☆お勉強しようUz☆ 物理 電磁気

2016/12-2012/1 Yuji.W

☆点電荷と平面導体

. 点電荷と平面導体 鏡像法 鏡映法

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1 ◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

◇一様な電場内の導体

◎ 一様な電場+厚みのある平面導体

● 無限に広がる平面電荷 電荷面密度 σ=一定 電場の大きさ E=2Pi*ke*σ

● 無限に広がる平面電荷が2つ 2つの平面電荷は平行 一方の電荷面密度 σ 他方の電荷面密度 -σ

平面内の電場の大きさ E=4Pi*ke*σ 平面外で E=0

◆ 厚みのある平面導体を垂直に貫くように外部電場をかける 外部電場 E0=一定

導体に誘起された電荷面密度 σ

■ 平面導体の一方の表面に自由電子が集まり、他方の表面に正電荷群が生じる。

それらの電荷群によって導体内部にできる電場は、外部電場と大きさが等しく、方向は逆になる。

そのような電場を作るためには、次のように、導体の表面に誘起される必要がある。電荷面密度 一方の表面 σ=-E0/(4Pi*ke) 他方の表面 σ=+E0/(4Pi*ke)

この場合、導体の外部では、一様な外部電場のみになる。導体内部の電荷群の影響は、導体外に及ばない。

{復習}外部電場+導体による電場

『外部電場+導体による電場』 2016/11

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系 ke=1

◆ 外部電場+導体 ◇ 導体の表面の法線成分には n 接線成分には t

外部電場 E0n,E0t

導体の表面に誘起された電荷面密度 σ

導体が作る電場 導体のすぐ内側で E1n=-E0n E1t=-E0t
 導体のすぐ外側で E2n,E2t

両方の電場の重ね合わせ 導体のすぐ外側で En=E0n+E2n

導体の表面に誘起された電荷面密度 σ=En/(4Pi*ke)

■ さらに導体表面のごく近くで E1n=-E2n とみなせるとき、

 En=2*E0n σ=-E0n/(2Pi*ke)

{復習}点電荷が平面上に作る電場

『点電荷が平面上に作る電場』 2016/11

◆ 円柱座標(r,a,z) z軸上に点電荷 q 電荷の位置 z=h

点電荷がxy平面上に作る電場 Er,Ea,Ez

■ Er=ke*q*r/(r^2+h^2)^(3/2) Ea=0 Ez=-ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

{復習}電荷面密度 ∝ h/(r^2+h^2)^(3/2)

◆ 円柱座標(r,a,z) xy平面上に電荷

電荷面密度 σ=[Q*h/(2Pi)]/(r^2+h^2)^(3/2)〔 h:正の定数 〕

z軸上、z=h における電場の大きさ E 電場の方向:z軸方向

※ Q は総電荷を表す 電荷面密度のパラメータの h と、位置を表す h が同じ

■ E=ke*Q/(2*h)^2

◇点電荷と平面導体◇

◎ 平面導体の近くに点電荷を置くと引力が生じる。

◆ 平面導体 広さは無限 厚みは有限 平面導体の裏側を接地(アース)する

※ アースする代わりに、厚みが無限と考えてもよい

平面導体の近くに点電荷を置く 引力が生じる

■【 点電荷と平面電荷 】

正の点電荷を平面導体の表側の近くに置く。

導体の表側には、自由電子が集まる。

導体の裏側には、自由電子が移動した分だけの正の電荷が誘起される。だが、接地されているので、電子が補充され、裏側の電荷はなくなる。

電場は、正の点電荷による電場と、誘起された電子群による電場の重ね合わせになる。

 導体内の電場=0 そうなるように、導体内に電子群が誘起される。

電位は、無限遠で 0 とする。接地したから 導体の電位も 0

導体の表側の平面が、電位=0 の等電位面になる。

正の点電荷と誘起された電子群とは引き合う。

◇点電荷と平面導体-2-◇

◎ 平面導体の近くに点電荷を置くと引力が生じる。鏡像法を使わないで考える。{難しくない!2016/10}

◆ 平面導体 広さは無限 厚みは有限 導体の裏側を接地(アース) 表側:xy平面

z軸上に点電荷 Q 位置 z=h〔 h:正の定数 〕

◇ 導体の表面の法線成分には n 接線成分には t

点電荷がxy平面に作る電場 E0n,E0t

平面導体の表面に誘起された電荷面密度 σ

平面導体が作る電場 導体のすぐ内側で E1n=-E0n E1t=-E0t
 導体のすぐ外側で E2n,E2t

両方の電場の重ね合わせ 導体のすぐ外側で En=E0n+E2n

導体の表面に誘起された電荷面密度 σ=En/(4Pi*ke)

円柱座標(r,a,z)を使う

■【 En,σ 】

点電荷がxy平面に作る電場の法線成分 E0n=ke*Q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

導体が導体のすぐ内側に作る電場の法線成分 E1n=-E0n

導体が導体のすぐ外側に作る電場の法線成分 xy平面上に自由電子群が並んでいるのだから、

 E2n=-E1n=E0n

 En=E0n+E2n=E0n+E0n=2*E0n=2*ke*Q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

En は、点電荷から導体に向かう方向を正にしている事に注意して、

 σ=-En/(4Pi*ke)=-[Q/(2Pi)]*h/(r^2+h^2)^(3/2)  .

■【 総電荷 】

 (r~r+dr にある電荷)=2Pi*r*dr*σ

 電子群の総電荷
=-2Pi*[Q*h/(2Pi)]*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-(Q*h)*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=-1/root(r^2+h^2)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]=1/h〔 h:正の定数 〕

 電子群の総電荷=-(Q*h)/h=-Q .

