物理 電磁気

2017/7-2012/1 Yuji.W

☆ソレノイドが作る磁場

_ ソレノイド solenoid コイル 磁場 ヘルムホルツコイル _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電磁場 <E>,<B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 1_A/c=0.1_esu/cm〔電磁気の単位〕〔
物理定数

{復習}円電流が円の中心に作る電磁場

『円電流が中心に作る磁場』

◆ 円電流 I 半径 R

■ 国際単位系で B=2Pi*(ke/c^2)*I=(μ0/2)*I/R

CGS静電単位系で Bcgs=(2Pi/c)*I/R

ソレノイドが作る磁場-アンペールの法則

◎ アンペールの法則を使う

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド n [巻/m]

● アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I

■ 円形電流が作る磁場が無数に集まったものと考えられるから、磁場の向きは、ソレノイドの軸の向きと同じになる。

<B> の大きさを求めたいから、次の閉曲線を考える。

@軸と同じ向きに単位長さ

A外に垂直に出る <B>*<ds>=0

B外側を単位長さ

C中に垂直に入り、始点に戻る <B>*<ds>=0

とし、その閉曲線上で、<B> の線積分を考える。

 A,Cの線積分は 0 であるから、

 ${<B>*<ds>}[@]+${<B>*<ds>}[A]=(μ0)*n*I=一定

■ まず、@の線積分の位置をソレノイドの内部で変えても、その線積分の値は変化しないから、ソレノイドの内部の <B> は、どこでも同じ値をとることがわかる。

次に、Bの線積分の位置をソレノイドの外部で変えても、その線積分の値は変化しない。無限遠に持っていっても変化しない。無限遠では、明らかに <B>=0 としてよいから、ソレノイドの外部では、 <B>=0 と考えることができる。

したがって、閉曲線の@だけ計算すればよいことになる。

 B=4Pi*(ke/c^2)*n*I  ソレノイドの内部(どこでも) 半径に関係なく

 外部では B=0

国際単位系(SI系)で B=μ0*n*I  CGS静電単位系で Bcgs=(4Pi/c)*n*I

ソレノイドの中心軸の磁場-円電流

◎ 円電流が作る磁場を利用する

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド 電流 I n [巻/m] 半径 R

観測点 原点 ソレノイドの軸 x軸

電流は螺旋を描くのだが、円電流の集まりと見なす

「いろいろな磁場」

■ 直線電流 B/(μ0*I)=1/(2Pi*r.)

 円電流の中心 B/(μ0*I)=1/(2*R)

 円電流の軸上 B/(μ0*I)=(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)

■ x~x+dx にある円電流の数 n*dx 原点までの距離 root(x^2+R^2)

その円電流が原点に作る磁場 dB=[μ0*n*I*(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)]*dx

 B
=2*[μ0*n*I*(R^2/2)*${[1/(x^2+R^2)^(3/2)]*dx}[x:0~∞]
=μ0*n*I*R^2*$[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~∞] 

● $[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~∞]=1/R^2

 B=μ0*n*I*R^2/R^2=μ0*n*I  ソレノイド中心軸の磁場

{うまくできてるなあ!2014/4}

ソレノイドが作る磁場-アンペールの法則

◎ アンペールの法則を使う

◆ 無限に長いと見なせるソレノイド n [巻/m]

● アンペールの法則 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I

■ 円形電流が作る磁場が無数に集まったものと考えられるから、磁場の向きは、ソレノイドの軸の向きと同じになる。

<B> の大きさを求めたいから、次の閉曲線を考える。

@軸と同じ向きに単位長さ

A外に垂直に出る <B>*<ds>=0

B外側を単位長さ

C中に垂直に入り、始点に戻る <B>*<ds>=0

とし、その閉曲線上で、<B> の線積分を考える。

 A,Cの線積分は 0 であるから、

 ${<B>*<ds>}[@]+${<B>*<ds>}[A]=(μ0)*n*I=一定

■ まず、@の線積分の位置をソレノイドの内部で変えても、その線積分の値は変化しないから、ソレノイドの内部の <B> は、どこでも同じ値をとることがわかる。

次に、Bの線積分の位置をソレノイドの外部で変えても、その線積分の値は変化しない。無限遠に持っていっても変化しない。無限遠では、明らかに <B>=0 としてよいから、ソレノイドの外部では、 <B>=0 と考えることができる。

したがって、閉曲線の@だけ計算すればよいことになる。

 B=μ0*n*I  ソレノイドの内部(どこでも) 半径に関係なく

 外部では B=0

「いろいろな磁場」

■ 直線電流 B/(μ0*I)=1/(2Pi*r.)

 円電流の中心 B/(μ0*I)=1/(2*R)

 円電流の軸上 B/(μ0*I)=(R^2/2)/(x^2+R^2)^(3/2)

 ソレノイドの内部 B/(μ0*I)=n 外部で B=0

{計算例}ソレノイドが作る磁場

★ B=Ten(-4)_T

 n*I=B/μ0=Ten(-4)/[4Pi*Ten(-7)]=79.6_A*巻/m~80A*巻/m

★ n=10_巻/cm=1000_巻/m I=1_A

 B=4Pi*Ten(-7)*1000*1~Ten(-3)_T~50*(地球磁場)

★ ソレノイド 直径=8_cm 長さ=32_cm 電圧=50_V
 n=8_巻/cm=800_巻/m ソレノイドを作る銅線の抵抗=0.01_Ω/cm

 銅線の長さ=8*Pi*(8*32)~6430_cm=64.3_m
 銅線の抵抗=0.01*64.3=0.643_Ω

 電流=50/0.643~77.8_A 電力=50*77.8=3890_W

 B=4Pi*Ten(-7)*800*77.8=0.0782_T Bcgs=782_G

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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