お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012 Yuji.W

☆等速直線運動をする点電荷の電場☆

_ 等速直線運動する点電荷が作る電磁場 _〔物理定数

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

{復習}ローレンツ変換

『ローレンツ変換』 2017/1

◇ 速さ(対光速比) b.=v./c Γ(b.)=1/root(1-b.^2) 時間(光速倍) tc

◆ 2つの慣性系 x系,X系

・x軸とX軸とは重なる y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 軸の正負の方向は同じ
・X系は、x軸の正の方向に動く 速さ(対光速比) b.
・原点が重なる時刻 0

ある事象が起きた時刻と位置 X系で <Tc X Y Z) x系で <tc x y z)

■ x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) y=Y z=Z

『動いている電場』 2017/1

◆ 2つの慣性系 X系で静止している電荷によって作られた電場 <EKx EKy EKz> x系で観測した電場 <Ex Ey Ez>
■ Ex=EKx Ey=Γ*EKy Ez=Γ*EKz

『相対論的効果率』 2017/2

■ 0≦b<1 Γ(b)=1/root(1-b^2) 

■ Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1 _ローレンツ不変量

■【 近似式 】 遅いとき |b|<<1 Γ(b)=1+b^2/2

光速に近いとき b~1 b=1-Δb 0<Δb<<1 Δb*Γ(b)^2=1/2

★ Γ(0.1)~1.005 Γ(0.9)=2.294 Γ(0.99)=7.089

 Γ(0.995)=10 Γ(0.99995)=100

☆等速直線運動をする電荷が作る電場☆

◎ 動く点電荷は、電場と磁場を作る。ここでは電場のみを考える。ある特別の時刻での電場を考える。

◆ x軸上正の方向に速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q 次のように限定して考える。

@ x軸対称であるから、xy平面のみで考える。
A 電場は位置と時間の関数になる。電荷が原点を通る時のみを考える。
B まず、前方のみ考える。

観測点(x,y) 電荷と観測点の距離 r=root(x^2+y^2) 電場 <Ex Ey>

電荷と共に動く系 電荷は原点 観測点(X,Y) 電荷と観測点の距離 R=root(X^2+Y^2) 電場 <EKx EKy>

■ 観測点の関係 x=X/Γ y=Y R^2=X^2+Y^2=Γ^2*x^2+y^2

電荷と共に動く系で EKx=ke*q*X/R^3 & EKy(Y)=ke*q*Y/R^3

電場の関係 Ex=EKx Ey=Γ*EKy

以上より、

 Ex=EKx=ke*q*Γ*x/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)

& Ey=Γ*EKy=ke*q*Γ*y/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)

後方も前方と同様に考える事ができるから、

 <E>=ke*q*Γ*<x y>/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2) _

■ 原点(観測時刻における電荷の位置)から観測点に向かう単位ベクトル <ru>
原点と観測点の距離 r <ru>と電荷の進行方向とが作る角 a とすると、

 sin(a)=y/x だから、

 <E>=<ru>*ke*(q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2) _等速直線運動をする点電荷が作る電場

※ 電荷の影響が観測点に届くには時間がかかるから、過去の電荷の位置からの影響が観測点に届いているはずなのに、観測時刻に置ける電荷の位置から放射状に広がっているように(影響が瞬間的に届いたように)観測される。

■ 前方or後方で a=0 or a=Pi sin(a)=0 E=ke*(q/r^2)/Γ(b)^2

横方向で a=Pi/2 sin(a)=1 E=ke*(q/r^2)*Γ(b)

■【 電場の形 】前方と横方向の電場の大きさが等しいとき、

 ke*(q/x^2)/Γ^2=ke*(q/y^2)*Γ

 |y/x|=Γ^(3/2) _

★ If{ Γ=10 } |y/x|=10^(3/2)~31.6

★ If{ Γ=100 } |y/x|=100^(3/2)=1000

『等速直線運動をする点電荷が作る電場』 2017/2

◆ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q それが作る電場 <E>

観測時刻の電荷の位置から観測点に向かう単位ベクトル <ru>

観測時刻の電荷の位置から観測点までの距離 r

電荷の進行方向と<ru>とが作る角 a

■ <E>=<ru>*ke*(q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)

