物理 電磁気

2017/6-2013 Yuji.W

電磁場の変換-1-

_ 電磁場 2つの慣性系 _

【 ベクトル】<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<x> 内積* 外積#
【関数】積* 商/ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分; 
時間微分' 積分$

【相対論】2.99792458=\c 光速 c=\c*Ten(8)_m/sec {定義}
 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) 時間(光速倍) tc
 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) pc [@m]=[pc]=[エネルギー]

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電場 <E> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G          〔電磁気の単位〕〔
物理定数

☆ローレンツ力☆

◆ 慣性系 電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>

その系で動く電荷 +q 速度(対光速比) <b> 電荷が受ける電磁気力 <F>

■ <F>=q*(<E>+<b>#<cB>) _

CGS静電単位系 <F>=q*(<E>+<b>#<Bcgs>)

{復習}ベクトルの分解

◆ 任意のベクトル <A> 任意の単位ベクトル <u>

ベクトル<A>の、<u>に垂直な平面への射影ベクトル <Av>

■ <Av>=<A>-<u>*(<A>*<u>)=<u>#(<A>#<u>)

{復習}Γ(b) の公式

『Γ(b) の公式』

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

● ローレンツ不変量 Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1

☆動く平面電荷が作る電磁場

『動く平面電荷が作る電磁場』

◆ z>0 で <\y>=<y> , <\z>=<z> z<0 で <\y>=-<y> , <\z>=-<z>

xy平面上に一様な平面電荷 x軸方向に等速直線運動 速さ(対光速比) b 電荷面密度[静止しているとき σ0 動いているとき σ] 動く平面電荷が作る電場 <E> 磁場(光速倍) <cB>

■ <E>=<\z>*2Pi*ke*σ0*Γ(b) <cB>=-<\y>*2Pi*ke*σ0*Γ(b)*b

☆平面電荷が作る電磁場の変換☆

◆ z>0 で <\y>=<y> , <\z>=<z> z<0 で <\y>=-<y> , <\z>=-<z>

xy平面上に一様な平面電荷 電荷面密度[静止しているとき σ0

次の2つの慣性系で観測する。

@ x系 平面電荷はx軸方向に等速直線運動 速さ(対光速比) b
それが作る電磁場 E\z , B\y
A K系 x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動 平面電荷の動く速さ(対光速比) bK それが作る電磁場 EK\z , BK\y

■ 速さ(対光速比)の関係は、相対論的な効果を考えて、

 bK=b[-]b.=(b-b.)/(1-b*b.)

 Γ(bK)=(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.) Γ(bK)*bK=(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)

■ E\z=2Pi*ke*σ0*Γ(b) & cB\y=-2Pi*ke*σ0*Γ(b)*b

■ EK\z
=2Pi*ke*σ0*Γ(bK)
=2Pi*ke*σ0*(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=2Pi*ke*σ0*Γ(b)*Γ(b.)-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*[Γ(b.)*b.]
=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b. 
_

■ cBK\y
=-2Pi*ke*σ0*Γ(bK)*bK
=-2Pi*ke*σ0*(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*Γ(b.)+2Pi*ke*σ0*Γ(b)*[Γ(b.)*b.]
=cB\y+E\z*Γ(b.)*b. 
_

■ まとめて、

 EK\z=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b. & cBK\y=cB\y+E\z*Γ(b.)*b.

一般的に、

x系で <E>=<z>*Ez & <cB>=<y>*cBy のとき、

K系で <EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
& <cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] 
_

☆電磁場の変換☆

◆ 2つの慣性系 x系,K系 K系はx系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動

それぞれの系での電磁場 <E>,<B> <EK>,<BK>

■ <E>=<z>*Ez & <cB>=<y>*cBy のとき、

 <EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
& <cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] 
_

■ <E>=<y>*Ey & <cB>=<z>*cBz のとき、

 <EK>=<y>*[Γ(b.)*Ey-cBz*Γ(b.)*b.]
& <cBK>=<z>*[cBz-Ey*Γ(b.)*b.] 
_

■ <E>=<x>*Ex & <B>=0 のとき <EK>=<x>*Ex <BK>=0

■ <E>=0 <B>=<x>*Bx のとき <EK>=0 <BK>=<x>*Bx

■ 以上をまとめて、電磁場の重ね合わせの原理より、

 <EK>=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<0 -cBz cBy>*Γ(b.)*b.

 <cBK>=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)+<0 Ez -Ey>*Γ(b.)*b.

ベクトルの外積を使えば <x>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay> だから、

 <EK>=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<x>#<0 cBy cBz>*Γ(b.)*b.

