物理 電磁気

2017/7 Yuji.W

☆電磁誘導☆

_ 起電力 ファラデーの法則 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7) 〔物理定数
 磁場(光速倍) <cB> 磁束 Φ ベクトルポテンシャル <A> 〔電磁気の単位
◇ CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> Φcgs=c*Φ <Acgs>=c*<A>

☆起電力☆

◆ 閉じた回路を単位電荷が一周する 単位電荷が受ける力 <F>

起電力 emf=${<F>*<ds>}[回路一周]

☆電磁誘導☆

◎ ループ導体を通る磁束が変化すると、ループに電流が流れる

ーーーーーーーー

|・・・・|⇒v

|・・・・|

ーーーーーーーー

◆ 長方形回路 長方形を垂直に貫く一様な磁場 B0 回路の右辺は速さ v で右に動く

長方形の縦の長さ L 長方形の面積の時間変化率=L*v

長方形を通る磁束 Φ=B0*(長方形の面積)

■ 右辺が静止しているとき、電荷が長方形回路を動くときに生じる力の方向は、回路の方向に垂直であるから、起電力は生じない。

右辺が右に動いていることによる力の方向は、回路の方向(右辺)だから、そのことによる起電力が生じる。 _

■ 右辺にある単位電荷が受ける力=v*B0

 emf=(v*B0)*L=L*B0*v

一方、

 長方形の面積の時間変化率=L*v Φ'=L*v*B0

 emf=Φ'

以上、大きさだけを考えた。起電力は、元々ある磁場を弱くする方向に働くから、

 emf=-Φ' _

CGS静電単位系 emf=-Φcgs'/c

{復習}curl

■ $${<curl<A>>*<dS>}[S:閉曲線の面積]=${<A>*<ds>}[s:閉曲線] ストークスの定理

{やっとわかってきた!2017/3}

☆マクスウェル方程式より☆

『マクスウェル方程式』

◆ 電荷密度 ρ 電流(面)密度 <J> 電場 <E> 磁場 <B>

■ @ div<E>=4Pi*ke*ρ A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=(4Pi*ke/c^2)*<J>+<E>'/c^2

■ 国際単位系(SI系)で @ div<E>=ρ/ε0 A <curl<E>>=-<B>'
B div<B>=0 C <curl<B>>=μ0*<J>+<E>'/c^2

■ CGS静電単位系で @ div<E>=4Pi*ρ A <curl<E>>=-<Bcgs>'/c
B div<B>=0 C <curl<Bcgs>>=(4Pi/c)*<J>+<E>'/c

■ A <curl<E>>=-<B>'

閉曲線に囲まれた面で面積分すると、

 左辺=$${<curl<E>>*<dS>}[閉曲線内]=${<E>>*<ds>}[閉曲線]=emf

 右辺=-$${<B>'*<dS>}[閉曲線内]-($${<B>*<dS>}[閉曲線内])'=-Φ'

⇒ emf=-Φ' _

CGS静電単位系 emf=-Φcgs'/c

{まとめ}電磁誘導

『電磁誘導』 2017/7

■ 閉じた回路を単位電荷が一周する 単位電荷が受ける力 <F>

 起電力 emf=${<F>*<ds>}[回路一周]

■ 閉じた回路での起電力 emf 回路内の磁束 Φ=$${<B>*<dS>}[回路内]

 emf=-Φ'  CGS静電単位系 emf=-Φcgs'/c

☆ファラデーの法則☆

◎ Maxwell方程式から、ファラデーの法則を作る

「電磁気の単位」 2015/8 [J]=[N*m]=[C*V]=[Wb*A]

■ 電荷 [C] 電流 [A]=[C/sec] 電圧 [V]=[J/C] 電場 E [N/C]

磁場(磁束(面)密度) B [(N/C)/(m/sec)]=[T]=Ten(4)*[gauss]=[Wb/m^2]

磁場の強さ H [N/Wb]=[A/m]

■ 静電容量 [F]=[C/V] 誘電率 [F/m]

