〓　動く平面電荷が作る電磁場　〓

〓　平面電荷が作る電磁場の変換　〓

◆ z>0 で <\y>=<y> , <\z>=<z>　z<0 で <\y>=-<y> , <\z>=-<z>

xy平面上に一様な平面電荷　電荷面密度[静止しているとき σ0

次の2つの慣性系で観測する。

�@ x系　平面電荷はx軸方向に等速直線運動　速さ(対光速比) b
それが作る電磁場 E\z , B\y
�A X系　x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動　平面電荷の動く速さ(対光速比) bK　それが作る電磁場 EK\z , BK\y

■ 速さ(対光速比)の関係は、相対論的な効果を考えて、

　bK=b[-]b.=(b-b.)/(1-b*b.)

　Γ(bK)=(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)　Γ(bK)*bK=(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)

■ E\z=2Pi*ke*σ0*Γ(b)　&　cB\y=-2Pi*ke*σ0*Γ(b)*b

■ EK\z
=2Pi*ke*σ0*Γ(bK)
=2Pi*ke*σ0*(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=2Pi*ke*σ0*Γ(b)*Γ(b.)-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*[Γ(b.)*b.]
=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b. ★_

■ cBK\y
=-2Pi*ke*σ0*Γ(bK)*bK
=-2Pi*ke*σ0*(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*Γ(b.)+2Pi*ke*σ0*Γ(b)*[Γ(b.)*b.]
=cB\y+E\z*Γ(b.)*b. ★_

■ まとめて、

　EK\z=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b.　&　cBK\y=cB\y+E\z*Γ(b.)*b.

一般的に、

x系で　<E>=<z>*Ez　&　<cB>=<y>*cBy　のとき、

X系で　<EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] ★_

〓　電磁場の変換　〓

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系はx系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動

それぞれの系での電磁場 <E>,<B>　<EK>,<BK>

■ <E>=<z>*Ez　&　<cB>=<y>*cBy　のとき、

　<EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] ★_

■ <E>=<y>*Ey　&　<cB>=<z>*cBz　のとき、

　<EK>=<y>*[Γ(b.)*Ey-cBz*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<z>*[cBz-Ey*Γ(b.)*b.] ★_

■ <E>=<x>*Ex　&　<B>=0　のとき　<EK>=<x>*Ex　<BK>=0

■ <E>=0　<B>=<x>*Bx　のとき　<EK>=0　<BK>=<x>*Bx

■ 以上をまとめて、電磁場の重ね合わせの原理より、

　<EK>=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<0 -cBz cBy>*Γ(b.)*b.

　<cBK>=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)+<0 Ez -Ey>*Γ(b.)*b.

ベクトルの外積を使えば　<x>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay>　だから、

　<EK>
=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<x>#<0 cBy cBz>*Γ(b.)*b.
=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<b.>#<cB>*Γ(b.)

　<cBK>
=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)-<x>#<0 Ey Ez>*Γ(b.)*b.
=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)-<b.>#<E>*Γ(b.)

※ <x>#<0 cBy cBz>=<x>#<cBx cBy cBz>=<x>#<cB>　と書いてもよい

逆変換

　<E>=<x>*EKx+<0 EKy EKz>*Γ(b.)-<b.>#<cBK>*Γ(b.)

　<cB>=<x>*cBKx+<0 cBKy cBKz>*Γ(b.)+<b.>#<EK>*Γ(b.)

■ 以上、X系はx系のx軸方向に等速直線運動をするとして立式してきた。一般化して、

X系のx系に対する速度(対光速比) <b.>
<A>の、<b.>方向成分 Au　<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

　EKu=Eu　<EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)

　cBKu=cBu　<cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>) ★_

■ 逆変換　Eu=EKu　<Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)

　cBu=cBKu　<cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>) ★_

{まとまって来たなあ!2017/5}

〓　電磁場の変換の変換　〓

]◎ 2回ローレンツ変換すると、元に戻るのか ?

◆ <E>,<B>　⇒　b.で動く系 <EK>,<BK>　⇒　-b.で動く系 <\E>,<\B>

　<\E>=<E> , <\B>=<B> となるのか ?

■ <E>,<B>と<EK>,<BK>

　<EKyz>=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)

　<cBKyz>=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)

<EK>,<BK>と<\E>,<\B>

　<\Eyz>=[<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.]*Γ(b.)

　<\cByz>=[<cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.]*Γ(b.)

