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☆ 動く点電荷が作る電磁場 ☆ |
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〇 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場 2023.9-2018.8 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 電磁場の変換.静止系 〓 23.9 ● |b|<1 に対して 相対論的効果率
Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b ▢ 2つの慣性系 x系,O系 O系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b. O系(静止系)で、すべての電荷は静止、電場のみ x系で、すべての電荷はx軸方向に同じ速さ(対光速比) b. で等速直線運動 ▷ 観測点のローレンツ変換 tc=Γ(b)*Tc+Λ(b)*X=Γ(b)*(Tc+b*X) x=Γ(b)*X+Λ(b)*Tc=Γ(b)*(X+b*Tc) ▷ 観測点における電磁場の変換 <E>=<EOx Γ(b.)*EOy Γ(b.)*EOz> <cB>=(<xu>*b.)#<E>=Λ(b.)*<0 -EOz EOy> 磁場が生まれる |
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〓 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場 〓 〇 電磁場の変換を使って求める ● |b|<1 に対して 相対論的効果率
Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b 点電荷と共に進む慣性系 O系 点電荷の位置 原点 ▷ 観測点の関係
tc=Γ(b)*Tc+Λ(b)*X=Γ(b)*(Tc+b*X) x=Γ(b)*X+Λ(b)*Tc=Γ(b)*(X+b*Tc) ▷ O系で 電荷 (0,0,0) 観測点 (X,y,z) R=root(X^2+y^2+z^2) <EO>=ke*q*<X y z _O>/R^3 電場の変換の式 <E>=<EOx Γ(b)*EOy Γ(b)*EOz> を使って、 Ex/(ke*q) Ey/(ke*q) Ez/(ke*q)=Γ(b)*z/[Γ(b)^2*(x-b*tc)^2+y^2+c^2]^(3/2) ★ {まとめ} h=h(b,tc,x,y,z)=root[Γ(b)^2*(x-b*tc)^2+y^2+c^2] として、 <E>=ke*q*Γ(b)*<x-b*tc y z>/h^3 ★ 電場 ▷ <cB>=(<xu>*b)#<E>=ke*q*Λ(b)*<0 -z y>/h^3 ★ 磁場(光速倍) ※ h は 座標と時間の関数である |
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〓 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場 〓 23.9 〇 電磁場の変換を使って求める ● |b|<1 に対して 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b ● クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=c^2*Ten(-7) ● 外積 # ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b ▷ h=h(b,tc,x,y,z)=root[Γ(b)^2*(x-b*tc)^2+y^2+c^2] として、 <E>=ke*q*Γ(b)*<x-b*tc y z>/r^3 <cB>=ke*q*Λ(b)*<0 -z y>/h^3 ▷ 時刻 tc=0 のとき 電荷 (0,0,0) 観測点 (x,y,z) h=root[Γ(b)^2*x^2+y^2+c^2] r=root[x^2+y^2+c^2] <ru>=<x y z>/r <E>/(ke*q)=<ru>*Γ(b)*r/h^3 <cB>/(ke*q)=(<xu>*b)#<E>=<0 -z y>*Λ(b)/h^3 点電荷の前方で x>0 y=z=0 h=Γ(b)*x r=x <ru>=<xu> <E>/(ke*q)=<xu>/[Γ(b)*x]^2] 弱くなる <cB>=0 点電荷の横方向で x=z=0 y>0 h=y r=y <ru>=<yu> <E>/(ke*q)=<yu>*Γ(b)/y^2 強くなる <cB>/(ke*q)=<zu>*Λ(b)/y^2 ▲ 点電荷の影響が観測点に届くには時間がかかる。ところが、電場の方向は、観測時刻における点電荷の位置から放射状に伸びる形になっている。力が瞬時に観測点に届いているような結果になっている。 |
