お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2013 Yuji.W

磁場

_ 磁場 直線電流の磁場 _〔物理定数

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

☆電場、磁場☆

■ 電荷を持つ粒子は、電磁場から2種類の力を受ける。電荷の動きに関係なく受ける力を電気力、電荷の速さに比例する力を磁気力とする。単位電荷当たりの電気力を電場、単位電荷当たりの磁気力を磁場と言う。

慣性系 電場 <E> 磁場 <B> 電荷 +q 電荷の速度 <v> 電荷が受ける電磁気力 <F>

 <F>=q*(<E>+<v>#<B>) _

 [電荷]=[C] [クーロン力定数]=[N*m^2/C^2]

 [電場]=[N/C]=[V/m]

 [磁場]=[T]=[N/(A*m)]=[N*sec/(C*m)]=[V*sec/m^2]=[Wb/m^2]

 [磁場(光速倍)]=[N/C]=[V/m]

■ CGS静電単位系で <F>=q*(<E>+<v>#<Bcgs>/c)

 [電荷]=[esu]=[root(dyn)*cm] [クーロン力定数]=[無次元]=1

 [電場]=[dyn/esu]=[静電ボルト/cm]=[root(dyn)/cm]

 [磁場]=[G]=[dyn/esu]=[電場]

☆等速直線運動をする電荷の電磁場☆

『動く電荷の電磁場』

◆ 電荷 q 速さ v. で x軸正の方向に等速直線運動 b.=v./c

■ <E>=ke*q*Γ*<x-v.*t y z>/R^3 <cB>=<b.>#<cB>

時刻 0 で 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,y,z) R=root[Γ^2*x^2+y^2+z^2]

 <E>=ke*q*Γ*<x y z>/R^3 <cB>=<b.>#<cB>

時刻 0 前方 で 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (x,0,0) x>0

 <E>=<xu>*ke*q/(Γ*x)^2 <cB>=0

時刻 0 横方向 電荷の位置 (0,0,0) 観測点 (0,y,0) y>0

 <E>=<yu>*ke*q*Γ/y^2 <cB>=<zu>*ke*q*Γ*b./y^2

☆直線電流の電磁場☆

『直線電流の磁場』

◆ 直線電流 I 電流からの距離 r. 磁場 <B(r.)>

■ <B>=<au>*2*(ke/c^2)*I/r. <Bcgs>=<au>*(2/c)*I/r.

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(閉曲線内)

☆定常電流の磁場☆

◆ 定常電流密度 <J(x,y,z)>

■ I(閉曲線内)=$${<J(x,y,z)>*<dS>}[閉曲線内]

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]
=(4Pi*ke/c^2)*I(閉曲線内)
=(4Pi*ke/c^2)*$${<J(x,y,z)>*<dS>}[閉曲線内]

ここで、ベクトルのストークスの定理より、

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=$${<curl<B>>*<dS>}[閉曲線内] だから、

 $${<curl<B>>*<dS>}=(4Pi*ke/c^2)*$${<J(x,y,z)>*<dS>}

 <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J(x,y,z)> _定常電流の磁場

ただし div<J>=0 & div<B>=0 が成り立つ

国際単位系(SI系)で <curl<B>>=μ0*<J(x,y,z)>
CGS静電単位系で <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J(x,y,z)>

『定常電流の磁場』

◆ 定常電流密度 <J(x,y,z)> それの磁場 <B>

■ <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J(x,y,z)> & div<J>=0 & div<B>=0

国際単位系(SI系)で <curl<B>>=μ0*<J(x,y,z)>
CGS静電単位系で <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J(x,y,z)>

■ 積分形で ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(閉曲線内) ストークスの定理

☆平行電流に働く力☆

◆ 平行電流 I1,I2 距離 r. 単位長さ当たりに働く引力 @F

■ @F=2*(ke/c^2)*I1*I2/r.=(μ0/2Pi)*I1*I2/r. _

CGS静電単位系で @F=(2/c^2)*I1*I2/r.

