uz磁気双極子

☆ 磁気双極子 ☆

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《物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位　自然単位系》

〇小さい正方形電流　ベクトルポテンシャル　★　

◇ 2*3=6　6/2=3　3^2=9　Ten(3)=10^3=1000　　000 py- 0table　
微分 ;　偏微分 :　積分 $　定積分 ${f(x)*dx 〔x|0~1〕}
ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　|<A>|=A　<A>/A=<Au>　積 3*<A>　内積 <A>*　外積 <A>#

◇ (1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C=(1.6|*(3|*Ten(-10)_esu

クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(3|^2*Ten(9)~8.99*Ten(9)_N*m^2/C^2　

CGS静電単位系で　ke=1_無次元　I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm
　Bcgs 1_G ⇔ 磁場 B=Ten(-4)_T ⇔ 磁場(光速倍) cB=(3|*Ten(4)_N/C　　　　2022.7

〓　磁気双極子が中心軸上に作る磁場　〓　22.7

▢ 円柱座標 (h,a,z_C)　座標単位ベクトル <hu(a)>,<au(a)>,<zu>

z=0 の面に定常円電流 I　中心:原点　半径 R　

磁気双極子 mm=I*R^2　磁気双極子モーメント <mm>=<zu>*mm=<zu>*I*R^2

観測点 (0,0,z)　0<R<<z　磁場

▷ =2*(ke/c^2)*<mm>/z^3

国際単位系で　=2*Ten(-7)*<mm>/z^3_T

CGS静電単位系で　<Bcgs>=(2/c)*<mm>/z^3_G

〓　定常電流が作るベクトルポテンシャル　〓　22.5

▢ 静磁場、定電流の場　

電流面密度 <j>　ベクトルポテンシャル <A>　磁場 =<curl<A>>

▷ △<A>=-4*Pi*(ke/c^2)*<j(x,y,z)>

x成分　△Ax=-4*Pi*(ke/c^2)*jx

体積要素 dV　関数 f の要素と観測点との距離 s　として、

解　Ax=(ke/c^2)*$$${(jx/s)*dV〔jx がある領域〕}　他の成分も同様

▲ 次の、電位を求めるポアソン方程式の解の結果を使う事ができる

連続的な電荷　電荷密度 ρ　観測点までの距離 s　体積要素 dV　

　電位 φ=ke*$$${(ρ/s)*dV〔電荷のある領域〕}

〓　電気双極子.電位,電場　〓　22.5

▢ デカルト座標 (x,y,z)　円柱座標 (h,a,z_C)
　h=root(x^2+y^2)　r=root(x^2+y^2+z^2)=root(h^2+z^2)

原点に電気双極子　電荷 q , -q　距離 d　方向 z軸方向

電気双極子 <zu>*q*d=<zu>*pd=<pd>

観測点 (x,y,z) , (h,a,z_C)　0<d<<r　電位 φ　電場 <E>

▷ φ=ke*pd*z/r^3=ke*<pd>*<r>/r^3=-ke*<pd>*<grad(1/r)>

▷ <E>
=ke*pd*[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5
=ke*pd*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5
=ke*[<r>*3*(<r>*<pd>)-<pd>*r^2]/r^5

〓　磁気双極子.ベクトルポテンシャル　〓　

〇小さい正方形電流が作るベクトルポテンシャルを求める

▢ xy平面上に次の4点を結ぶ定常正方形電流　1辺 L　面積 L^2
　A(-L/2,-L/2,0) , B(L/2,-L/2,0) , C(L/2,L/2,0) , D(-L/2,L/2,0)　
電流面密度 <j>　電流 I=j*(電流の断面積)　z軸に対して右回り