真空の誘電率 ε0=Ten(7)/(4Pi*c^2)~8.85418782*Ten(-12)_F/m

 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)_N*m^2/C^2

真空の透磁率 μ0=4Pi*Ten(-7)~1.25663706*Ten(-6)_N/A^2 ε0*μ0*c^2=1

インダクタンス(電磁誘導による起電力) [H]=[V/(A/sec)] 真空で <B>=μ0*<H>

■ 起電力(emf)
=単位電荷あたりに働く力の接線成分を、電線にそって積分したもの
=単位電荷が回路を一周する時に得る仕事量

 起電力の単位 [V]=[N/C]*[m]=[J/C]

■ Maxwellの法則A <curl<E>>=-<B>' の両辺を、閉曲線内で面積分すると、

 左辺=$${<curl<E>>*<dS>}[面]=${<E>}*<ds>}[閉曲線]

 右辺=-$${<B>'*<dS>}=-{$${<B>*<dS>}'

 起電力=${<E>}*<ds>}[閉曲線]=-{$${<B>*<dS>}'

≫ 起電力[V]=-磁束の時間変化率[Wb/sec]  ファラデーの電磁誘導の法則

※ 閉曲線は、実際の回路でなくてもよく、空間上の任意の閉曲線について、ファラデーの法則は成り立つ。

※ 磁場が変化しなくても、導体を磁場中で動かせば、ローレンツ力を受け、起電力が生じる。

コイル 250巻 1/100_sec で磁束が 4*Ten(-4)_Wb -> 0

 起電力=250*[4*Ten(-4)]/(1/100)=10_V

◇渦電流◇

■【渦電流】金属板の磁束が変化し、電磁誘導により、金属内に生じる渦状の電流。

■【アルミ】磁石にはくっつかない。しかい、アルミの近くで、磁石を動かすと、そのアルミは、磁石についていこうとする。アルミ内に渦電流が生じ、磁束ができているからである。

■ アルミなどの導体でできた輪または円盤を、コイルの近くに置く。コイルに電流を流す。磁場が生じる。導体には、電流が流れる。磁場の向きは、コイルによって磁場と反対である。導体は、コイルから離れる力を受ける。

■ 超伝導体などの完全導体(抵抗0)perfect conductor の近くに、磁石を持ってくる。導体にうず電流が流れる。磁石の磁場とうず電流の磁場がちょうど相殺されるようになる。仮に、相殺されないと、抵抗0であるから、電流は無限大に大きくなってしまう。無限大にはならないので、磁場は相殺される。いったんできた渦電流は減衰せず流れ続ける。

その状況は、あたかも、磁石の磁場が、完全導体に入り込まないように見える。(マイスナー効果)

完全導体を皿のような形にすれば、磁石を空中に浮かすことができる。

■ 磁場内で、導体を動かそうとすると、うず電流が生じ、止まろうとする。

■ 交流誘導モーター 磁場が回転するようにする。導体もそれにつられて回る。

■ 遮蔽(しゃへい)電極形誘導モーター 電磁石の近くにアルミ円板を置く。2つの間の一部にアルミ板を置くと、渦電流が生じ、その部分だけ、アルミ円板に届く磁場の変化が少しずつ遅れる。アルミ円板が回る。