{計算例}平行電流に働く力

◆ 平行電流 I,I 距離 r.=5_cm 数線密度=6.6*Ten(20)_個 平均移動速度=0.3_cm/sec 単位長さ当たりに働く引力 @F 20_cmの銅線に働く力 F

■【 CGS静電単位系で 】

 I=[4.8*Ten(-10)]*[6.6*Ten(20)]*0.3=9.5*Ten(10)_esu/sec

 @F=2*[9.5*Ten(10)]^2/{[3*Ten(10)]^2*5}~4_dyn/cm

 F=4*20=80_dyn

■【 国際単位系(SI系)で 】

 I=[1.6*Ten(-19)]*[6.6*Ten(22)]*0.003=32_A

 @F=2*Ten(-7)*32^2/0.05~4*Ten(-3)_N/m

 F=[4*Ten(-3)]*0.2=8*Ten(-4)_N

{なるほどね!2017/2}

◇電流内の電子の速さの相対論的効果率◇

◎ 電流内の電子の全体としての速さ(ドリフト)は非常に小さい。相対論的効果率 ?

◆ 電流内の電子の動く速さ v 相対論的効果率 Γ(v/c)

『電流内の電子の動く速さ』 2015/8

■ 銅の数密度 n=8.4*Ten(28) 銅線の断面積 Ten(-2)_mm^2=Ten(-8)_m^2

電流 1_A 電流内の電子の動く速さ v=7.4_mm/sec ※ 全体としての速さ(ドリフト)

■ v=1_cm=Ten(-2)_m としよう

 (v/c)^2={Ten(-2)/[3*Ten(8)]}~Ten(-21)

 Γ(v/c)=1/root[1-Ten(-21)]=1+5*Ten(-22) 

『電流内の電子の動く速さ』 2015/8

■ 銅の数密度 n=8.4*Ten(28) 銅線の断面積 Ten(-2)_mm^2=Ten(-8)_m^2

電流 1_A 電流内の電子の動く速さ v=7.4_mm/sec ※ 全体としての速さ(ドリフト)

電流内の電子の相対論的効果率の目安 Γ(v/c)=1+5*Ten(-22)

☆電磁気の物理定数、単位☆

「電磁気の単位」 エネルギー [J]=[N*m] 電荷 [C]

■ 電圧 [V]=[J/C] 電流 [A]=[C/sec] E [N/C] B [(N/C)/(m/sec)]

■ 静電容量 [F]=[C/V] 誘電率 [F/m]

 真空の誘電率 ε0=Ten(7)/(4Pi*c^2)~8.85418782*Ten(-12)_F/m

 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)_N*m^2/C^2 クーロンの法則

▲ (誘電率)*(電場)^2 [J/m^3] 静電エネルギー密度

■ 透磁率 [N/A^2] 平行電流間の力 ※ 単位長さ当たりの力 ∝ 1/距離

 真空の透磁率 μ0=4Pi*Ten(-7)~1.25663706*Ten(-6)_N/A^2

 kb=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_N/A^2

▲ ε0*μ0*c^2=1 ※ 無次元数  ke/kb=c^2

■ インダクタンス(電磁誘導による起電力) [H]=[V*sec/A] 電流の変化

■ 磁束 [Wb] 磁場(B) [Wb/m^2]=[T]=Ten(4)*[gauss]

 磁場の強さ(H) [N/Wb]= [A/m] [Wb]=[J/A]

真空で <B>=μ0*<H>

■ [J]=[N*m]=[C*V]=[Wb*A]

■ エネルギー [J]=[N*m]

電荷 [C] 電圧(単位電荷移動するのに必要な仕事) [V]=[J/C]

電場(単位電荷に働く力) [N/C]=[V/m] エネルギー [J]=[C*V]

静電容量(1V当たりの電荷量) [F]=[C/V]

誘電率 [F/m] permittivity ※ permit 許す 免許

 真空の誘電率(1V、単位長さ当たりの電気容量) ε0
=Ten(7)/(4Pi*c^2)~8.85418782*Ten(-12) {定義}

 k1=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)_m/F {定義}

比誘電率 真空の誘電率に対する比

 空気 1.0006 水 80(振動数0で) 1.8(可視光で) ガラス 3.5〜10

電流 [A]=[C/sec] エネルギー [J]=[C*V]=[(A*sec)*V]