観測点 (x,0,z)　s=root(x^2+z^2)　0<L<<s
正方形電流が作るベクトルポテンシャル <A>

現象は、z軸対称である。

▷ z成分　電流のz成分はないから、

　Az=(ke/c^2)*$$${(jz/s)*dV〔jz がある領域〕}=0　

▷ x成分　線分 AB と CD を流れる電流を考えればよい。観測点から見て、対称な位置に、反対方向に流れるから、

　Ax=(ke/c^2)*$$${(jx/s)*dV〔jx がある領域〕}=0　

▷ y成分　線分 BC と DA を流れる電流を考えればよい。観測点から見て、距離に差がある。電流は逆向きに流れている。

r=root(x^2+z^2)　0<L<<r　として、

　(観測点と線分BCの距離)=root[(x-L/2)^2+z^2]　※ y方向のずれによる距離の変化は無視できるとしている

　1/(観測点と線分BCの距離)
=1/root[(x-L/2)^2+z^2]
=1/root(r^2-x*L)
=(1/r)/root(1-x*L/r^2)
=(1/r)*[1+(1/2)*x*L/r^2]
=1/r+(1/2)*x*L/r^3　

　1/(観測点と線分BCの距離)=root[(x+L/2)^2+z^2]=1/r-(1/2)*x*L/r^3

　1/(観測点と線分BCの距離)-1/(観測点と線分BCの距離)=x*L/r^3　★　

　Ay
=(ke/c^2)*$$${(jy/s)*dV〔jy がある領域〕}　
=(ke/c^2)*I*${(1/s)*dy〔jy がある領域〕}　
=(ke/c^2)*I*L*(x*L/r^3)
=(ke/c^2)*I*L^2*x/r^3

磁気双極子 mm=(電流)*(面積)=I*L^2 と置けば、

　Ay=(ke/c^2)*mm*x/(x^2+z^2)^(3/2)　★　

{まとめ} 観測点 (x,0,z)　<A>=<yu>*(ke/c^2)*mm*x/(x^2+z^2)^(3/2)

▷ 現象はz軸対称であるから、次のように一般化できる。

円柱座標 (h,a,z_C)　座標単位ベクトル <hu(a)>,<au(a)>,<zu>　で、

　h=root(x^2+y^2)　r=root(x^2+y^2+z^2)

<A>=<au>*(ke/c^2)*mm*h/r^3　★

デカルト座標 (x,y,z)　座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>　で、

<A>=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3　★

さらに　磁気モーメント <mm>=<zu>*mm とすれば

外積 # を使って　<zu>#<r>=<0 0 1>#<x y z>=<-y x 0>　だから、

<A>=(ke/c^2)*<mm>#<r>/r^3　★

▲ 小さい正方形電流で考えたが、任意の形の小さい電流ループについて、同様な事が言える。

〓　磁気双極子.磁場　〓　

▢ ベクトルポテンシャル <A>　磁場 =<curl<A>>

<A>=<au>*(ke/c^2)*mm*h/r^3=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3

▷ 円柱座標で　<A>=<au>*(ke/c^2)*mm*h/r^3

● <curl(<au>*h/r^3)>=[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5 ●

=<curl<A>>=(ke/c^2)*mm*[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5　★

▷ デカルト座標で、

<A>=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3

● <curl(<-y x 0>/r^3)>=<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5 ●

=<curl<A>>=(ke/c^2)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5　★

▲ 電気双極子が作る電場　<E>=ke*pd*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5　と形は同じ

★ z軸上で　x=y=h=0　=<zu>*2*(ke/c^2)*mm/r^3　★

★ xy平面上で　z=0　=-<zu>*(ke/c^2)*mm/h^3　★

〓　磁気双極子　〓　22.8　

〇小さな閉電流が作るベクトルポテンシャル、磁場

▢ xy平面上に小さな定常閉電流　z軸を取り囲む　電流 I　z軸に対して右回り　面積 S　
磁気双極子 mm=I*S　磁気双極子モーメント <mm>=<zu>*mm

観測点 (x,y,z)　<r>=<hu>*h+<zu>*z=<x y z>　
閉電流から離れた位置　閉電流が作るベクトルポテンシャル <A>　磁場

▷ <A>=(ke/c^2)*mm*<au>*h/r^3=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3

=(ke/c^2)*mm*[<hu>*3*h*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5
=(ke/c^2)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

● クーロン力定数 ke　
国際単位系(SI系)　ke/c^2=1/(4*Pi*ε0*c^2)=Ten(-7)_N*sec^2/C^2=μ0/(4*Pi)　
CGS静電単位系 ke=1 <Acgs> ⇔ c*<A>　<Bcgs> ⇔ c*

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