■ 前方or後方で E=ke*(q/r^2)/Γ(b)^2

横方向で E=ke*(q/r^2)*Γ(b)

{ようやく理解できた!2017/2}

★ If{ 陽子 Γ(b)=Ten(10) 横方向で E=1_V/m }

 r^2
=ke*q*Γ(b)/E
=[9.0*Ten(9)]*[1.6*Ten(-19)]*Ten(10)/1
=14.4

 r~3.7_m

{計算例}等速直線運動をする電荷が作る電場

◆ 静止している陽子 (0,0,a) 電荷 e

動いている負のミューオン x軸上 速さ 0.8 電荷 e

観測時刻:ミューオンが原点を通過した時 観測点:(a,0,0) 電場 <Ex,0,Ez>

■ 陽子が作る電場

 Ex=ke*[e/(root2*a)^2]*(1/root2)=ke*(e/a^2)*root2/4

 Ez=-ke*(e/a^2)*root2/4

ミューオンが作る電場 Γ(0.8)=5/3

 Ex=-ke*(e/a^2)/(5/3)^2=-ke*(e/a^2)*9/25

 Ez=0

両方で

 Ex=ke*(e/a^2)*(root2/4-9/25)

☆等速直線運動をする電荷が作る電束☆

◆ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q それが作る電場 <E>

観測時刻の電荷の位置から観測点に向かう単位ベクトル <ru>

観測時刻の電荷の位置から観測点までの距離 r

電荷の進行方向と<ru>とが作る角 a 半径1の球面上で a=0~a を通る電束 Φ(a)

 <E>=<ru>*ke*(q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)

■ x軸対称であることに注意して、

 Φ(b,0~a)
=2Pi*ke*q*(1-b^2)*${sin(a)*da/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)}[a:0~a]

● I=${sin(a)*da/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2)}

 1-b^2*sin(a)^2=1-b^2*[1-cos(a)^2]
=b^2*cos(a)^2+(1-b^2)
=b^2*{cos(a)^2+1/[Γ(b)*b]^2}

  I=(1/b^3)*${sin(a)*da/{cos(a)^2+1/[Γ(b)*b]^2}^(3/2)}

cos(a)=X と置くと -sin(a)*da=dX [a:0~a]=[X:1~cos(a)]

 I=-(1/b^3)*${dX/{X^2+1/[Γ(b)*b]^2}^(3/2)}[X:1~cos(a)]

ここで ${dx/(x^2+A^2)^(3/2)}=(1/A^2)*x/root(x^2+A^2) だから、

 I
=-(1/b^3)*[Γ(b)*b]^2]*[X/root(X^2+1/[Γ(b)*b]^2)][X:1~cos(a)]
=[Γ(b)^2/b]*[X/root(X^2+1/[Γ(b)*b]^2)][X:cos(a)~1]
=[Γ(b)^3*X/root{[Γ(b)*b*X]^2+1}][X:cos(a)~1]

X=1 のとき X/root{[Γ(b)*b*X]^2+1}
=1/root{[Γ(b)*b]^2+1}
=1/root{[Γ(b)]^2}
=1/Γ(b)

X=cos(a) のとき cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1} だから、

 I=Γ(b)^3*{1/Γ(b)-cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}}

{確かめ} b=0 のとき Γ(0)=1

 I=1-cos(a) Φ(a)=2Pi*ke*q*[1-cos(a)]

{確かめ} a=Pi/2 cos(Pi/2)=0

 I=Γ(b)^3/Γ(b)=Γ(b)^2=1/(1-b^2)

