、Bの線積分の位置をソレノイドの外部で変えても、その線積分の値は変化しない。無限遠に持っていっても変化しない。無限遠では、明らかに <B>=0 としてよいから、ソレノイドの外部では、 <B>=0 と考えることができる。

したがって、閉曲線の@だけ計算すればよいことになる。

 B=μ0*n*I  ソレノイドの内部(どこでも) 半径に関係なく

 外部では B=0

★ n=10_巻/cm=1000_巻/m I=1_A

 B=4Pi*Ten(-7)*1000*1~Ten(-3)_T~50*(地球磁場)

「いろいろな磁場」

■ 直線電流 B/(μ0*I)=1/(2Pi*r.)

 円電流の中心 B/(μ0*I)=1/(2*R)

 円電流の軸上 B/(μ0*I)=(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)

 ソレノイドの内部 B/(μ0*I)=n 外部で B=0

ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ ソレノイドの内部には磁場があり、外部ではない。ところが、外部にベクトルポテンシャルがある{!}

「ベクトルポテンシャル」

■ 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A> 電流(面密度) <j>

 <B>=<curl<A>> div<A>=0 △<A>=-μ0*<j>=-4Pi*kb*<j>

 <A(1)>=kb*$$${[<j(2)>/r12]*dV2}

◎ ストークスの定理を使って、ベクトルポテンシャルを求める

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド 電流 I 半径 R n [巻/m]

円柱座標(r.,b,x) ソレノイドの軸 x軸 電流(面)密度 <j>=<bu>*n*I

■ 電流は、x軸を取り囲む円の接線方向成分しかないから、ベクトルポテンシャルも同様に、 x軸を取り囲む円の接線方向成分しかない。

 <A>=<bu>*Ab

ソレノイドの外部に、x軸を取り囲むような円(中心がx軸、半径 r.>R)を考えて、

 $${<B>*<dS>}[曲面]=${<A>*<ds>}[閉曲線] ストークスの定理

 左辺=(μ0*n*I)*Pi*R^2 右辺=Ab*2Pi*r.

 Ab=μ0*n*I*(R^2/2)/r.

 <A>=<bu>*μ0*n*I*(R^2/2)/r.  ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

▲ ソレノイドの表面で Ab=μ0*n*I*(R^2/2)/R=μ0*n*I*R/2

{確かめ} <A>より、<B>を求めよう

● 任意のベクトル <A>

 円柱座標のcurl <curl<Ar. , Ab , Az>>_c
=<Az;b/r.-Ab;z , Ar.;z-Az;r. , (r.*Ab);r./r.-Ar.;b/r.>_c

● <bu>成分しかない任意のベクトル <bu>*Ab

 <curl(<bu>*Ab)>_c=<zu>*(r.*Ab);r./r.

 <curl<bu>/r.>=(r./r.);r./r.=(1;r.)/r.=0

 <B>=0  ソレノイドの外部の磁場

{<A> ∝ <bu>/r. ⇒ <B>=0 !}

※ ベクトルポテンシャルは計算上の仮想量ではなく、実際に他の物理量に影響を及ぼす効果があることが確認されている{!}

☆{別解}ソレノイドの外部のベクトルポテンシャル

◎ ベクトルポテンシャルのポアソン方程式を解く

 ◆ 電流 I 螺旋の半径(円と見なす) R 単位長さあたりの巻き数 n

 電流(面)密度 <jx,jy,jz> その大きさ n*I

ソレノイドの中心軸 z軸 円 xy平面 円柱座標(r.,b,z) r.=root(x^2+y^2)

■ 円形に一定の電流密度 n*I で流れるのだが、その成分は、

b=0 で jx=0,jy=最大 b=Pi/2 で jx=最小,jy=0
b=Pi で jx=0,jy=最小 b=3Pi/2 で jx=最大,jy=0
あらゆる所で jz=0

 jx=-n*I*y/r. jy=n*I*x/r.

 △Ax=μ0*n*I*y/r. △Ay=-μ0*n*I*x/r.

比例定数を K として Ax=K*y/r.^2 Ay=-K*x/r.^2 Az=0

● r.;x=2*x/(2*r.)=x/r.

● (1/r.^2);x=[(1/r.^2);r.]*(r.;x)=-(2/r.^3)*(x/r.)=-2*x/r.^4

● (x/r.^2);x=1/r.^2-2*x^2/r.^4

磁場は、

 Bx=Az;y-Ay;z=0 By=Ax;z-Az;x=0

 Bz
=Ay;x-Ax;y
=-K*(x/r.^2);x-K*(y/r.^2);y
=-K*[(1/r.^2-2*x^2/r.^4)+(1/r.^2-2*x^2/r.^4)]
=-K*[2/r.^2-2*(x^2+y^2)/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2*r.^2/r.^4]
=-K*[2/r.^2-2/r.^2]
=0 
 

 ソレノイドの外部の磁場 <B>=0

お勉強しようUz〕 物理 電磁気 コイルが作る磁場

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