 <cBK>=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)-<x>#<0 Ey Ez>*Γ(b.)*b.

※ <x>#<0 cBy cBz>=<x>#<cBx cBy cBz>=<x>#<cB> と書いてもよい

逆変換

 <E>=<x>*EKx+<0 EKy EKz>*Γ(b.)-<x>#<0 cBKy cBKz>*Γ(b.)*b.

 <cB>=<x>*cBKx+<0 cBKy cBKz>*Γ(b.)+<x>#<0 EKy EKz>*Γ(b.)*b.

■ 以上、K系はx系のx軸方向に等速直線運動をするとして立式してきた。一般化して、

K系のx系に対する速度(対光速比) <b.>
<A>の、<b.>方向成分 Au <A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

 EKu=Eu <EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)

 cBKu=cBu <cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>) _

■ 逆変換 Eu=EKu <Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)

 cBu=cBKu <cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>) _

『電磁場の変換』

◆ 2つの慣性系 x系,K系 K系のx系に対する速度(対光速比) <b.>=<x>* b.

それぞれの系での電場 <Ex Ey Ez>,<EKx EKy EKz>
磁場(光速倍) <cBx cBy cBz>,<cBKx cBKy cBKz>

■ <E>=<x>*EKx+<0 EKy EKz>*Γ(b.)-<x>#<0 cBKy cBKz>*Γ(b.)*b.

 <cB>=<x>*cBKx+<0 cBKy cBKz>*Γ(b.)+<x>#<0 EKy EKz>*Γ(b.)*b.

※ 任意のベクトル <Ax Ay Az> に対して、
 <x>#<Ax Ay Az>=<x>#<0 Ay Az>=(<0 Ay Az>をx軸右回りに90°回転)

『電磁場の変換』

◆ 2つの慣性系 x系,K系 K系のx系に対する速度 <b.>=一定

任意のベクトル<A>に対して <A>の<b.>方向成分 Au
<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

電場 <E>,<EK> 磁場(光速倍) <cB>,<cBK>

■ Eu=EKu cBu=cBKu

 <EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)
 <cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>)

 <Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)
 <cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>)

※ <b.>#<Av>=<b.>#<A>

{まとまって来たなあ!2017/5}

☆電磁場の変換の変換☆

◎ 2回ローレンツ変換すると、元に戻るのか ?

◆ <E>,<B> ⇒ b.で動く系 <EK>,<BK> ⇒ -b.で動く系 <\E>,<\B>

 <\E>=<E> , <\B>=<B> となるのか ?

■ <E>,<B>と<EK>,<BK>

 <EKyz>=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)

 <cBKyz>=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)

<EK>,<BK>と<\E>,<\B>

 <\Eyz>=[<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.]*Γ(b.)

 <\cByz>=[<cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.]*Γ(b.)

ここで <EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)-<x>#[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<Eyz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<Eyz>)*Γ(b.)*b.^2

次の事に注意して、

● <x>#(<x>#<Ax Ay Az>)=<0 -Ay -Az>

 <EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=<Eyz>*Γ(b.)-<Eyz>*Γ(b.)*b.^2
=<Eyz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<Eyz>/Γ(b.) だから、

 <\Eyz>=[<Eyz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<Eyz> _

■ <cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.
=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)+<x>#[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<cByz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<cByz>)*Γ(b.)*b.^2
=<cByz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<cByz>/Γ(b.)

 <\cByz>=[<cByz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<cByz> _

≫ <E>,<B> ⇒ b.で動く系 <EK>,<BK> ⇒ -b.で動く系 <\E>,<\B>

 <\E>=<E> , <\B>=<B> _

{できた!当たり前なのだろうが、ちゃんとここを説明してくれないと、モヤモヤが残る!2017/5}

☆4次元電気力学☆

「4次元電気力学」

●スカラー積 aμ*bμ=a0*b0-<a>*<b>

 ∇μ*f=(f'/c,-<grad(f)>) ∇μ*aμ=(a0)'/c+div<a>

 □f=∇μ*∇μ*f=f''/c^2-△f ダランベール演算子

 □<A>=∇μ*∇μ*<A>=<□Ax , □Ay , □Az>

◆相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0 相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

 4元電流 jμ=(ρ*c,<j>) 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

■<E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<rot<A>>

■Maxwell方程式 □Aμ=(μ0)*jμ

■電荷の保存式 ∇μ*jμ=0

■ローレンツのゲージ ∇μ*Aμ=0

☆電磁場テンソル☆

◎電磁場テンソル=電磁テンソル=マックスウェルテンソル を導入しよう。

「相対論的電磁気」

■<E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<rot<A>>

 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,Ax,Ay,Az)