 Φ(Pi/2)=2Pi*ke*q*(1-b^2)/(1-b^2)=2Pi*ke*q

 Φ(b,0~a)/(2Pi*ke*q)
=(1-b^2)*Γ(b)^3*{1/Γ(b)-cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}}
=1-Γ(b)*cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}

 Φ(b,0~Pi)=4Pi*ke*q だから、

≫ Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)
=0.5-(1/2)*Γ(b)*cos(a)/root{[Γ(b)*b*cos(a)]^2+1}
_

★ If{ a=Pi/2 } Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)=0.5

★ If{ a=Pi }
 Φ(b,0~a)/(4Pi*ke*q)
=0.5+(1/2)*Γ(b)/root{[Γ(b)*b]^2+1}
=0.5+(1/2)*Γ(b)/root{[Γ(b)]^2}
=0.5+1/2
=1

★ If{ b=0 } Φ(0,0~a)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*cos(a)

 Φ(0,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*root3/2~0.07

 Φ(0,0~Pi/3)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(1/2)=0.25

 Φ(0,0~Pi/2)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*0=0.5

 Φ(0,0~2*Pi/3)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-1/2)=0.75

 Φ(0,0~5*Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-roo3/2)=0.93

 Φ(0,0~Pi)/(4Pi*ke*q)=0.5-(1/2)*(-1)=1

★ If{ a=Pi/6 } cos(Pi/6)=root3/2~0.866

 Φ(b,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)
=0.5-(1/2)*Γ(b)*0.866/root{[Γ(b)*b]^2*0.75+1}
=0.5-0.433*Γ(b)/root{0.75*[Γ(b)*b]^2+1}

 Φ(0,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)=0.07

 Φ(0.9,0~Pi/6)/(4Pi*ke*q)
=0.5-0.433*2.294/root(0.75*2.06^2+1)
=0.5-0.433*2.294/root(4.1827)
~0.5-0.433*2.294/2.04
~0.01

◆ 微少角 Δ に対して Φ(Pi/2+Δ)-Φ(Pi/2-Δ)=2Pi*ke*q

■ cos(Pi/2+Δ)=-sin(Δ)=-Δ & cos(Pi/2-Δ)=-sin(-Δ)=Δ だから、

 Φ(Pi/2+Δ)/(2Pi*ke*q)
=1+Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 Φ(Pi/2-Δ)/(2Pi*ke*q)=1-Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 [Φ(Pi/2+Δ)-Φ(Pi/2-Δ)]/(2Pi*ke*q)=2*Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 2*Γ(b)*Δ/root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}=1

 2*Γ(b)*Δ=root{[Γ(b)*b*Δ]^2+1}

 4*Γ(b)^2*Δ^2=Γ(b)^2*b^2*Δ^2+1

 Γ(b)^2*(4-b^2)*Δ^2=1

 Δ=1/[Γ(b)*root(4-b^2)] _

★ If{ b=0.9 } Γ(0.9)=2.294

 Δ
=1/[2.294*root(4-0.81)]
=1/[2.294*root(3.19)]
=1/[2.294*root(3.19)]
=1/[2.294*1.78]
~0.24_radian
=(180/Pi)*0.24
~14°

☆等速直線運動をする電荷が作る電場☆

◆ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする電荷 q 静止している電荷 Q

q は Q に真っ直ぐ向かう 距離 r になった時を考える

2つの電荷が作る電場の大きさ Eq,EQ

2つの電荷が受ける力の大きさ FQ,Fq

■ Eq=ke*(q/r^2)/Γ(b)^2 & EQ=ke*(Q/r^2)

