お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2013/2 Yuji.W

☆小さい正方形電流が作る磁場(磁気双極子)☆

_ 小さい正方形電流 ベクトルポテンシャル 磁場 磁気双極子 _〔物理定数

◇積* 商/ 微分;x 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積#

◇国際単位系(SI系) クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
◇CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

{復習}定常電流が作るベクトルポテンシャル

『定常電流が作るベクトルポテンシャル』

◆ 定常電流密度 <J> それが作る磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

 電流密度と観測点との距離 r

■ Ax=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V] Ay=… Az=…

 <A>=(ke/c^2)*$$${<J>/r)*dV}[電流が流れている領域V]

国際単位系(SI系)で <A>=(μ0/4Pi)*$$${<J>/r)*dV}

CGS静電単位系で <Acgs>=(1/c)*$$${<J>/r)*dV}

☆小さい正方形電流のベクトルポテンシャル☆

◆ 正方形電流 I xy平面 1辺 a a<<1 正方形の各辺‖x軸かy軸 正方形の中心:原点

■ まず Ax を求める。jx のみが寄与する。

jx 2本の線分 x軸に平行 y=a/2 と -a/2 を通る 長さ a
a/2 を通る電流は、x軸のマイナスの方向 長さ a
-a/2 を通る電流は、x軸のプラスの方向 長さ a

$$${(jx/r)*dV} を計算していく。

$$${(jx/r)*dV} の dy*dz の積分は、jx*(断面積)=I になる。

dx の積分は [x:-a~a] の部分だけ考える。a<<(観測点までの距離) の場合、

ベクトルポテンシャルは、

 電荷 I*a と -I*a の電荷が、y軸方向(逆向き)に距離 a だけ離れた電気双極子の電位の式を同じになる。

 Ax=(ke/c^2)*$$${(jx/r)*dV}=-(ke/c^2)*I*a^2*y/r^3

ここで 磁気双極子 mm=I*a^2=電流*面積 と置けば、

 Ax=-(ke/c^2)*mm*y/r^3

■ 同様に、jy 2本の線分 x軸に平行 x=a/2 と -a/2 を通る 長さ a
x=a/2 を通る電流は、y軸のプラスの方向 長さ a
-a/2 を通る電流は、y軸のマイナスの方向 長さ a

電荷 I*a と -I*a の電荷が、x軸方向に距離 a だけ離れた電気双極子の電位の式を同じになる。

 Ay=(ke/c^2)*mm*x/r^3

まとめて <A>=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3 _

■ <mm>=<zu>*mm とすれば

 <zu>#<ru>=<0 0 1>#<x y z>/r=<-y x 0>/r

 <mm>#<ru>=mm*<zu>#<ru>=mm*<-y x 0>/r

 <A>=(ke/c^2)*<mm>#<ru>/r^2 _

<zu>を含まない形に書けたから、<mm>の方向がz軸方向でなくても、この形に書ける事になる。

■ 国際単位系(SI系)で <A>=(μ0/4Pi)*<mm>#<ru>/r^2
CGS静電単位系で <Acgs>=(1/c)*<mm>#<ru>/r^2

☆小さい正方形電流の磁場☆

◆ <A>=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3 <B>=<curl<A>>

■ r=root(x^2+y^2+z^2)

 <curl(<-y x 0>/r^3)>=<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

■ <B>=(ke/c^2)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

<mm>=<zu>*mm を使えば、

 <B>=(ke/c^2)*[<ru>*3*(<mm>*<ru>)-<mm>]/r^3

『磁気双極子が作る磁場』

◆ 磁気双極子 <mm> 大きさ=電流*面積 方向:右回り回転軸の方向

磁気双極子の中心から観測点までの距離単位ベクトル <ru>

ベクトルポテンシャル <A> 磁場 <B>

■ <A>=(ke/c^2)*<mm>#<ru>/r^2

 <B>=(ke/c^2)*[<ru>*3*(<mm>*<ru>)-<mm>]/r^3

■ <mm>=<zu>*mm のとき <A>=(ke/c^2)*mm*<-y x 0>/r^3

 <B>=(ke/c^2)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

円柱座標(r.,a,z)で、

 <B>=(ke/c^2)*mm*[<r.u>*3*r.*z+<zu>*(3*z^2-r^2)]/r^5

■ 国際単位系(SI系)で <A>=(μ0/4Pi)*mm*<-y x 0>/r^3

 <B>=(μ0/4Pi)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

CGS静電単位系で <Acgs>=(1/c)*mm*<-y x 0>/r^3

 <Bcgs>=(1/c)*mm*<3*x*z 3*y*z 3*z^2-r^2>/r^5

磁気双極子が作る磁場の方向
※ 大きさは表していない

 

▲ 磁気双極子の軸上で x=y=0

 <B>=<zu>*(ke/c^2)*mm*2/|z|^3

☆等速円運動をする電荷☆

磁気双極子と角運動量の関係

◆ 等速円運動 半径 r 質量 m 電荷 +q 速さ v 回転軸 <zu>

 周期 T=2Pi*r/v 電流 I=+q/T=q*v/(2Pi*r) 角運動量 <L>=<zu>*m*v*r

■ 磁気双極子 <mm>=<zu>*[q*v/(2Pi*r)]*(Pi*r^2)
=<zu>*q*v*r/2=(1/2)*(q/m)*<L>【
】{注}MKSA単位系、EB対応

{注}MKSA単位系、EH対応 <mm>=μ0*[q/(2*m)]*<L>【

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