物理 電磁気  2017/8-2013/2 Yuji.W

☆点電荷と平面導体☆

◎ 鏡映法(鏡像法)を使って求める

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ {定義値}2.99792458=@3 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec (@3)^2=@9
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2
 ε0*μ0*c^2=1_無次元 電場 <E>_N/C 磁場 <B>_T 磁場(光速倍) <cB>_N/C
CGS静電単位系 ke=1_無次元 電場 <E>_dyn/esu 磁場 <Bcgs>_G
 B=1_T ⇔ Bcgs=10000_G  〔電磁気の単位〕〔物理定数

『等電位平面』 2016/12

■ 大きさが同じで正負の異なる2つの電荷。2つの電荷を結ぶ線分の垂直二等分面が等電位面になる。

■ 長方形の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる2平面が等電位面になる。

■ 直方体の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる3平面が等電位面になる。

鏡映法-点電荷と平面導体

◆ 次の2つのシステムは、z>0 で同じ電場を作る。

@ 平面導体[広さは無限。厚みは有限。導体の裏側を接地(アース)。表側:xy平面]

z軸上に正点電荷[電荷 Q 位置 z=h〔 h:正の定数 〕]

正電荷Qによって、導体の表側に電子群が誘起される。電子が移動することによって生じた正電荷は、地球に逃げる。正電荷Qと誘起された電子群とが引力を生じる。

A 正電荷Q (0,0,h) 電荷 -Q (0,0,-h)

■ xy平面上で、@もAも、電場はxy平面に垂直、xy平面が等電位面。z>0 で、

2つのシステムの電場は同じになる。

 [@で電子群が (0,0,h)に作る電場の大きさ]
=[Aで-Qが(0,0,h)に作る電場の大きさ]
=ke*Q/(2*h)^2

 @で電荷Qが電子群から受ける力=ke*Q^2/(2*h)^2 .

2つの電荷が作る電気力線

◆ z軸上に2つの電荷 正点電荷 q 位置 z=h 負点電荷 -q 位置 z=-h

z軸対称 円柱座標(r,a,z) 電場z軸成分 Ez それ以外の成分なし

■ Ez=-2*ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

 全電束=4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

 d(r^2)=2*dr*dr

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+h^2)
=-1/root(r^2+h^2)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~∞]
=1/h

 全電束=4Pi*ke*q*h*(1/h)=4Pi*ke*q .

※ 正点電荷のごく近くの全電束=負点電荷のごく近くの全電束=4Pi*ke*q

■ 電束が全電束の半分になる半径 R

 4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=4Pi*ke*q/2

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=1/(2*h)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~R^2]
=1/h-1/root(R^2+h^2)

 1/h-1/root(R^2+h^2)=1/(2*h)

 root(R^2+h^2)=2*h

 R^2+h^2=4*h^2

 R=root3*h

▲ 正点電荷からxy平面に平行に出た電気力線は、xy平面では、z軸から半径 root3*h の円を描く。 .

{1日ぼんやり考えていたら、解決方法を思いついた!2016/11}

点電荷と直角に曲がった導体

◆ 直角に曲がった導体の近くに電荷がある場合を考えよう。

■ A 導体 xy平面に垂直 x軸方向とy軸方向に広がる 電荷 Q (a,b,0)

B 電荷 Q (a,b,0) 電荷-Q (a,-b,0) 電荷-Q (-a,b,0) 電荷 Q (-a,-b,0)

電場Aと電場Bは同じ形、同じ大きさの電位を作る。電荷 Q に働く力<Fx,Fy,0>

 -Fx/(ke*Q^2)
=1/(2*a)^2-{1/[2*a)^2+(2b)^2]}*a/(a^2+b^2)
=[1/(4*a^2]*[1-a^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

 -Fy/(ke*Q^2)
=[1/(4*b^2]*[1-b^3/(a^2+b^2)^(3/2)]

2本の平行直線電荷間の力

◆ 2本の平行直線電荷 距離 h 電荷線密度=λ=一定 単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ 直線電荷が距離 h に作る E=2*ke*λ/h

 \F=λ*E=λ*(2*ke*λ/h)=2*ke*λ^2/h .

直線電荷と平面導体

直線電荷と平面導体との間に働く力

◆ xy平面上に平面導体 直線電荷[電荷線密度 λ x軸と平行 点 z=h を通る]

直線電荷が平面導体の原点に作る電場のz軸成分 En

単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ x~x+dx にある直線電荷の微少一部が原点に作る電場のz軸成分 dEn

 dEn=-2*ke*λ*dx*h/(x^2+h^2)^(3/2)

 En
=-2*2*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]
=-4*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}=(1/h^2)*[x/root(x^2+h^2)]

 ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]=1/h^2

 En=-4*ke*λ*h*(1/h^2)=-4*ke*λ/h .

■ \Fは、2本の平行直線電荷が距離 2*h 離れてある場合と同じになって、

 \F=2*ke*λ^2/(2*h)=ke*λ^2/h .

★ CGS静電単位系 λ=1000_esu/cm h=500_cm

 En=-4*1*1000/500=-8_静電ボルト/cm

 \F=1*1000^2/500=2000_dyn/cm

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