ここで　<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)-<x>#[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<Eyz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<Eyz>)*Γ(b.)*b.^2

次の事に注意して、

　<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=<Eyz>*Γ(b.)-<Eyz>*Γ(b.)*b.^2
=<Eyz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<Eyz>/Γ(b.)　だから、

　<\Eyz>=[<Eyz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<Eyz> ★_

■ <cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.
=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)+<x>#[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<cByz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<cByz>)*Γ(b.)*b.^2
=<cByz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<cByz>/Γ(b.)

　<\cByz>=[<cByz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<cByz> ★_

≫　<E>,<B>　⇒　b.で動く系 <EK>,<BK>　⇒　-b.で動く系 <\E>,<\B>

　<\E>=<E> , <\B>=<B> ★_

{できた!当たり前なのだろうが、ちゃんとここを説明してくれないと、モヤモヤが残る!2017/5}

〓　4次元電気力学　〓

〓　電磁場テンソル　〓

◎電磁場テンソル=電磁テンソル=マックスウェルテンソル　を導入しよう。

◆電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇n*Aμ ★

■Fμn=-Fnμ　Fμμ=∇μ*Aμ-∇μ*Aμ=0　独立した成分は 6個

　Ftx=∇t*Ax-∇x*At=Ax'/c+(φ/c);x=-Ex/c　Fty=-Ey　Ftz=-Ez

　Fxt=Ex/c　Fyt=Ey　Fzt=Ez

　Fxy=∇x*Ay-∇y*Ax=-Ay;x+Ax;y=-Bz　Fyz=-Bx　Fzx=-By

　Fyx=Bz　Fzy=Bx　Fxz=By

　{Fμn}
=[0　-Ex/c　-Ey/c　-Ez/c　|
　Ex/c　0　-Bz　By　|
　Ey/c　Bz　0　　-Bx　|
　Ez/c　-By　Bx　0]

{演算子の定義の符号が違っていたり、c=1 にしたり、本ごとに違うと言っていいぐらい!2013/3}

〓　2階4次元反対称ベクトル　〓

◎2階4次元反対称ベクトルのローレンツ変換

◆任意の4元ベクトル2つ　aμ　bμ　ローレンツ変換に従う

　任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ

■Gtx_K=at_K*bx_K-ax_K*bt_K
=Γ^2*[at-(v./c)*ax]*[bx-(v./c)*bt]-Γ^2*[ax-(v./c)*at]*[bt-(v./c)*bx]
=Γ^2*{at*bx[1-(v./c)^2]-ax*bt[1-(v./c)^2]}
=(Γ^2/Γ^2)*(at*bx-ax*bt)
=Gtx ★ ローレンツ不変量{おみごと!2013/3}

■Gty_K=at_K*by_K-ay_K*bt_K
=Γ*[at-(v./c)*ax]*by-ay*Γ*[bt-(v./c)*bx]
=Γ*[(at*by-ay*bt)-(v./c)*(ax*by-ay*bx)]
=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] ★

　Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz] ★

■Gxy_K=ax_K*by_K-ay_K*bx_K
=Γ*[ax-(v./c)*at]*by-ay*Γ*[bx-(v./c)*bt]
=Γ*[(ax*by-ay*bx)-(v./c)*(at*by-ay*bt)]
=Γ*[Gxy-(v./c)*Gty] ★

　Gyz_K=Gyz ★

　Gzx_K=Γ*[Gzx-(v./c)*Gtz] ★

〓　電磁場の変換　〓

◎電磁場の変換を、電磁場テンソルを使って、求めよう。

●任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ　のローレンツ変換

　Gtx_K=Gtx　Gty_K=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy]　Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz]

■電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇μ*Aμ　をローレンツ変換すると、

　EKx/c=-Ftx_K=-Ftx=Ex/c　EKx=Ex ★

　EKy/c=-Fty_K=-Γ*[Fty-(v./c)*Fxy]=+Γ*[Ey/c-(v./c)*Bz]
　EKy/c=Γ*[Ey-v.*Bz] ★

　EKz/c=-Ftz_K=-Γ*[Ftz-(v./c)*Fxz]=+Γ*[Ez/c+(v./c)*By]
　EKz=+Γ*[Ez+v.*By] ★

　BKz=-Fxy_K=-Γ*[Fxy-(v./c)*Fty]=+Γ*[Bz-v.*Ey/c^2]

　BKx=-Fyz_K=-Fyz=Bx

　BKy=-Fzx_K=-Γ*[Fzx-(v./c)*Ftz]=+Γ*[By+v.*Ez/c^2]

{ちゃんとローレンツ変換が求められた!2013/3}