物理 電磁気 2018/7-2013/6 Yuji.W

☆ 等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場

等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場

ヘビサイド,ファインマン流 Heaviside Feynmann

ある時刻、ある観測点での電磁場は、その時刻の電荷の位置ではなく、それよりも前に異なる位置にあった電荷の影響によるものである _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu> 球座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

◇ \3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
\e=1.6021766208 素電荷 qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 真空の誘電率 ε0 
真空の透磁率 μ0=4Pi*ke/c^2

物理定数 力学の単位 電磁気の単位 00

〓 微分の表記 〓

■ T に依る微分 ; t に依る微分 ' と表す

 dy/dT=y; dy/dt=y' dT/dt=T' d^2y/dT^2=y;; d^2y/dt^2=y''

● Tの関数 A(T),B(T) Tはtの関数 T に依る微分 ; t に依る微分 '

 (A*B)''=[(A;;)*B+2*(A;)*(B;)+A*(B;;)]*(T')^2+[(A;)*B+A*(B;)]*T''

〓 動く点電荷が作る電磁場.Lienard-Wiechert表記 〓 .

◆ [時刻 T] 観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<R>
 その単位ベクトル<Ru>  {注}原点を観測点にすれば、-<R>

[時刻 t]  時間 R/c かかって、電荷の影響が、観測点に届く。
 その時の、観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<r>

時刻の関係  T=t-R/c

■ <E>/(ke*q)
 =(<Ru>-<b>)/{Γ^2*(1-<Ru>*<b>)^3*R^2}
+<Ru>#[(<Ru>-<b>)#<b>']{c*(1-<Ru>*<b>)^3*R}

  <cB>=-<Ru>#<E>

〓 動く点電荷が作る電磁場.Heaviside-Feynmann表記 〓 .

◎ Lienard-Wiechert の結果から、次の式が得られるらしい。

◆ 電荷 q クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 時間微分 '

時刻 T における電荷の影響が、速さ c で伝わって、時間 Δt かかって、観測時刻 t に観測点に届くとする。

時刻 T で観測点から見た電荷の位置 <R> |<R>|=R <Ru>=<R>/R

遅延時間 Δt=t-T=R/c _

観測時刻 t で観測点から見た電荷の位置 <r> |<r>|=r <ru>=<r>/r

観測時刻 t に観測点で観測される電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>

※ <E>,<cB>に <r> は全く影響を及ぼさない。ただし、結果を <r> や t を使って表す事を考える。

<E>/(-ke*q)
=<Ru>/R^2+(<Ru>/R^2)'*(R/c)+<Ru>''/c^2

■ <cB(t)>=-<Ru>#<E>

〓 等速直線運動をする点電荷が前方に作る電磁場 〓 .

◎ Heaviside-Feynmann表記を使う。

◆ 電荷 +q x軸上を等速直線運動 速さ(対光速比) b 時刻 0 で原点

観測点:(x,0,0) 電荷が観測時刻に観測点に作る電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>

<Ru>=-<x> 電荷は速さ c*b で進むから R=x-c*b*T r=x-c*b*t

■ R=x-c*b*T R;=-c*b R;;=0

■【 <E> 】

 <E>/(ke*q)=<xu>*[1/R^2+(1/R^2)'*(R/c)]

<E>=<xu>*Ex と置けば Ex/(ke*q)=1/R^2+(1/R^2)'*(R/c)

ここで (1/R^2)'=-2*(R;)*T'/R^3 だから、

 Ex/(ke*q)=1/R^2-2*(R;)*T'/(c*R^2) _

■【 T と t 】

遅延時間 Δt=t-T=R/c

 t-T=R/c=x/c-b*T T=(t-x/c)/(1-b) T'=dT/dt=1/(1-b)

■【 R と r 】

 x-c*b*T
=x-c*b*(t-x/c)/(1-b)
=[(1-b)*x-c*b*(t-x/c)]/(1-b)
=(x-b*x-c*b*t+b*x)/(1-b)
=(x-c*b*t)/(1-b)

 R/r
=(x-c*b*T)/(x-c*b*t)
=[(x-c*b*t)/(1-b)]/(x-c*b*t)
=1/(1-b)

 R=r/(1-b) ※ 0<b<1 だから R>r

{まとめ} R=x-c*b*T R;=-c*b T'=1/(1-b) R=r/(1-b) {核心!}

■【 <E> 】

 1/R^2=(1-b)^2/r^2

 -2*(R;)*T'/(c*R^2)
=-2*(-c*b)*[1/(1-b)]*(1-b)^2/(c*r^2)
=2*b*(1-b)/r^2

 Ex/(ke*q)
=1/R^2-2*(R;)*T'/(c*R^2)
=(1-b)^2/r^2+2*b*(1-b)/r^2
=(1-b)*(1+b)/r^2
=(1-b^2)/r^2
=1/(Γ^2*r^2)

 Ex=(ke*q/r^2)/Γ^2

 <E>=<xu>*(ke*q/r^2)/Γ^2 _等速直線運動をする点電荷が前方に作る電場

▲ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 点電荷の速さ(対光速比) b
観測時刻における点電荷と観測点の距離 r

<cB>=-<Ru>#<E>=<xu>#<E> ∝ <xu>#<xu>=0 _

▲ ローレンツ変換を使って求めた結果と同じ

{やっとできた!何年もかかった!2018/7}

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆

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