 FQ=Q*Eq=ke*(q*Q/r^2)/Γ(b)^2

 Fq=q*EQ=ke*q*Q/r^2

 Fq/FQ=Γ(b)^2 _動いている方がより強い力を受ける

作用・反作用の法則は成り立たない。電磁場の運動量の変化まで考えると、運動量保存が成り立つ。

★ If{ q=Q=4.8*Ten(-10)_esu r=Ten(-2)_cm b=0.6 } Γ(0.6)=1.25

 Fq=ke*q*Q/r^2=1*[4.8*Ten(-10)]^2/Ten(-2)^2~2.3*Ten(-15)_dyn

 FQ=Fq/Γ(b)^2=2.3*Ten(-15)/1.25^2~1.5*Ten(-15)_dyn

{復習}同じ速さですれ違う

『同じ速さですれ違う2つの粒子』 2017/2

◆ 2つの粒子 1本の直線上を同じ速さ(対光速比) B ですれ違う 一方の粒子から見た他方の粒子の速さ(対光速比) b

■ b=2*B/(1+B^2) Γ(b)=(1+B^2)*Γ(B)^2 Γ(b)*b=2*B*Γ(B)^2

■ B=root[Γ(B)^2-1]/Γ(B)

 Γ(b)=2*Γ(B)^2-1 Γ(b)*b=2*Γ(B)*root[Γ(B)^2-1]

{計算例}等速直線運動をする電荷が作る電場

◎ 「バークレー物理学コース.電磁気」の問題

◆ 反陽子と陽子が同じ速さですれ違う 速さ(対光速比) B Γ(B)=100 最短距離  y=Ten(-8)_cm

陽子と共に進む系で 反陽子の速さ(対光速比) b
反陽子が作る電場 <E> 真横に作る電場の大きさ E

電場の大きさが、最大値の 1/2 になっている位置 <x y> 電場の大きさが、最大値の 1/2 になっている時間 t

■ Γ(b)=2*100^2-1=19999~20000

 E=1*{[4.8*Ten(-10)]/Ten(-8)^2}*[2*Ten(4)]~Ten(11)_静電ボルト/cm

■ 2*ke*q*Γ*root(x^2+y^2)/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)=(ke*q/y^2)*Γ

 2*root(x^2+y^2)/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)=1/y^2

 2*y^2*root(x^2+y^2)=(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)

 4*y^4*(x^2+y^2)=(Γ^2*x^2+y^2)^3

0<x<<y であるとして、

 4*y^6=(Γ^2*x^2+y^2)^3

 Γ^2*x^2+y^2=4^(1/3)*y^2

 Γ^2*x^2=[4^(1/3)-1]*y^2

 x=root[4^(1/3)-1]*y/Γ

ほぼ光速ですれ違うから

 t
=2*x/c
=root[4^(1/3)-1]*y/(c*Γ)
~0.5*Ten(-8)/[3*Ten(10)*20000]
~Ten(-23)_sec 
_

{考察}等速直線運動をする電荷が作る電場

◆ x軸上正の方向に速さ v で等速直線運動をする電荷 q

電荷が原点にあるときの電場 <E(x,y)>=ke*q*Γ*<x y>/(Γ^2*x^2+y^2)^(3/2)

■【 電場の方向 】

 <E(x,y)> ∝ <x y> 電場は、観測時刻の電荷の位置から放射状に広がる ※ 電場は、観測時刻より前の時刻の電荷の位置による影響なのであるが、あたかも、観測時刻の位置による影響のように観測される。{おもしろい!2017/1}

■【 電荷の動く方向 】

 Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2] であるから、電荷がx軸上正方向に動いても、負の方向に動いても、電場は同じ。{おもしろい!2017/1}

■【 電場の大きさ 】

 E^2
=<E>*<E>
=ke^2*q^2*Γ^2*(x^2+y^2)/[Γ^6*(x^2+y^2/Γ^2)^3]
=ke^2*q^2*(x^2+y^2)*(1/Γ^4)/(x^2+y^2/Γ^2)^3

