物理　電磁気　2018/7　Yuji.W

☆ 等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場 ☆

◎ ヘビサイド,ファインマン流　Heaviside　Feynmann

ある時刻、ある観測点での電磁場は、その時刻の電荷の位置ではなく、それよりも前に異なる位置にあった電荷の影響によるものである ★_

◇ T に依る微分 ;　t に依る微分 '

　dy/dT=y;　dy/dt=y'　dT/dt=T'　d^2y/dT^2=y;;　d^2y/dt^2=y''

❖　動く点電荷が作る電磁場.Heaviside-Feynmann表記　❖　

◆ <E>/(-ke*q)=<Ru>/R^2+(<Ru>/R^2)'*(R/c)+<Ru>''/c^2

時刻 T における電荷の影響が、速さ c で伝わって、時間 Δt かかって、観測時刻 t に観測点に届くとする。

時刻Tにおいて、観測点からみた点電荷の位置 <R>　<R>=|R|

■ <E>/(-ke*q)
=<R>*[1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2]/R^3
+<R>'*(1-2*R'/c)/(c*R^2)
+<R>''/(c^2*R)

❖　等速直線運動をする点電荷が作る電磁場　❖　

◆ 点電荷がx軸上を等速直線運動　速さ(対光速比) b　時刻0に原点を通る　電荷 q

観測点 (0,y,0)　y>0　観測時刻 t

時刻 T の点電荷の位置や動きの影響が、速さ c で伝わり、観測時刻 t に観測点に到着するとする

観測点からみた点電荷の位置　時刻 t で <r>　時刻 T で <R>

■【 <r>,<R> 】

　<r>=<c*b*t　-y　0>

　<R>=<c*b*T　-y　0>　R=|<R>|=root[c^2*b^2*T^2+y^2]
　<Ru>=<R>/R

　遅延時間 Δt=t-T=R/c

　<R>;=d<R>/dT=<xu>*c*b　<R>;;=d^2<R>/dT^2=0

　R;=dR/dT=c^2*b^2*T/R

　R;;
=d^2R/dT^2
=c^2*b^2/R-c^2*b^2*T*(R;)/R^2
=c^2*b^2/R-c^2*b^2*T*(c^2*b^2*T/R)/R^2
=c^2*b^2/R-c^4*b^4*T^2/R^3

■【 t と T 】

　t-T=R/c=root[c^2*b^2*T^2+y^2]/c

　t^2-2*t*T+T^2=b^2*T^2+y^2/c^2

　(1-b^2)*T^2-2*t*T+(t^2-y^2/c^2)=0

1/(1-b^2)=Γ^2　を使えば、

　T^2-2*Γ^2*t*T+Γ^2*(t^2-y^2/c^2)=0　T の2次方程式

　判別式/4
=Γ^4*t^2-Γ^2*(t^2-y^2/c^2)
=Γ^2*[(Γ^2-1)*t^2+y^2/c^2]
=Γ^2*[Γ^2*b^2*t^2+y^2/c^2]

　root(判別式/4)=Γ^2*root[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)]

　T=Γ^2*t±Γ^2*root[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)]

t=0 のとき T<0 であるから　マイナスだけを採用して、

　T=Γ^2*t-Γ^2*root[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)] ★_

■【 微分 】

　T'=dT/dt=Γ^2-Γ^2*b^2*t/root[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)]

　T''=d^2T/dt^2
=-Γ^2*b^2/root[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)]
+(Γ^2*b^4*t^2)/[b^2*t^2+y^2/(c^2*Γ^2)]^(3/2)

t=0　のとき　

　T(0)=-Γ^2*y/(c*Γ)=-Γ*y/c

　T'(0)=Γ^2

　T''(0)=-Γ^2*b^2/[y/(c*Γ)]=-c*Γ^3*b^2/y

■【 <R> などの微分係数 】

t=0　すなわち　T=T(0)=-Γ*y/c　のとき　

　<R(T(0))>=-<xu>*Γ*b*y-<yu>*y

　R(T(0)=y*root(Γ^2*b^2+1)=Γ*y

　<R>;=d<R>/dT=<xu>*c*b　<R>;;=d^2<R>/dT^2=0

　R;(T(0))={dR/dT T=T(0)}
=c^2*b^2*(-Γ*y/c)/R(T(0))
=c^2*b^2*(-Γ*y/c)/(Γ*y)
=-c*b^2

　R;;(T(0))={d^2R/dT^2 T=T(0)}
=c^2*b^2/(Γ*y)-c^4*b^4*(Γ^2*y^2/c^2)/(Γ^3*y^3)
=c^2*b^2/(Γ*y)-c^2*b^4/(Γ*y)
=[c^2*b^2/(Γ*y)]*(1-b^2)
=[c^2*b^2/(Γ*y)]/Γ^2
=c^2*b^2/(Γ^3*y)

