物理 電磁気

2017/6-2012 Yuji.W

☆動く点電荷が作る電磁場☆

_ 等速直線運動する点電荷が作る電磁場 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #  積 * 商 / 微分 ; 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

◇ 速さ(対光速比) b 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電場 <E> 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G  〔電磁気の単位〕〔
物理定数

{復習}等速直線運動をする点電荷が後方に作る電磁場

◎ 動く電荷が作る電磁場.Heaviside-Feynmann表記を使う。

◆ 電荷 +q x軸上を等速直線運動 速さ(対光速比) b 観測点:原点

時刻 T における影響が 時刻 t に観測点に届いたとする

電荷の位置 x=c*b*t X=c*b*T

その点電荷が原点に作る電場 <E(t)>

■ <E(t)>=-<x>*ke*(q/x^2)/Γ(b)^2 _

■ x軸上に磁場は作らない

{復習}電磁場の変換

『電磁場の変換』

◆ 2つの慣性系 x系,K系 K系のx系に対する速度 <b.>=一定

任意のベクトル<A>に対して <A>の<b.>方向成分 Au
<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

電場 <E>,<EK> 磁場(光速倍) <cB>,<cBK>

■ Eu=EKu cBu=cBKu

 <EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)
 <cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>)

 <Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)
 <cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>)

※ <b.>#<Av>=<b.>#<A>

※ 一般に <EK>,<E>,<cBK>,<cB> は時間と座標の関数であって、2つの慣性系の時間と座標や電磁場の値は一般に異なる値を持つが、あくまで1つの事象を観測した値である{!}

☆等速直線運動をする点電荷が作る電磁場☆

◎ 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場を、電磁場の変換を使って求める

◆ 2つの慣性系 x系,O系 x軸上を等速直線運動をする点電荷 q

xy平面上の値を考える。

x系での速さ(対光速比) b 時刻 0 で原点
時刻 0 でのxy平面上の電磁場 <E(x,y)>,<B(x,y)> c*<B>=<cB>

点電荷と共に動く系 O系 時刻 0 でのxy平面上の電磁場 <EO(X,Y)>,<BO(X,Y)>

■ O系で <EO(X,Y)>=ke*q*<X Y 0>/(X^2+Y^2)^(3/2) <BO(X,Y)>=0

 <E>=ke*q*<X Γ(b)*Y 0>/(X^2+Y^2)^(3/2)

 <cB>=<z>*ke*q*Γ(b)*b*Y/(X^2+Y^2)^(3/2)

座標の関係 x=X/Γ(b) y=Y だから、

 <E>=ke*q*Γ(b)*<x y 0>/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2)
 <cB>=<z>*ke*q*Γ(b)*b*y/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2) 
_

■ 前方 <E>=<x>*ke*(q/r^2)/Γ(b)^2 <cB>=0

横方向 <E>=<yu>*ke*(q/r^2)*Γ(b) <cB>=<z>*ke*(q/r^2)*Γ(b)*b

『等速直線運動をする点電荷が作る電磁場』

◆ x軸上を等速直線運動をする点電荷 q xy平面上の値を考える

x系での速さ(対光速比) b 時刻 0 で原点
時刻 0 でのxy平面上の電場 <E(x,y)> 磁場(光速倍) <cB(x,y)>

■ <E>=ke*q*Γ(b)*<x y 0>/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2)

 <cB>=<z>*ke*q*Γ(b)*b*y/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2)

前方 <E>=<x>*ke*(q/r^2)/Γ(b)^2 <cB>=0

横方向 <E>=<yu>*ke*(q/r^2)*Γ(b) <cB>=<z>*ke*(q/r^2)*Γ(b)*b

{ようやく理解できた!2017/2}

■ 原点(観測時刻における電荷の位置)から観測点に向かう単位ベクトル <ru>
原点と観測点の距離 r <ru>と電荷の進行方向とが作る角 a とすると、

 sin(a)=y/x だから、

 <E>=<ru>*ke*(q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2) _等速直線運動をする点電荷が作る電場

※ 電荷の影響が観測点に届くには時間がかかるから、過去の電荷の位置からの影響が観測点に届いているはずなのに、観測時刻に置ける電荷の位置から放射状に広がっているように(影響が瞬間的に届いたように)観測される。