観測点と観測時刻における電荷との距離 r=root(x^2+y^2) b=v/c を使うと、

 x^2+y^2/Γ^2=(r^2-y^2)+y^2*(1-b^2)=r^2-b^2*y^2

 [E/(ke*q)]^2
=r^2*(1-b^2)^2/(r^2-b^2*y^2)^3
=(1-b^2)^2/[r^4*(1-b^2*y^2/r^2)^3]

 E=(ke*q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*(y/r)^2]^(3/2) _

3点(観測点-観測時刻における電荷-x軸)が作る角 a sin(a)=y/r を使うと、

 E=(ke*q/r^2)*(1-b^2)/[1-b^2*sin(a)^2]^(3/2) _

◇電場の形◇

■【 v=0 のとき 】

 <E>=ke*q*<x y>/(x^2+y^2)^(3/2)

前方 E/(ke*q)=1/x^2 横方向 E/(ke*q)=1/y^2

If{ E/(ke*q)=1 } x=y=1 xy平面で円、全体で球 {当たり前!}

■【 v/c=3/5 のとき 】Γ=5/4

 <E>=ke*q*(5/4)*<x y>/[(25/16)*x^2+y^2]^(3/2)

前方 E/(ke*q)=(16/25)/x^2 横方向 E/(ke*q)=(5/4)*/y^2

If{ E/(ke*q)=1 } x=4/5=0.8 , y=root5/2~1.118 前方につぶれ、横方向に広がる _※ xy平面で楕円にはならない、全体で回転楕円体にはならない

☆等速直線運動をする電荷が作る電磁場-2-☆

◎ 時間も考える。

◆ x系のx軸上正の方向に速さ v で等速直線運動をする電荷 q x軸対称であるから、xy平面のみで扱う 電場 <Ex(t,x,y) Ey(t,x,y)> root(x^2+y^2)=r

X系 電荷と共に動く系 電場 <EKx(X,Y) EKy(X,Y)> root(X^2+Y^2)=R

電荷の位置 x系:(v*t,0) X系:原点

■【 X系での電場 】EKx=ke*q*X/R^3 EKy=ke*q*Y/R^3

■【 観測点の関係 】X=Γ*(x-v*t) Y=y

■【 電場の関係 】Ex=EKx Ey=Γ*EKy

■【 X系での電場 】

 R=root[Γ^2*(x-v*t)^2+y^2]

 Ex=EKx=ke*q*Γ*(x-v*t)/[Γ^2*(x-v*t)^2+y^2]^(3/2) &
 Ey=Γ*EKy=ke*q*Γ*y/[Γ^2*(x-v*t)^2+y^2]^(3/2) 
_

▲ x軸上で y=0

 Ex=ke*q/[Γ^2*(x-v*t)^2]=ke*q*[1-(v/c)^2]/(x-v*t)^2 & Ey=0

▲ 横方向 x=v*t

 Ex=0 & Ey=(ke*q/y^2)*Γ

{復習}ローレンツ変換

『電磁場のローレンツ変換』2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◇ c*<B>=<cB> v./c=b. Γ=1/root(1-b.^2)

◆ 2つの慣性系 x系,X系 原点同士が離れる速さ v. X系はx軸の正の方向へ、x系はX軸の負の方向へ

x系で <E>,<cB> X系で <EK>,<cBK>

■ <EK>=<Ex Γ*(Ey-b.*cBz) Γ*(Ez+b.*cBy)>

 <cBK>=<cBx Γ*(cBy+b.*Ez) Γ*(cBz-b.*Ey)>

☆等速直線運動をする電荷が作る電磁場☆

◆ 単位電荷が等速直線運動

x系 速さ v. で x軸正の方向に等速直線運動 b.=v./c 電場 <E> 磁場 <B>
観測点 (x,y,z) r=root(x^2+y^2+z^2) 観測点の位置単位ベクトル <ru>
電荷の位置 (v.*t,0,0)

X系 電荷と共に動く系 電場 <EK> 磁場 <BK>
観測点 (X,Y,Z) R=root(X^2+Y^2+Z^2) 観測点の位置単位ベクトル <Ru>
電荷の位置 (0,0,0)_K