----- まとめ -----

t=0　のとき

　T(0)=-Γ*y/c　T'(0)=Γ^2　T''(0)=-c*Γ^3*b^2/y

　<R(T(0))>=-<xu>*Γ*b*y-<yu>*y　R(T(0)=Γ*y

　<R>;=d<R>/dT=<xu>*c*b=一定　<R>;;=d^2<R>/dT^2=0

　R;(T(0))={dR/dT T=T(0)}=-c*b^2

　R;;(T(0))={d^2R/dT^2 T=T(0)}=c^2*b^2/(Γ^3*y)

{いやーまとまった!2018/7}

❖　等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場　❖　

◆ 観測点 (0,y,0)　y>0　観測時刻 t=0　<r>=-<yu>*y　電荷が真横にあるとき　

　<E>/(-ke*q)
=<R>*[1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2]/R^3
+<R>'*(1-2*R'/c)/(c*R^2)
+<R>''/(c^2*R)

この式に　t=0　のときの値を代入すればよい。記号がわずらわしいので、次のように略記する。ただの微分と間違えやすいが、関数の値や微分係数の値を示している。

　T=T(0)=-Γ*y/c　T'=T'(0)=Γ^2　T''=T''(0)=-c*Γ^3*b^2/y

　<R>=<R(T(0))>=-<xu>*Γ*b*y-<yu>*y　R=R(T(0)=Γ*y

　<R>;=d<R>/dT=<xu>*c*b=一定　<R>;;=d^2<R>/dT^2=0

　R;=R;(T(0))={dR/dT T=T(0)}=-c*b^2

　R;;=R;;(T(0))={d^2R/dT^2 T=T(0)}=c^2*b^2/(Γ^3*y)

■【 <R>の項 】<R>*[1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2]/R^3

　R'=(R;*T')

　R''=(R;*T')'=(R;)'*T'+(R;)*T''=(R;;)*(T')^2+(R;)*T''

　1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2
=1-3*(R;)*T'/c+2*(R;)^2*(T')^2/c^2-R*(R;;)*(T')^2/c^2-R*(R;)*T''/c^2
=1+3*Γ^2*b^2+2*Γ^4*b^4-Γ^2*b^2-Γ^4*b^4
=1+2*Γ^2*b^2+Γ^4*b^4
=(Γ^2*b^2+1)^2
=Γ^4 ★_

　<R>*[1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2]/R^3
=(-<xu>*Γ*b*y-<yu>*y)*Γ^4/(Γ^3*y^3)
=-<xu>*Γ^2*b/y^2-<yu>*Γ/y^2　�@

■【 <R>'の項 】<R>'*(1-2*R'/c)/(c*R^2)

　<R>'=(<R>;)*T'=<xu>*c*Γ^2*b

　1-2*R'/c=1-2*(R;)*T'/c=1+2*Γ^2*b^2

　<R>'*(1-2*R'/c)/(c*R^2)
=(<xu>*c*Γ^2*b)*(1+2*Γ^2*b^2)/(c*Γ^2*y^2)
=(<xu>*b)*(1+2*Γ^2*b^2)/y^2
=<xu>*Γ^2*b*(1+b^2)/y^2　�A

■【 <R>''の項 】<R>''/(c^2*R)

　<R>'=(<R>;)*T'

　<R>''
=(<R>;;)*(T')^2+(<R>;)*T''
=0-(<xu>*c*b)*(c*Γ^3*b^2/y)
=-<xu>*c^2*Γ^3*b^3/y

　<R>''/(c^2*R)
=-(<xu>*c^2*Γ^3*b^3/y)/(c^2*Γ*y)
=-<xu>*Γ^2*b^3/y^2　�B

■【 <E> 】

　�@+�A+�B
=-<xu>*Γ^2*b/y^2-<yu>*Γ/y^2
+<xu>*Γ^2*b*(1+b^2)/y^2
-<xu>*Γ^2*b^3/y^2
=<xu>*0-<yu>*Γ/y^2
=-<yu>*Γ/y^2

　<E>/(-ke*q)=(�@+�A+�B)

　<E>=<yu>*(ke*q/y^2)*Γ ★_

{できた!やったあ!ひと月ぐらいかかった!2階微分の理解が足りてなかった!2018/7}■【 <cB> 】

　<cB>
=(<xu>*b)#<E>
=(<xu>*b)#[<yu>*(ke*q/y^2)*Γ]
=<zu>*(ke*q/y^2)*Γ*b ★_

❖　等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場　❖　

◆ 円柱座標 (h,a,x)_C　座標単位ベクトル <hu>,<au>,<xu>

点電荷 q　等速直線運動　速度 <v>=<xu>*v=一定

■ 真横で　<E>=<hu>*ke*(q/h^2)*Γ(v/c)

　<B>=<au>*(ke/c^2)*(q/h^2)*Γ(v/c)*v

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji Watanabe ☆