 ∇t*f=f'/c ∇x*f=-f;x ∇y*f=-f;y ∇z*f=-f;z 

◆電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇n*Aμ 

■Fμn=-Fnμ Fμμ=∇μ*Aμ-∇μ*Aμ=0 独立した成分は 6個

 Ftx=∇t*Ax-∇x*At=Ax'/c+(φ/c);x=-Ex/c Fty=-Ey Ftz=-Ez

 Fxt=Ex/c Fyt=Ey Fzt=Ez

 Fxy=∇x*Ay-∇y*Ax=-Ay;x+Ax;y=-Bz Fyz=-Bx Fzx=-By

 Fyx=Bz Fzy=Bx Fxz=By

 {Fμn}
=[0 -Ex/c -Ey/c -Ez/c |
 Ex/c 0 -Bz By |
 Ey/c Bz 0  -Bx |
 Ez/c -By Bx 0]

{演算子の定義の符号が違っていたり、c=1 にしたり、本ごとに違うと言っていいぐらい!2013/3}

☆2階4次元反対称ベクトル☆

◎2階4次元反対称ベクトルのローレンツ変換

◆任意の4元ベクトル2つ aμ bμ ローレンツ変換に従う

 任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ

■Gtx_K=at_K*bx_K-ax_K*bt_K
=Γ^2*[at-(v./c)*ax]*[bx-(v./c)*bt]-Γ^2*[ax-(v./c)*at]*[bt-(v./c)*bx]
=Γ^2*{at*bx[1-(v./c)^2]-ax*bt[1-(v./c)^2]}
=(Γ^2/Γ^2)*(at*bx-ax*bt)
=Gtx 
ローレンツ不変量{おみごと!2013/3}

■Gty_K=at_K*by_K-ay_K*bt_K
=Γ*[at-(v./c)*ax]*by-ay*Γ*[bt-(v./c)*bx]
=Γ*[(at*by-ay*bt)-(v./c)*(ax*by-ay*bx)]
=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] 

 Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz] 

■Gxy_K=ax_K*by_K-ay_K*bx_K
=Γ*[ax-(v./c)*at]*by-ay*Γ*[bx-(v./c)*bt]
=Γ*[(ax*by-ay*bx)-(v./c)*(at*by-ay*bt)]
=Γ*[Gxy-(v./c)*Gty] 

 Gyz_K=Gyz 

 Gzx_K=Γ*[Gzx-(v./c)*Gtz] 

☆電磁場の変換☆

◎電磁場の変換を、電磁場テンソルを使って、求めよう。

●任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ のローレンツ変換

 Gtx_K=Gtx Gty_K=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz]

■電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇μ*Aμ をローレンツ変換すると、

 EKx/c=-Ftx_K=-Ftx=Ex/c EKx=Ex 

 EKy/c=-Fty_K=-Γ*[Fty-(v./c)*Fxy]=+Γ*[Ey/c-(v./c)*Bz]
 EKy/c=Γ*[Ey-v.*Bz] 

 EKz/c=-Ftz_K=-Γ*[Ftz-(v./c)*Fxz]=+Γ*[Ez/c+(v./c)*By]
 EKz=+Γ*[Ez+v.*By] 

 BKz=-Fxy_K=-Γ*[Fxy-(v./c)*Fty]=+Γ*[Bz-v.*Ey/c^2]

 BKx=-Fyz_K=-Fyz=Bx

 BKy=-Fzx_K=-Γ*[Fzx-(v./c)*Ftz]=+Γ*[By+v.*Ez/c^2]

{ちゃんとローレンツ変換が求められた!2013/3}

「電磁場の変換」

※<v.>#<X>=<0 , -v.*Xz , v.*Xy>

■<E>=Γ*(<EK>-<v.>#<BK>)

 <B>=Γ*(<BK>+<v.>#<EK>/c^2)

■Ex=EKx Ey=Γ*(EKy+v.*BKz) Ez=Γ*(EKz-v.*BKy)

 Bx=BKx By=Γ*(BKy-v.*EKz/c^2) Bz=Γ*(BKz+v.*EKy/c^2)

■<EK>=Γ*(<E>+<v.>#<B>)

 <BK>=Γ*(<B>-<v.>#<E>/c^2)

■EKx=Ex EKy=Γ*(Ey-v.*Bz) EKz=Γ*(Ez+v.*By)

 BKx=Bx BKy=Γ*(By+v.*Ez/c^2) BKz=Γ*(Bz-v.*Ey/c^2)

☆お勉強しようUz☆

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