☆長方形回路☆

◎ 一様な磁場 長方形回路の面積を増やす

◆ 一様な磁場 B0 磁場に垂直な平面上に長方形回路 

長方形の1辺(長さ L)を横に引っ張り、長方形の面積を増やす 動かす速さ v

動かすのに必要な力 F 長方形内の磁束 Φ 流れる電流 I

■ 長方形の面積が増える割合 L*v Φ'=B0*L*v 回路に起電力が生じる

 その起電力 emf=Φ'=B0*L*v その電流が消費する仕事率 I*emf=I*B0*L*v @

一方 F=I*B0*L 一辺を引っ張るのに必要な仕事率=F*v=I*B0*L*v A

 @=A

☆長方形回路-2-☆

◎ 長方形回路を、磁場のない所から、磁場のある所へ動かす

◆ 長方形回路(xy平面にある 縦 a 横 b) 抵抗 R

磁場 z軸方向に一様な磁場 B0 ただし、x>0 のみあるとする

長方形の右辺は、時刻 0 で、x=0 その後回路全体が右に速さ v で動く

回路は、磁場に侵入していく 時刻 t 0<t<b/v を考える

■ 時刻 t での、回路内の総磁場量 B0*a*v*t 起電力 B0*a*v

 電流 B0*a*v/R

■ 長方形回路にかかる力 F

上辺と下辺にかかる力はつり合う 右辺にかかる力だけを求めて、

 F=(B0*a*v/R)*B0*a=B0^2*a^2*v/R @

 仕事=F*b=B0^2*a^2*b*v/R

■ 電力量=(B0*a*v/R)^2*R*(b/v)=B0^2*a^2*b*v/R A  @=A

{素晴らしい!2014/5}

☆円回路☆

◎ 磁場中の円回路の半径を変えると、起電力が生じる

◆ 円回路 半径 r 垂直に一様な磁場B

■ ファラデーの法則 emf=(Pi*r^2*B)'=2Pi*B*r*r' @

■ 単位電荷が受けるローレンツ力=B*r'

長さ 2Pi*r で emf=(B*r')*2Pi*r=2Pi*B*r*r' A  @=A

☆円電流を磁場の変化から作る☆

◎ 円回路の磁場の大きさを変えると、電流が流れる

◆ 円回路 半径 R その中を垂直に通る磁場 B

電線の線密度抵抗 Ω 全抵抗=2Pi*r*Ω 流れる電流 I

以下、大きさのみを考える。

■ emf=B'*(4Pi*R^2)

オームの法則より B'*(4Pi*R^2)=I*(2Pi*R*Ω)

 B'=I*Ω/(2*R)

★ I=1〔A〕 Ω=1〔Ω〕 R=0.1〔m〕

 B'=5〔J/C〕=〔T/sec〕

0.2_T の磁石を、 0.04〔sec〕で振り切ればよい

☆一様ではない磁場☆

◆ xy平面に正方形回路(1辺 L 抵抗 R) 磁場 <B>=<zu>*C/x^2

正方形回路は x軸方向に、速さ v で等速で動く

正方形の一番後が、時刻 0 で原点にある 以下 t>0 を考える

■ x=v*t x1=v*t x2=v*t+L

正方形回路の磁束 ψ(t)=L*C*${(1/x^2)*dx}[x:x1~x2]

 ψ(t)'
=L*C*[${(1/x^2)*dx}];x*x'[x:(v*t)~(v*t+L)]
=L*C*v*[1/x^2][x:x1~x2]
=L*C*v*(1/x2^2-1/x1^2)
=-L*C*v*[1/(v*t)^2-1/(v*t+L)^2

t=2*L/v のとき ψ(t)'
=-L*C*v*[1/(2*L)^2-1/(3*L)^2]
=-5*C*v/(36*L)

 起電力=5*C*v/(36*L)

{別解} 左辺へのローレンツ力(単位電荷当たり)=-<yu>*v*C/(v*t)^2

 右辺へのローレンツ力(単位電荷当たり)=-<yu>*v*C/(v*t+L)^2

 起電力
=ローレンツ力の差*長さ
=v*C*L*[1/(v*t)^2-1/(v*t+L)^2]

t=2*L/v のとき 起電力=v*C*L*[1/(2*L)^2-1/(3*L)^2]=5*C*v/(36*L)

ファラデーの法則

☆回転するコイル☆

◆ 一様な磁場 <B>=<z>*B0

円環コイル 巻き数 n 半径 R 円の中心は原点にある 円は、時刻 0 でxy平面上にある x軸を回転軸として回転する その角速度 w

円環コイルを通る磁束 Φ

■ Φ=n*B0*Pi*R^2*cos(w*t)

 emf=-Φ'=+n*B0*Pi*R^2*w*sin(w*t)

 emf_max=n*B0*Pi*R^2*w _


□バークレー物理学コース.電磁気.p364問題7.1 {2017/7/25}

 n=4000 R=12_cm w=2Pi*30_/sec B0=5*Ten(-5)_T ‖

 [emf]_max=4000*[5*Ten(-5)]*Pi*0.12^2*(2Pi*30)=1.7_V _

 1.7_V=1.7/300_静電ボルト=0.0057_静電ボルト

【別解】B0cgs=0.5_G

 [emf.cgs]_max
=n*B0*Pi*R^2*w/c
=4000*0.5*Pi*12^2*(2Pi*30)/[3*Ten(10)]
=0.0057_静電ボルト

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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