 (導体の表面に誘起された電子群の総電荷)=-(元の点電荷)

{素晴らしい!2016/10}

■【 引力 】

xy平面にある電荷 σ=-[Q/(2Pi)]*h/(r^2+h^2)^(3/2) が、z軸上 z=h に作る電場 E

 E=ke*Q/(2*h)^2

 点電荷と平面導体の引力=ke*Q^2/(2*h)^2 .

■【 静電エネルギー 】

点電荷が、平面導体(導体の遠い側はアースされている)から距離 h 離れてあるときの静電エネルギー U 基準点:h0

 U
=(ke*Q^2/4)*${dh/h^2}[h:h0~h]
=(ke*Q^2/4)*[-1/h][h:h0~h]
=(ke*Q^2/4)*(1/h0-1/h)

≫ U=(ke*Q^2/4)*(1/h0-1/h) .

{鏡像法を考える前に、以上のような事を考えるのが大事だと思う!2016/10}

{復習}等電位面-平面

『等電位平面』 2016/12

■ 大きさが同じで正負の異なる2つの電荷。2つの電荷を結ぶ線分の垂直二等分面が等電位面になる。

■ 長方形の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる2平面が等電位面になる。

■ 直方体の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる3平面が等電位面になる。

◇鏡映法-点電荷と平面導体◇

◆ 次の2つのシステムは、z>0 で同じ電場を作る。

@ 平面導体[広さは無限。厚みは有限。導体の裏側を接地(アース)。表側:xy平面]

z軸上に正点電荷[電荷 Q 位置 z=h〔 h:正の定数 〕]

正電荷Qによって、導体の表側に電子群が誘起される。電子が移動することによって生じた正電荷は、地球に逃げる。正電荷Qと誘起された電子群とが引力を生じる。

A 正電荷Q (0,0,h) 電荷 -Q (0,0,-h)

■ xy平面上で、@もAも、電場はxy平面に垂直、xy平面が等電位面。z>0 で、

2つのシステムの電場は同じになる。

 [@で電子群が (0,0,h)に作る電場の大きさ]
=[Aで-Qが(0,0,h)に作る電場の大きさ]
=ke*Q/(2*h)^2

 @で電荷Qが電子群から受ける力=ke*Q^2/(2*h)^2 .

◇2つの電荷が作る電気力線◇

◆ z軸上に2つの電荷 正点電荷 q 位置 z=h 負点電荷 -q 位置 z=-h

z軸対称 円柱座標(r,a,z) 電場z軸成分 Ez それ以外の成分なし

■ Ez=-2*ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

 全電束=4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

 d(r^2)=2*dr*dr

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+h^2)
=-1/root(r^2+h^2)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~∞]
=1/h

 全電束=4Pi*ke*q*h*(1/h)=4Pi*ke*q .

※ 正点電荷のごく近くの全電束=負点電荷のごく近くの全電束=4Pi*ke*q

■ 電束が全電束の半分になる半径 R

 4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=4Pi*ke*q/2

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=1/(2*h)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~R^2]
=1/h-1/root(R^2+h^2)

 1/h-1/root(R^2+h^2)=1/(2*h)

 root(R^2+h^2)=2*h

 R^2+h^2=4*h^2

 R=root3*h

▲ 正点電荷からxy平面に平行に出た電気力線は、xy平面では、z軸から半径 root3*h の円を描く。 .

{1日ぼんやり考えていたら、解決方法を思いついた!2016/11}

点電荷と直角に曲がった導体

◆ 直角に曲がった導体の近くに電荷がある場合を考えよう。

■ A 導体 xy平面に垂直 x軸方向とy軸方向に広がる 電荷 Q (a,b,0)

B 電荷 Q (a,b,0) 電荷-Q (a,-b,0) 電荷-Q (-a,b,0) 電荷 Q (-a,-b,0)

電場Aと電場Bは同じ形、同じ大きさの電位を作る。電荷 Q に働く力<Fx,Fy,0>

 -Fx/(ke*Q^2)
=1/(2*a)^2-{1/[2*a)^2+(2b)^2]}*a/(a^2+b^2)
=[1/(4*a^2]*[1-a^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

 -Fy/(ke*Q^2)
=[1/(4*b^2]*[1-b^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

{復習}2本の平行直線電荷間の力

◆ 2本の平行直線電荷 距離 h 電荷線密度=λ=一定 単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ 直線電荷が距離 h に作る E=2*ke*λ/h

 \F=λ*E=λ*(2*ke*λ/h)=2*ke*λ^2/h .

◇直線電荷と平面導体◇

. 直線電荷と平面導体との間に働く力

◆ xy平面上に平面導体 直線電荷[電荷線密度 λ x軸と平行 点 z=h を通る]

直線電荷が平面導体の原点に作る電場のz軸成分 En

単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ x~x+dx にある直線電荷の微少一部が原点に作る電場のz軸成分 dEn

 dEn=-2*ke*λ*dx*h/(x^2+h^2)^(3/2)

 En
=-2*2*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]
=-4*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}=(1/h^2)*[x/root(x^2+h^2)]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]=1/h^2

 En=-4*ke*λ*h*(1/h^2)=-4*ke*λ/h .

■ \Fは、2本の平行直線電荷が距離 2*h 離れてある場合と同じになって、

 \F=2*ke*λ^2/(2*h)=ke*λ^2/h .

★ CGS静電単位系 λ=1000_esu/cm h=500_cm

 En=-4*1*1000/500=-8_静電ボルト/cm

 \F=1*1000^2/500=2000_dyn/cm

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