X系で 

 <EK>=<Ru>*ke/R^2 <BK>=0

 EKx=ke*X/R^3 EKy=ke*Y/R^3 EKz=ke*Z/R^3

観測点のローレンツ変換 

 X=Γ*(x-v.*t) Y=y Z=z

 R=root(X^2+Y^2+Z^2)=root[Γ^2*(x-v.*t)^2+y^2+z^2]

電磁場のローレンツ変換 

 電荷の位置 (v.*t,0,0) 観測点 (x,y,z)

 R=root[Γ^2*(x-v.*t)^2+y^2+z^2]

 Ex=EKx=ke*X/R^3=ke*Γ*(x-v.*t)/R^3
 Ey=Γ*EKy=ke*Γ*y/R^3 Ez=Γ*EKz=ke*Γ*z/R^3

 cBx=cBKx=0 cBy=-Γ*b.*EKz=-ke*Γ*b.*z/R^3 cBz=Γ*b.*EKy=ke*Γ*b.*y/R^3

ベクトルにまとめると、

 <E>=ke*q*Γ*<x-v.*t y z>/R^3 _<cB>=ke*q*Γ*b.*<0 -z y>/R^3

さらに <b.>=<xu>*b. <xu>#<x y z>=<0 -z y> だから、

 <cB>=<b.>#<cB> _

時刻 0 で 

 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,y,z) R=root[Γ^2*x^2+y^2+z^2]

 <E>=ke*Γ*<x y z>/R^3 <cB>=ke*Γ*b.*<0 -z y>/R^3 _

時刻 0 前方 で 

 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,0,0) x>0 R=Γ*x

 <E>=<xu>*ke/(Γ*x)^2 <cB>=0

時刻 0 横方向 

 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (0,y,0) y>0 R=y

 <E>=<yu>*ke*Γ/y^2 <cB>=<zu>*ke*Γ*b./y^2

▲ 電荷 q の場合は、上記の結果を q 倍すればよい

『動く電荷が作る電磁場』

◆ 電荷 q 速さ v. で x軸正の方向に等速直線運動 b.=v./c

■ <E>=ke*q*Γ*<x-v.*t y z>/R^3 <cB>=<b.>#<cB>

時刻 0 で 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,y,z) R=root[Γ^2*x^2+y^2+z^2]

 <E>=ke*q*Γ*<x y z>/R^3 <cB>=<b.>#<cB>

時刻 0 前方 で 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,0,0) x>0

 <E>=<xu>*ke*q/(Γ*x)^2 <cB>=0

時刻 0 横方向 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (0,y,0) y>0

 <E>=<yu>*ke*q*Γ/y^2 <cB>=<zu>*ke*q*Γ*b./y^2

{長年の懸案が解決できた!2016/2}

{別解}ポテンシャルをローレンツ変換して

◎ φ、<A>をローレンツ変換する。◇運動系の物理量に K を添付する。

◇ R=root[Γ^2*(x-v*t)^2+y^2+z^2]  a=[q/(4Pi*ε0)]

