物理 電磁気 2018/4-2013/2 Yuji.W

☆ 平面導体

◎ 点電荷 平面導体 鏡映法 鏡像法 _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 〔 物理定数
 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔 電磁気単位

〓 等電位平面 〓 

■ 大きさが同じで正負の異なる2つの電荷。2つの電荷を結ぶ線分の垂直二等分面が等電位面になる。

■ 長方形の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる2平面が等電位面になる。

■ 直方体の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる3平面が等電位面になる。

〓 鏡映法-点電荷と平面導体 〓 

◆ 平面導体[厚み無限 広さ無限] 点電荷 q 距離 x

導体に電荷が誘起される。符号は逆で、総電荷は -q になる。点電荷は導体から引力を受ける。 点電荷と平面導体とに働く力の大きさ F(x)

導体の平面上で 電場 ⊥ 平面 になる。等電位面の1つは、導体の表面上の平面になる。以上のような電場、電位を持つ場は、次の場と同じになる。

 2つの電荷 q と -q 距離 2*x

 F(x)=-ke*q^2/(2*x)^2=(1/4)*ke*q^2/x^2 _


〓 点電荷と平面導体-エネルギー 〓 

@ 「ファインマン物理学 問題集2」p160 問題42.2

◆ 平面導体[厚み無限 広さ無限 質量無限] 点電荷 q 質量 m 距離 x

距離 x0 のときに、点電荷は静止していて、以後、平面導体に引かれて動く。他に力は働かない。

 点電荷が受ける力 F(x)=-(1/4)*ke*q^2/x^2

電磁気エネルギー U(x) 運動エネルギー K(x)

■ U(x);x=-F(x)=(1/4)*ke*q^2/x^2

 U(x)=-(1/4)*ke*q^2/x+積分定数

U(x0)=0 とすれば 0=-(1/4)*ke*q^2/x0+積分定数

 積分定数=(1/4)*ke*q^2/x0

 U(x)=-(1/4)*ke*q^2/x+(1/4)*ke*q^2/x0=-(1/4)*ke*q^2*(1/x-1/x0)

電磁気エネルギーと運動エネルギー以外に、エネルギーが使われないとすれば、

 K(x)+U(x)=U(x0)=0

 K(x)=-U(x)=(1/4)*ke*q^2*(1/x-1/x0) _

国際単位系で K(x)=[1/(16*Pi*ε0)]*q^2*(1/x-1/x0)

★ 電子 qe x=1_Å=1*Ten(-10)_m x0=1_cm=Ten(-2)_m のとき、

 ke*q^2=1.44*Ten(-9)_eV*m

 1/x-1/x0=Ten(10)-Ten(2)=Ten(10)

 K(x)=(1/4)*[1.44*Ten(-9)]*Ten(10)=3.6_eV _


〓 鏡映法-点電荷と平面導体 〓 

◆ 次の2つのシステムは、z>0 で同じ電場を作る。

@ 平面導体[広さは無限。厚みは有限。導体の裏側を接地(アース)。表側:xy平面]

z軸上に正点電荷[電荷 Q 位置 z〔 z:正の定数 〕]

正電荷Qによって、導体の表側に電子群が誘起される。電子が移動することによって生じた正電荷は、地球に逃げる。正電荷Qと誘起された電子群とが引力を生じる。

A 正電荷Q (0,0,z) 電荷 -Q (0,0,-z)

■ xy平面上で、@もAも、電場はxy平面に垂直、xy平面が等電位面。z>0 で、

2つのシステムの電場は同じになる。

 [@で電子群が (0,0,z)に作る電場の大きさ]
=[Aで-Qが(0,0,z)に作る電場の大きさ]
=ke*Q/(2*z)^2

 @で電荷Qが電子群から受ける力=ke*Q^2/(2*z)^2 .


〓 2つの電荷が作る電気力線 〓 

◆ z軸上に2つの電荷 正点電荷 q 位置 z=h 負点電荷 -q 位置 z=-h

z軸対称 円柱座標(r,a,z) 電場z軸成分 Ez それ以外の成分なし

■ Ez=-2*ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

 全電束=4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

 d(r^2)=2*dr*dr

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+h^2)
=-1/root(r^2+h^2)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~∞]
=1/h

 全電束=4Pi*ke*q*h*(1/h)=4Pi*ke*q .

※ 正点電荷のごく近くの全電束=負点電荷のごく近くの全電束=4Pi*ke*q

■ 電束が全電束の半分になる半径 R

 4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=4Pi*ke*q/2

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=1/(2*h)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~R^2]
=1/h-1/root(R^2+h^2)

 1/h-1/root(R^2+h^2)=1/(2*h)

 root(R^2+h^2)=2*h

 R^2+h^2=4*h^2

 R=root3*h

▲ 正点電荷からxy平面に平行に出た電気力線は、xy平面では、z軸から半径 root3*h の円を描く。 .

{1日ぼんやり考えていたら、解決方法を思いついた!2016/11}


〓 点電荷と直角に曲がった導体 〓 

◆ 直角に曲がった導体の近くに電荷がある場合を考えよう。

■ A 導体 xy平面に垂直 x軸方向とy軸方向に広がる 電荷 Q (a,b,0)

B 電荷 Q (a,b,0) 電荷-Q (a,-b,0) 電荷-Q (-a,b,0) 電荷 Q (-a,-b,0)

電場Aと電場Bは同じ形、同じ大きさの電位を作る。電荷 Q に働く力<Fx,Fy,0>

 -Fx/(ke*Q^2)
=1/(2*a)^2-{1/[2*a)^2+(2b)^2]}*a/(a^2+b^2)
=[1/(4*a^2]*[1-a^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

 -Fy/(ke*Q^2)
=[1/(4*b^2]*[1-b^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

〓 2本の平行直線電荷間の力 〓 

◆ 2本の平行直線電荷 距離 h 電荷線密度=λ=一定 単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ 直線電荷が距離 h に作る E=2*ke*λ/h

 \F=λ*E=λ*(2*ke*λ/h)=2*ke*λ^2/h .


〓 直線電荷と平面導体 〓 

直線電荷と平面導体との間に働く力

◆ xy平面上に平面導体 直線電荷[電荷線密度 λ x軸と平行 点 z=h を通る]

直線電荷が平面導体の原点に作る電場のz軸成分 En

単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ x~x+dx にある直線電荷の微少一部が原点に作る電場のz軸成分 dEn

 dEn=-2*ke*λ*dx*h/(x^2+h^2)^(3/2)

 En
=-2*2*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]
=-4*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}=(1/h^2)*[x/root(x^2+h^2)]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]=1/h^2

 En=-4*ke*λ*h*(1/h^2)=-4*ke*λ/h .

■ \Fは、2本の平行直線電荷が距離 2*h 離れてある場合と同じになって、

 \F=2*ke*λ^2/(2*h)=ke*λ^2/h .

★ CGS静電単位系 λ=1000_esu/cm h=500_cm

 En=-4*1*1000/500=-8_静電ボルト/cm

 \F=1*1000^2/500=2000_dyn/cm


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