■【 電場の形 】前方と横方向の電場の大きさが等しいとき、

 ke*(q/x^2)/Γ^2=ke*(q/y^2)*Γ

 |y/x|=Γ^(3/2) _

★ If{ Γ=10 } |y/x|=10^(3/2)~31.6

★ If{ Γ=100 } |y/x|=100^(3/2)=1000

{計算例}等速直線運動をする電荷が作る電場

◆ 静止している陽子 (0,0,a) 電荷 e

動いている負のミューオン x軸上 速さ 0.8 電荷 e

観測時刻:ミューオンが原点を通過した時 観測点:(a,0,0) 電場 <Ex,0,Ez>

■ 陽子が作る電場

 Ex=ke*[e/(root2*a)^2]*(1/root2)=ke*(e/a^2)*root2/4

 Ez=-ke*(e/a^2)*root2/4

ミューオンが作る電場 Γ(0.8)=5/3

 Ex=-ke*(e/a^2)/(5/3)^2=-ke*(e/a^2)*9/25

 Ez=0

両方で

 Ex=ke*(e/a^2)*(root2/4-9/25)

☆等速直線運動をする電荷が作る電束☆

◆ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q それが作る電場 <E>

観測時刻の電荷の位置から観測点に向かう単位ベクトル <ru>

観測時刻の電荷の位置から観測点までの距離 r

電荷の進行方向と<ru>とが作る角 a 半径1の球面上で a=0~a を通る電束 Φ(a)

 <E>=<ru>*ke*(q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)

■ x軸対称であることに注意して、

 Φ(b,0~a)
=2Pi*ke*q*(1-b^2)*${sin(a)*da/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)}[a:0~a]

● I=${sin(a)*da/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)}

 1-b^2*sin(a)^2=1-b^2*[1-cos(a)^2]
=b^2*cos(a)^2+(1-b^2)
=b^2*{cos(a)^2+1/[Γ(b)*b]^2}

  I=(1/b^3)*${sin(a)*da/{cos(a)^2+1/[Γ(b)*b]^2}^(3/2)}

cos(a)=X と置くと -sin(a)*da=dX [a:0~a]=[X:1~cos(a)]

 I=-(1/b^3)*${dX/{X^2+1/[Γ(b)*b]^2}^(3/2)}[X:1~cos(a)]

ここで ${dx/(x^2+A^2)^(3/2)}=(1/A^2)*x/root(x^2+A^2) だから、

 I
=-(1/b^3)*[Γ(b)*b]^2]*[X/root(X^2+1/[Γ(b)*b]^2)][X:1~cos(a)]
=[Γ(b)^2/b]*[X/root(X^2+1/[Γ(b)*b]^2)][X:cos(a)~1]
=[Γ(b)^3*X/root{[Γ(b)*b*X]^2+1}][X:cos(a)~1]

X=1 のとき X/root{[Γ(b)*b*X]^2+1}
=1/root{[Γ(b)*b]^2+1}
=1/root{[Γ(b)]^2}
=1/Γ(b)

X=cos(a) のとき cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1} だから、

 I=Γ(b)^3*{1/Γ(b)-cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}}

{確かめ} b=0 のとき Γ(0)=1

 I=1-cos(a) Φ(a)=2Pi*ke*q*[1-cos(a)]

{確かめ} a=Pi/2 cos(Pi/2)=0

 I=Γ(b)^3/Γ(b)=Γ(b)^2=1/(1-b^2)

 Φ(Pi/2)=2Pi*ke*q*(1-b^2)/(1-b^2)=2Pi*ke*q

 Φ(b,0~a)/(2Pi*ke*q)
=(1-b^2)*Γ(b)^3*{1/Γ(b)-cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}}
=1-Γ(b)*cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}

 Φ(b,0~Pi)=4Pi*ke*q だから、

≫ Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)
=0.5-(1/2)*Γ(b)*cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}
_

★ If{ a=Pi/2 } Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)=0.5

★ If{ a=Pi }
 Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)
=0.5+(1/2)*Γ(b)/root{[Γ(b)*b]^2+1}
=0.5+(1/2)*Γ(b)/root{[Γ(b)]^2}
=0.5+1/2
=1

★ If{ b=0 } Φ(0,0~a)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*cos(a)

 Φ(0,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*root3/2~0.07

 Φ(0,0~Pi/3)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(1/2)=0.25

 Φ(0,0~Pi/2)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*0=0.5

 Φ(0,0~2*Pi/3)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-1/2)=0.75

 Φ(0,0~5*Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-roo3/2)=0.93

 Φ(0,0~Pi)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-1)=1

★ If{ a=Pi/6 } cos(Pi/6)=root3/2~0.866

 Φ(b,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)
=0.5-(1/2)*Γ(b)*0.866/root{[Γ(b)*b]^2*0.75+1}
=0.5-0.433*Γ(b)/root{0.75*[Γ(b)*b]^2+1}

 Φ(0,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.07

 Φ(0.9,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)
=0.5-0.433*2.294/root(0.75*2.06^2+1)
=0.5-0.433*2.294/root(4.1827)
~0.5-0.433*2.294/2.04
~0.01

