_★ Lenard-Wiechert Potential=リエナールポテンシャル=リエナール・ウィーヘルトポテンシャル=リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル ★_〔物理定数〕

★ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　座標単位ベクトル<xu>　内積*　外積#
　微分;x　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)

★国際単位系(SI系)　クーロン力定数 ke=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)
　真空の誘電率 ε0=1/(4Pi*ke)　真空の透磁率 μ0=4Pi*ke/c^2
　電場 <E>　磁場<B>　磁場(光速倍)<cB>　ベクトルポテンシャル<A>

★CGS静電単位系　ke=1_無次元　<Bcgs>=<cB>　<Acgs>=c*<A>

◎ まず静止している場合を考え、ポテンシャルの扱いに慣れる。

◆ x軸上に3つの電荷　それぞれの電荷+q/3　位置 -L/2 , 0 , L/2　L>0

観測点(x,0,0)　L<<|x|

■ ポテンシャル φ(x)
=(ke*q/3)*[1/(x+L/2)+1/x+L/(x-L/2)]
=(ke*q/3)*(1/x)*{1/[1+L/(2*x)]+1+1/[1-L/(2*x)}
=(ke*q/3)*(1/x)*{[1-L/(2*x)]+1+[1+L/(2*x)]}
=ke*q/x

◆ x軸上に棒状電荷　位置 -L/2~L/2　L>0　総電荷 q　電荷線密度 q/L

観測点(x,0,0)　L<<|x|

● |x|<<1 で ln(1+x)=x

■ 観測点からの距離 r　微少部分drの電荷 (q/L)*dr

　φ(x)
=ke*(q/L)*${(1/r)*dr}[r:(x-L/2)->(x+L/2)]
=ke*(q/L)*[ln(r)][r:(x-L/2)->(x+L/2)]
=ke*(q/L)*[ln(x+L/2)-ln(x-L/2)]

　ln(x+L/2)-ln(x-L/2)
=ln{x*[1+L/(2*x)]}-ln{x*[1-L/(2*x)]}
=ln(x)+ln[1+L/(2*x)]-ln(x)-ln[1-L/(2*x)]
=L/(2*x)+L/(2*x)
=L/x  だから、

　φ(x)=ke*(q/L)*L/x=ke*q/x

◆ x軸上に3つの電荷 �@�A�B　それぞれの電荷 +q/3

隣の電荷との距離 L/2

電荷は、x軸上を速さ v で動く。速さは一定でなくてよいが、3つの電荷の位置や時間のずれの範囲では、一定であるとする。

時刻 0 での電荷の位置 -L/2 , 0 , L/2　観測時刻 t　観測点 (x,0,0)

  t=x/c

時刻T3の電荷3からの影響が、時刻tに観測点に届くとすると、

  x-L/2-v*T3=c*(t-T3)　{核心!}

  (c-v)*T3=c*t-x+L/2=L/2

  T3=(L/2)/(c-v)

  そのときの電荷3と観測点の距離
=c*(t-T3)
=c*t-(L/2)/(1-v/c)]
=x-(L/2)/(1-v/c)
=x*{1-L/[2*x*(1-v/c)]}

  その逆数
=(1/x)*{1+L/[2*x*(1-v/c)]}

同様にして、電荷1の影響が、時刻tに観測点に届くときの、電荷1と観測点の距離の逆数
=(1/x)*[1-L/[2*x*(1-v/c)]

観測点でのポテンシャル

  φ(x,t)
=(ke*q/3)*(1/x)*{1+[1+L/[2*x*(1-v/c)]/x+[1-L/[2*x*(1-v/c)]/x}
=ke*q/x

◆ x軸上に棒状電荷　位置 -L/2〜L/2　L>0　総電荷 q　電荷線密度 q/L

観測点 (x,0,0)　L<<|x|　v/c=b

● |x|<<1 で ln(1+x)=x

■ 動く3つの電荷の考察より、

棒状電荷の右端(x軸の正の方向側)から観測点までの距離=x-(L/2)/(1-b)

左端(x軸の正の方向側)から観測点までの距離=x+(L/2)/(1-v/c)

ポテンシャルは、長さLの棒状電荷が動いてできるポテンシャルの 1/(1-b) 倍になる。

  φ(x)=ke*q/(x-b*x)　≪★≫

■ 動く棒状電荷が作るポテンシャルの値は、棒の長さLに依らないから、L->0 と考えることができる。すなわち、点電荷と見なすことができる。動く点電荷が作るポテンシャルは、

  φ(x)=ke*q/(x-b*x)

■ 一般に　φ(x,t)=ke*q/(r-<b>*<r>)　≪★≫　リエナールポテンシャル

ただし、右辺は、観測時刻における物理量ではなく、遅延時刻(過去)における物理量である。

〔お勉強しようUz〕　物理　電磁気　リエナールポテンシャル