物理 電磁気 2018/8-2013/6 Yuji.W
☆ 等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場 ☆
◎ 等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場
ヘビサイド,ファインマン流 Heaviside Feynmann
ある時刻、ある観測点での電磁場は、その時刻の電荷の位置ではなく、それよりも前に異なる位置にあった電荷の影響によるものである ★_
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル
<hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu> 180722
\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
\e=1.6021766208 素電荷
qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=Ten(-7)=μ0/(4Pi)
CGS静電単位系 ke=1 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>
I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 180722
❖ 微分の表記 ❖
■ T に依る微分 ; t に依る微分 ' と表す
dy/dT=y; dy/dt=y' dT/dt=T' d^2y/dT^2=y;; d^2y/dt^2=y''
● Tの関数 A(T),B(T) Tはtの関数 T に依る微分 ; t に依る微分 '
(A*B)''=[(A;;)*B+2*(A;)*(B;)+A*(B;;)]*(T')^2+[(A;)*B+A*(B;)]*T''
❖ 動く点電荷が作る電磁場.Lienard-Wiechert表記 ❖ .
◆
[時刻
T] 観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<R>
その単位ベクトル<Ru> {注}原点を観測点にすれば、-<R>
[時刻
t] 時間 R/c かかって、電荷の影響が、観測点に届く。
その時の、観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<r>
時刻の関係 T=t-R/c
■
<E>/(ke*q)
=(<Ru>-<b>)/{Γ^2*(1-<Ru>*<b>)^3*R^2}
+<Ru>#[(<Ru>-<b>)#<b>']{c*(1-<Ru>*<b>)^3*R}
<cB>=-<Ru>#<E>
❖ 動く点電荷が作る電磁場.Heaviside-Feynmann表記 ❖ .
◎ Lienard-Wiechert の結果から、次の式が得られるらしい。
◆ 電荷 q クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 時間微分 '
時刻 T における電荷の影響が、速さ c で伝わって、時間 Δt かかって、観測時刻 t に観測点に届くとする。
時刻 T で観測点から見た電荷の位置 <R> |<R>|=R <Ru>=<R>/R
遅延時間 Δt=t-T=R/c ★_
観測時刻 t で観測点から見た電荷の位置 <r> |<r>|=r <ru>=<r>/r
観測時刻 t に観測点で観測される電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>
※ <E>,<cB>に <r> は全く影響を及ぼさない。ただし、結果を <r> や t を使って表す事を考える。
■
<E>/(-ke*q)
=<Ru>/R^2+(<Ru>/R^2)'*(R/c)+<Ru>''/c^2
■ <cB(t)>=-<Ru>#<E>
❖ 等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場 ❖ .
◎ Heaviside-Feynmann表記を使う。
◆ 電荷 +q x軸上を等速直線運動 速さ(対光速比) b 時刻 0 で原点
観測点:(x,0,0) 電荷が観測時刻に観測点に作る電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>
<Ru>=-<x> 電荷は速さ c*b で進むから R=x-c*b*T r=x-c*b*t
■ R=x-c*b*T R;=-c*b R;;=0
■【 <E> 】
<E>/(ke*q)=<xu>*[1/R^2+(1/R^2)'*(R/c)]
<E>=<xu>*Ex と置けば Ex/(ke*q)=1/R^2+(1/R^2)'*(R/c)
ここで (1/R^2)'=-2*(R;)*T'/R^3 だから、
Ex/(ke*q)=1/R^2-2*(R;)*T'/(c*R^2) ★_
■【 T と t 】
遅延時間 Δt=t-T=R/c
t-T=R/c=x/c-b*T T=(t-x/c)/(1-b) T'=dT/dt=1/(1-b)
■【 R と r 】
x-c*b*T
=x-c*b*(t-x/c)/(1-b)
=[(1-b)*x-c*b*(t-x/c)]/(1-b)
=(x-b*x-c*b*t+b*x)/(1-b)
=(x-c*b*t)/(1-b)
R/r
=(x-c*b*T)/(x-c*b*t)
=[(x-c*b*t)/(1-b)]/(x-c*b*t)
=1/(1-b)
R=r/(1-b) ※ 0<b<1 だから R>r
{まとめ} R=x-c*b*T R;=-c*b T'=1/(1-b) R=r/(1-b) {核心!}
■【 <E> 】
1/R^2=(1-b)^2/r^2
-2*(R;)*T'/(c*R^2)
=-2*(-c*b)*[1/(1-b)]*(1-b)^2/(c*r^2)
=2*b*(1-b)/r^2
Ex/(ke*q)
=1/R^2-2*(R;)*T'/(c*R^2)
=(1-b)^2/r^2+2*b*(1-b)/r^2
=(1-b)*(1+b)/r^2
=(1-b^2)/r^2
=1/(Γ^2*r^2)
Ex=(ke*q/r^2)/Γ^2
<E>=<xu>*(ke*q/r^2)/Γ^2 ★_等速直線運動をする点電荷が前方に作る電場
▲ クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) 点電荷の速さ(対光速比) b
観測時刻における点電荷と観測点の距離 r
■ <cB>=-<Ru>#<E>=<xu>#<E> ∝ <xu>#<xu>=0 ★_
▲ ローレンツ変換を使って求めた結果と同じ
{やっとできた!何年もかかった!2018/7}
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