物理 電磁気

2017/5-2012/1 Yuji.W

☆ベクトルポテンシャル.直線電流☆

_ 直線電流 ベクトルポテンシャル ゆっくり等速直線運動をする電荷 ビオ・サバールの法則 _〔物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

国際単位系(SI系) クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7) 電磁場 <E>,<B> ベクトルポテンシャル <A> c*<B>=<cB> ◇ CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A> 〔 電磁気の単位 〕

◇ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)≡1/root(1-b^2) 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

{復習}直線電荷の電位

『直線電荷』

◆ 無限に続く直線電荷 電荷(線)密度 λ=電荷密度*断面積=一定

直線電荷からの距離 r 電場 E(r) 電位 φ(r) 電位の基準点:r0

■ E(r)=2*ke*λ/r φ(r)-φ(r0)=-2*ke*λ*ln(r/r0)

直線電流のベクトルポテンシャル

◆ 直線電流 I*<xu> 導線の断面積 S 電流面密度 <j>=<xu>*I/S

 jx=I/A jy=jz=0 直線と観測点の距離 r ベクトルポテンシャル <A>

円柱座標(r,a,x)

■ Ay=Az=0

■ Ax
=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V]
=2*(ke/c^2)*I*${(1/r)*dx}[x:0~∞]

直線電荷が作る電位と同じ形になるから、

 Ax=-2*(ke/c^2)*I*ln(r)

 <A>=-2*(ke/c^2)*<I>*ln(r) _直線電流が作るベクトルポテンシャル

国際単位系(SI系)で <A>=-(μ0/2Pi)*<I>*ln(r)

CGS静電単位系で <Acgs>=-(2/c)*<I>*ln(r)

{割と簡単にできた!2014/4}

※ 積分すると、積分値は発散してしまう。差だけを考えればよいから、定数は無視して、r の関数部分だけ残す。

■ ベクトルポテンシャルから磁場を求める。

 <B>=<curl<A>>

 Bx=Az;y-Ay;z=0
 By=Ax;z-Az;x=Ax;z=-2*(ke/c^2)*I*z/r^2
 Bz=Ay;x-Ax;y=-Ax;y=+2*(ke/c^2)*I*y/r^2

 <B>
=<0,-z,y>*2*(ke/c^2)*I/r^2
=<au>*2*(ke/c^2)*I/r
=2*(ke/c^2)*<I>#<ru>/r

『直線電流のベクトルポテンシャル、磁場』

◆ 直線電流 <I> 直線と観測点の距離 r 直線から観測点に向かう方向単位ベクトル <ru>

■ ベクトルポテンシャル <A>=-2*(ke/c^2)*<I>*ln(r)

国際単位系(SI系)で <A>=-(μ0/2Pi)*<I>*ln(r)
CGS静電単位系で <Acgs>=-(2/c)*<I>*ln(r)

■ <B>=2*(ke/c^2)*<I>#<ru>/r

国際単位系 B=(μ0/2Pi)*I/r CGS静電単位系 Bcgs=(2/c)*I/r

☆直線電流が作る磁場☆

「ゆっくり等速直線運動をする電荷が作る電磁場」

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) 単位 m/F=N*m^2/C^2

(ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

◆ 観測点 <r> r=root(x^2+y^2+z^2) r=root(y^2+z^2)

<ru>=<r>/r x軸と<r>に垂直な単位ベクトル <xr⊥u>

x軸と<r>とが作る角 ∠xOr sin(∠xOr)=r/r

電荷 +q (x軸上を速さ v で動く t=0 観測時刻に原点) v<<c Γ=1

■ <E>=ke*q*<ru>/r^2

 <B>
=(ke/c^2)*q*v*<0,-z,y>/r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*r/r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*sin(∠xOr)/r^2

▲ 本当は、観測時刻より過去に、電荷が存在した位置からの影響が、速さ c で進み、時間がかかって、観測点に届く。しかし、原点にあって静止している電荷の影響が、時間0で瞬間的に届いた電場と同じことになっている{不思議!おもしろい!}

<B> は、x軸と<r>に垂直な向き、すなわち、x軸を取り囲む渦のような磁場になっている。

◎ ゆっくり等速直線をする電荷が作る電磁場から、直線電流が作る磁場を求めよう。

◆ 電荷線密度 λ 電流の速さ v 直線電流 I=λ*v x軸を流れる

v<<c 電線の太さは無視できる 観測点 <0,r,0> r>0

● ${(c^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/c^2

■ 観測時刻に観測点における磁場は、直線上に並んだ電荷が、その位置から観測点に瞬間的に及ぼすものと解釈でき、その影響の和になる。

x軸上 x~x+dx にある電荷 λ*dx が作る磁場は、

磁場の向きは、電荷の位置に関係なく、<zu>

 その大きさ dB
=(ke/c^2)*λ*dx*v*r/r^3
=(ke/c^2)*I*r*(r^2+x^2)^(-3/2)*dx

 B=(ke/c^2)*2*I*r*${(r^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]

次の公式を使って、

公式  ${(r^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/r^2

 B=(ke/c^2)*2*I*r/r^2=2*(ke/c^2)*I/r

☆ビオ・サバールの法則を使って☆

[ビオ・サバールの法則 1820] ◇ (ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

 <dB>=(ke/c^2)*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 電流 I x軸上 直線電流から観測点までの距離 r

ビオ・サバールの法則 電流素片 dI が作る磁場 dB

電流素片と観測点を結ぶベクトル <r> <r>とx軸とが作る角 b

観測点から直線電流への垂線と<r>とが作る角 a a+b=Pi/2

 x/r=tan(a) r/r=cos(a)

電流素片が作る磁場 dB=(ke/c^2)*dI*sin(b)/r^2=(ke/c^2)*I*dx*cos(a)/r^2

■ dx=[r/cos(a)^2]*da cos(a)/r^2=cos(a)*cos(a)^2/r^2

 [cos(a)/r^2]*dx=[cos(a)/r]*da

 B
=2*(ke/c^2)*I*${[cos(a)/r^2]*dx}[x:0~∞]
=2*(ke/c^2)*(I/r)*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*(I/r)*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*I/r{素晴らしい!}

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