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〓 並走する点電荷に働く力 〓 23.9 〇 点電荷 q に並走する試験電荷が受ける力 ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b 点電荷 q に並走する試験電荷 Q 速度(対光速比) <xu>*b ▷ 試験点電荷が前方にあるとき 位置 (x,0,0) x>0 <E>/(ke*q)=<xu>/[Γ(b)*x]^2] <cB>=0 <Fe>=Q*<E>=<xu>*ke*Q*q/[Γ(b)*x]^2] <Fb>=0 <Fe>+<Fb>=<xu>*(ke*Q*q/x^2)/Γ(b)^2 ★ ▷ 試験点電荷が横方向にあるとき 位置 (0,y,0) y>0 電場 <E>/(ke*q)=<yu>*Γ(b)/y^2 電気力 <Fe>=Q*<E>=<yu>*(ke*Q*q/y^2)*Γ(b) ★ b=0 のときより強くなる 磁場 <cB>/(ke*q)=<zu>*Λ(b)/y^2 外積 # <xu>#<zu>=-<yu> 磁気力 <Fb>=Q*(<xu>*b)#<cB>=-<yu>*(ke*Q*q/y^2)*Λ(b)*b ここで Λ(b)*b=Γ(b)*b^2 <Fb>=-<yu>*(ke*Q*q/y^2)*Γ(b)*b^2 ★ 電気力を弱める方向に働いている ⇒ <Fe>+<Fb>=<yu>*(ke*Q*q/y^2)*Γ(b)*(1-b^2) ここで Γ(b)*(1-b^2)=Γ(b)/Γ(b)^2=1/Γ(b) <Fe>+<Fb>=<yu>*(ke*Q*q/y^2)/Γ(b) ★ 2つの点電荷が横方向の位置で並走している場合 |
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〓 並走する点電荷に働く力 〓 23.9 〇 点電荷 q に並走する試験電荷が受ける力 ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b 点電荷 q に並走する試験電荷 Q 速度(対光速比) <xu>*b ▷ 試験点電荷が前方にあるとき 位置 (x,0,0) x>0 <Fe>+<Fb>=<xu>*(ke*Q*q/x^2)/Γ(b)^2 ▷ 試験点電荷が横方向にあるとき 位置 (0,y,0) y>0 <Fe>+<Fb>=<yu>*(ke*Q*q/y^2)/Γ(b) |
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〓 電気力の方向と磁気力の方向 〓 23.9 ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b. 点電荷 Q 速度(対光速比) <b>=<bx by bz> ▷ h=root[Γ(b.)^2*x^2+y^2+c^2] r=root[x^2+y^2+c^2] <ru>=<x y z>/r <E>/(ke*q)=<ru>*Γ(b.)*r/h^3 <cB>/(ke*q)=<0 -z y>*Λ(b.)/h^3 ▷ 電気力 <Fe> 磁気力 <Fb>=Q*<b>#<cB>=ke*Q*q*[Λ(b.)/h^3]*<bx by bz>#<0 -z y> ここで <bx by bz>#<0 -z y>=<by*y+bz*z -bx*y -bx*z> <Fb>=<by*y+bz*z -bx*y -bx*z>*ke*Q*q*Λ(b.)/h^3 ★ {まとめ} <Fe> ∝ <x y z> <Fb> ∝ <by*y+bz*z -bx*y -bx*z> ★ |
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〓 等速直線運動をする点電荷が作る電場の形 〓 ▢ 慣性系 x系 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速度(対光速比) <xu>*b 電場の大きさ 前方 ke*q/[Γ(b)*x]^2 真横 ke*q*Γ(b)/y^2 ▷ 両方の電場の大きさが等しくなる距離の比 1/[Γ(b)*x]^2=Γ(b)/y^2 y^2：x^2=Γ(b)^3 y：x=Γ(b)^(3/2) ★ ▲ x軸対称であるから、球であった電場が、x軸方向につぶれた形、ミカンのようになる ★ b=0.1 のとき Γ(0.1)~1.005 y：x~1.00 ★ b=0.5 のとき Γ(0.5)~1.155 y：x~1.24 ★ b=0.9 のとき Γ(0.9)~2.294 y：x~3.47 ★ b=0.99 のとき Γ(0.99)~7.089 y：x~18.87 |
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