磁束 [Wb]

磁場の単位はわかりにくい。次の2つの考え方が混在しているからである。

@ 磁荷を仮想的に想定する考え方

 B=磁場(磁束(面)密度) [Wb/m^2]=[T]=Ten(4)*[gauss]

 H=磁場の強さ(単位磁荷が受ける力の大きさ) [N/Wb]

A あくまで、電流から磁場を考えようとする考え方

 B=磁場=電流が磁場から受ける力(1A,単位長さ当たり) [N/(A*m)]

 H=磁場の強さ(1Aの電流,1m離れて) [A/m]

 インダクタンス(電磁誘導による起電力) [H]=[V/(A/sec)]=[J/A^2]

したがって [Wb/m^2]=[N/(A*m)] [Wb*A]=[N*m]=[J]〔

また [N/Wb]=[A/m] からも同様な結果が得られる。

■ 地磁気 0.5_G 棒磁石 0.2_T スピーカー 1_T USA磁場研究所 50_T

透磁率 [H/m]=[(J/A^2)/m]=[N/A^2]
permeability ※ permeable 浸透性の

真空の透磁率 μ0=4Pi*Ten(-7)~1.25663706*Ten(-6)_H/m {定義値}

 kb=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

比透磁率 鉄 5000 ニッケル 600 空気、水 1

 比透磁率が高いほど、電流に対して誘起される磁場が強くなる。

■ エネルギー [J]=[N*m]=[C*V]=[(A*sec)*V]=[Wb*A]〔

 磁束 [Wb]=[J/A]=[V*sec]=[A*H]〔

「電磁気の単位」

■ <E>電場(単位電荷に働く力) [N/C]

<B>磁場(磁束(面)密度) [Wb/m^2]=[T]=[(N/C)/(m/sec)]

■ 静電容量(1V当たりの電荷量) [F]=[C/V]

誘電率 [F/m]=[N*C^2/m^2]

■ 電流 [A]=[C/sec]

インダクタンス(電磁誘導による起電力) [H]=[V/(A/sec)]

透磁率 [H/m]=[N/A^2]

■ エネルギー [J]=[N*m]=[C*V]=[Wb*A]

☆磁荷,磁気☆

◇ kb=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

■ 磁荷はない。ただし、あると仮定して話を進めると簡単なことがある。

■ 距離 r 離れた二つの磁荷 qm1,qm2 に働く力 <Fm>
 <Fm>=<ru>*[1/(4Pi*μ0)]*qm1*qm2/r^2

右辺の単位 [(m/H)*Wb^2/m^2]=[m*A^2*(J/A)^2/(J*m^2)]=[J/m]=[N]

■ 磁荷 qm が距離 r の地点に作る磁場 <B>

 <B>=<ru>*[1/(4Pi)]*qm/r^2

■ 磁荷 qm が、磁場 B によって受ける力 (1/μ0)*qm*B

■ 直線電流が距離 r. に作る磁場 B=kb*2*I/r.

■ 直線電流から距離 r. にある磁荷 qm が受ける力
=(1/μ0)*qm*μ0/(4Pi)*2*I/r.
=[1/(2Pi)]*qm*I/r.

単位を考えると [N]=[Wb*A/m] [J]=[Wb*A]〔

☆ビオ・サバールの法則☆

[ビオ・サバールの法則 1820] ◇ kb=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

 <dB>=kb*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 電流 I x軸の -L/2~L/2 のみ s=L*root3/2

 観測点 (0,s,0) に作る磁場 B

■ dB=kb*I*dx*s/(x^2+s^2)^(3/2)

 B
=2*kb*I*s*${[1/(x^2+s^2)^(3/2)]*dx}[x:0~L/2]

● x=A*tan(a) 1/(x^2+A^2)^(3/2) ≫$≫ sin(a)/A^2

x=s*tan(a) と置くと [x:0~L/2]=[a:0~Pi/6]

 ${[1/(x^2+s^2)^(3/2)]*dx}[x:0~L/2]
=sin(Pi/6)/s^2
=1/(2*s^2)

 B=2*kb*I*s/(2*s^2)=kb*I/s〔

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