☆ベクトルポテンシャル.直線電流Uz

　物理　電磁気

2017/5-2012/1　Yuji.W

☆ベクトルポテンシャル.直線電流☆

_★ 直線電流　ベクトルポテンシャル　ゆっくり等速直線運動をする電荷　ビオ・サバールの法則 ★_〔物理定数〕

◇ ベクトル <A>　単位ベクトル <-u>　内積 *　外積 #　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 y;x　時間微分 x'　積分 ${f(x)*dx}

◇ 国際単位系(SI系)　クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)　ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)　電磁場 <E>,　ベクトルポテンシャル <A>　c*=<cB>　◇ CGS静電単位系　ke=1_無次元　<Bcgs>=c*　<Acgs>=c*<A>　〔電磁気の単位〕

◇ 速さ(対光速比) b　相対論的効果率 Γ(b)≡1/root(1-b^2)　運動量(光速倍) pc　質量(光速の2乗倍) @m　時間(光速倍) tc

{復習}直線電荷の電位

『直線電荷』

◆ 無限に続く直線電荷　電荷(線)密度 λ=電荷密度*断面積=一定

直線電荷からの距離 r　電場 E(r)　電位 φ(r)　電位の基準点:r0

■ E(r)=2*ke*λ/r　φ(r)-φ(r0)=-2*ke*λ*ln(r/r0)

☆直線電流のベクトルポテンシャル☆

◆ 直線電流 I*<xu>　導線の断面積 S　電流面密度 <j>=<xu>*I/S

jx=I/A　jy=jz=0　直線と観測点の距離 r　ベクトルポテンシャル <A>

円柱座標(r,a,x)

■ Ay=Az=0

■ Ax
=(ke/c^2)*$$${(Jx/r)*dV}[電流が流れている領域V]
=2*(ke/c^2)*I*${(1/r)*dx}[x:0~∞]

直線電荷が作る電位と同じ形になるから、

　Ax=-2*(ke/c^2)*I*ln(r)

<A>=-2*(ke/c^2)**ln(r) ★_直線電流が作るベクトルポテンシャル

国際単位系(SI系)で　<A>=-(μ0/2Pi)**ln(r)

CGS静電単位系で　<Acgs>=-(2/c)**ln(r)

{割と簡単にできた!2014/4}

※ 積分すると、積分値は発散してしまう。差だけを考えればよいから、定数は無視して、r の関数部分だけ残す。

■ ベクトルポテンシャルから磁場を求める。

=<curl<A>>

　Bx=Az;y-Ay;z=0
　By=Ax;z-Az;x=Ax;z=-2*(ke/c^2)*I*z/r^2
　Bz=Ay;x-Ax;y=-Ax;y=+2*(ke/c^2)*I*y/r^2

=<0,-z,y>*2*(ke/c^2)*I/r^2
=<au>*2*(ke/c^2)*I/r
=2*(ke/c^2)*#<ru>/r

『直線電流のベクトルポテンシャル、磁場』

◆ 直線電流 　直線と観測点の距離 r　直線から観測点に向かう方向単位ベクトル <ru>

■ ベクトルポテンシャル <A>=-2*(ke/c^2)**ln(r)

国際単位系(SI系)で　<A>=-(μ0/2Pi)**ln(r)
CGS静電単位系で　<Acgs>=-(2/c)**ln(r)

■ =2*(ke/c^2)*#<ru>/r

国際単位系 B=(μ0/2Pi)*I/r　CGS静電単位系 Bcgs=(2/c)*I/r

☆直線電流が作る磁場☆

「ゆっくり等速直線運動をする電荷が作る電磁場」

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)　単位 m/F=N*m^2/C^2

(ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

◆ 観測点 <r>　r=root(x^2+y^2+z^2)　r=root(y^2+z^2)

<ru>=<r>/r　x軸と<r>に垂直な単位ベクトル <xr⊥u>

x軸と<r>とが作る角 ∠xOr　sin(∠xOr)=r/r

電荷 +q (x軸上を速さ v で動く　t=0　観測時刻に原点)　v<<c　Γ=1

■ <E>=ke*q*<ru>/r^2

=(ke/c^2)*q*v*<0,-z,y>/r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*r/r^3
=(ke/c^2)*q*v*<xr⊥u>*sin(∠xOr)/r^2

▲ 本当は、観測時刻より過去に、電荷が存在した位置からの影響が、速さ c で進み、時間がかかって、観測点に届く。しかし、原点にあって静止している電荷の影響が、時間0で瞬間的に届いた電場と同じことになっている{不思議!おもしろい!}

は、x軸と<r>に垂直な向き、すなわち、x軸を取り囲む渦のような磁場になっている。

◎ ゆっくり等速直線をする電荷が作る電磁場から、直線電流が作る磁場を求めよう。

◆ 電荷線密度 λ　電流の速さ v　直線電流 I=λ*v　x軸を流れる

v<<c　電線の太さは無視できる　観測点 <0,r,0>　r>0

● ${(c^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/c^2

■ 観測時刻に観測点における磁場は、直線上に並んだ電荷が、その位置から観測点に瞬間的に及ぼすものと解釈でき、その影響の和になる。

x軸上 x~x+dx にある電荷 λ*dx が作る磁場は、

磁場の向きは、電荷の位置に関係なく、<zu>

　その大きさ dB
=(ke/c^2)*λ*dx*v*r/r^3
=(ke/c^2)*I*r*(r^2+x^2)^(-3/2)*dx

　B=(ke/c^2)*2*I*r*${(r^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]

次の公式を使って、

公式　 ${(r^2+x^2)^(-3/2)*dx}[x:0~∞]=1/r^2

　B=(ke/c^2)*2*I*r/r^2=2*(ke/c^2)*I/r

☆ビオ・サバールの法則を使って☆

[ビオ・サバールの法則 1820]　◇ (ke/c^2)=μ0/(4Pi)=Ten(-7)_H/m

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

<dB>=(ke/c^2)*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 電流 I x軸上　直線電流から観測点までの距離 r

ビオ・サバールの法則　電流素片 dI が作る磁場 dB

電流素片と観測点を結ぶベクトル <r>　<r>とx軸とが作る角 b

観測点から直線電流への垂線と<r>とが作る角 a　a+b=Pi/2

　x/r=tan(a)　r/r=cos(a)

電流素片が作る磁場　dB=(ke/c^2)*dI*sin(b)/r^2=(ke/c^2)*I*dx*cos(a)/r^2

■ dx=[r/cos(a)^2]*da　cos(a)/r^2=cos(a)*cos(a)^2/r^2

　[cos(a)/r^2]*dx=[cos(a)/r]*da

　B
=2*(ke/c^2)*I*${[cos(a)/r^2]*dx}[x:0~∞]
=2*(ke/c^2)*(I/r)*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*(I/r)*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2*(ke/c^2)*I/r{素晴らしい!}

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji Watanabe ☆