● 等速直線運動する電荷が作るリエナールポテンシャル

  φ(x,y,z,t)=a/[(r(T)-rx(T)*v/c]=a*Γ/R _

◆ 電荷 +q  x軸方向に速さ v で動く  時刻 0 で原点を通る

電荷と共に動く運動系K  電荷は原点にある  磁場は作らない

■ 運動系で  ポテンシャル φK(x,y,z,t)=a/R  ベクトルポテンシャル <AK>=0

ローレンツ変換して、静止系の物理量に直して、

  φ=a*Γ/R _ Ax=(a/c^2)*Γ*v/R  Ay=0  Az=0 _

■ (1/R);x=-(1/2)*2*Γ^2*(x-v*t)/R^3=-Γ^2*(x-v*t)/R^3

  (1/R);y=-(1/2)*2*y/R^3=-y/R^3

  (1/R);z=-z/R^3

  (1/R)'=+(1/2)*2*Γ^2*v*(x-v*t)/R^3=+Γ^2*v*(x-v*t)/R^3  だから、

  <E>=-grad(φ)-<A>' を使って、

  Ex
=-φ;x-Ax'
=-a*Γ*(1/R);x-(a/c^2)*Γ*v*(1/R)'
=+a*Γ^3*(x-v*t)/R^3-(a/c^2)*Γ^3*v^2*(x-v*t)/R^3
=[a*Γ^3*(x-v*t)/R^3]*(1-v^2/c^2)
=[a*Γ^3*(x-v*t)/R^3]/Γ^2
=a*Γ*(x-v*t)/R^3

  Ey=-φ;y-Ay'=+a*Γ*y/R^3

  Ez=+a*Γ*z/R^3  だから、

::  <E>=a*Γ*<x-v*t , y , z>/R^3 _

■ <curl<A>>:x=Az;y-Ay;z=0

  <curl<A>>:y=Ax;z-Az;x=+(a/c^2)*Γ*v*(1/R);z=-(a/c^2)*Γ*v*z/R^3

 <curl<A>>:z=Ay;x-Ax;y=-(a/c^2)*Γ*v*(1/R);y=+(a/c^2)*Γ*v*y/R^3

  <B>=<curl<A>>=+(a/c^2)*Γ*v*<0,-z,y>/R^3 _

{電磁気、相対論、ベクトル、うまくできてるなあ!2013/6}

◇動く点電荷が作る電磁場◇

◎ 動く点電荷が作る電磁場を、Lienard-Wiechert 流に考える

◆ [時刻 T] 観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<R>
 その単位ベクトル<Ru>  {注}原点を観測点にすれば、-<R>

[時刻 t]  時間 R/c かかって、電荷の影響が、観測点に届く。
 その時の、観測点の位置(原点:電荷)ベクトル<r>

時刻の関係  T=t-R/c

■ <E>/(ke*q)
 =(<Ru>-<b>)/{Γ^2*(1-<Ru>*<b>)^3*R^2}
+<Ru>#[(<Ru>-<b>)#<b>']{c*(1-<Ru>*<b>)^3*R}

  <cB>=-<Ru>#<E>


◎ 動く点電荷が作る電磁場を、Heaviside-Feynmann 流に考える

観測点の位置:原点

時刻 tr に電荷から出された情報が、時刻 t に観測者に届くとする

{この時間のずれを考えるのがポイント!}

情報の速さ c

時刻 tr での、電荷の位置 <r> その単位ベクトル <ru> 距離 r

遅延時間 Δt=t-tr=r/c

■ <E(t)>=-ke*q*[<ru>/r^2+Δt*(<ru>/r^2)'+<ru>''/c^2] _

  <cB(t)>=-<ru>#<E(t)> _

※ 右辺は、すべて、時刻 tr に関する量

・<E> の第1項  クーロンの法則

・第2項  (遅延時間)*(クーロンの法則の時間変化率)  視線方向単位ベクトルの時間微分を含んでいる

・第3項  視線方向単位ベクトルの加速度成分 ⇒ 電磁輻射

『動く電荷が作る電磁場 Heaviside-Feynmann表記』

観測点の位置:原点

時刻 tr に電荷から出された情報が、時刻 t に観測者に届くとする

時刻 tr での、電荷の位置 <r> その単位ベクトル <ru> 距離 r

遅延時間 Δt=t-tr=r/c

■ <E(t)>=-ke*q*[<ru>/r^2+Δt*(<ru>/r^2)'+<ru>''/c^2]

  <cB(t)>=-<ru>#<E(t)>

※ 右辺は、すべて、時刻 tr に関する量

お勉強しようUz〕 物理 電磁気 特殊相対性理論 動く点電荷

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