◆ 微少角 Δ に対して Φ(Pi/2+Δ)-Φ(Pi/2-Δ)=2Pi*ke*q

■ cos(Pi/2+Δ)=-sin(Δ)=-Δ & cos(Pi/2-Δ)=-sin(-Δ)=Δ だから、

 Φ(Pi/2+Δ)/(2Pi*ke*q)
=1+Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 Φ(Pi/2-Δ)/(2Pi*ke*q)=1-Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 [Φ(Pi/2+Δ)-Φ(Pi/2-Δ)]/(2Pi*ke*q)=2*Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 2*Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}=1

 2*Γ(b)*Δ=root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 4*Γ(b)^2*Δ^2=Γ(b)^2*b^2*Δ^2+1

 Γ(b)^2*(4-b^2)*Δ^2=1

 Δ=1/[Γ(b)*root(4-b^2)] _

★ If{ b=0.9 } Γ(0.9)=2.294

 Δ
=1/[2.294*root(4-0.81)]
=1/[2.294*root(3.19)]
=1/[2.294*root(3.19)]
=1/[2.294*1.78]
~0.24_radian
=(180/Pi)*0.24
~14°

☆等速直線運動をする電荷と静止している電荷☆

◎ 等速直線運動をする電荷が、静止している電荷に向かう。その間に働く力を考える。作用・反作用の法則が成り立たない?

◆ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q 静止している電荷 Q

q は Q に真っ直ぐ向かう 距離 r になった時を考える

2つの電荷が作る電場の大きさ Eq,EQ

2つの電荷が受ける力の大きさ FQ,Fq

■ Eq=ke*(q/r^2)/Γ(b)^2 & EQ=ke*(Q/r^2)

 FQ=Q*Eq=ke*(q*Q/r^2)/Γ(b)^2

 Fq=q*EQ=ke*q*Q/r^2

 Fq/FQ=Γ(b)^2 _動いている方がより強い力を受ける

作用・反作用の法則は成り立たない。電磁場の運動量の変化まで考えると、運動量保存が成り立つ。

★ If{ q=Q=4.8*Ten(-10)_esu r=Ten(-2)_cm b=0.6 } Γ(0.6)=1.25

 Fq=ke*q*Q/r^2=1*[4.8*Ten(-10)]^2/Ten(-2)^2~2.3*Ten(-15)_dyn

 FQ=Fq/Γ(b)^2=2.3*Ten(-15)/1.25^2~1.5*Ten(-15)_dyn

{復習}同じ速さですれ違う

『同じ速さですれ違う2つの粒子』 2017/2

◆ 2つの粒子 1本の直線上を同じ速さ(対光速比) B ですれ違う 一方の粒子から見た他方の粒子の速さ(対光速比) b

■ b=2*B/(1+B^2) Γ(b)=(1+B^2)*Γ(B)^2 Γ(b)*b=2*B*Γ(B)^2

■ B=root[Γ(B)^2-1]/Γ(B)

 Γ(b)=2*Γ(B)^2-1 Γ(b)*b=2*Γ(B)*root[Γ(B)^2-1]

{計算例}等速直線運動をする電荷が作る電場

◎ 「バークレー物理学コース.電磁気」の問題

◆ 反陽子と陽子が同じ速さですれ違う 速さ(対光速比) B Γ(B)=100 最短距離  y=Ten(-8)_cm

陽子と共に進む系で 反陽子の速さ(対光速比) b
反陽子が作る電場 <E> 真横に作る電場の大きさ E

電場の大きさが、最大値の 1/2 になっている位置 <x y> 電場の大きさが、最大値の 1/2 になっている時間 t

■ Γ(b)=2*100^2-1=19999~20000

 E=1*{[4.8*Ten(-10)]/Ten(-8)^2}*[2*Ten(4)]~Ten(11)_静電ボルト/cm

■ 2*ke*q*Γ*root(x^2+y^2)/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)=(ke*q/y^2)*Γ

 2*root(x^2+y^2)/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)=1/y^2

 2*y^2*root(x^2+y^2)=(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)

 4*y^4*(x^2+y^2)=(Γ^2*x^2+y^2)^3

0<x<<y であるとして、

 4*y^6=(Γ^2*x^2+y^2)^3

 Γ^2*x^2+y^2=4^(1/3)*y^2

 Γ^2*x^2=[4^(1/3)-1]*y^2

 x=root[4^(1/3)-1]*y/Γ

ほぼ光速ですれ違うから

 t
=2*x/c
=root[4^(1/3)-1]*y/(c*Γ)
~0.5*Ten(-8)/[3*Ten(10)*20000]
~Ten(-23)_sec 
_

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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