物理 電磁気 2021.1-2018.5 Yuji
Watanabe
◎ ガウスの法則は、円柱面でも成り立つのか？
◇ 積 * 商 / 微分 ; 偏微分 : 積分 $ 2021.1.19
10^x=Ten(x) ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au>,<Au) 内積 * 外積 #
◇ \3=2.99792458 {定義値}光速
c=\3*Ten(8)_m/sec 2021.1.16
相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b=b/root(1-b^2)
\e=1.6021766208 素電荷 qe=\e*Ten(-19)_C
クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2 ε0*μ0*c^2=1
〓〓〓 ガウスの法則 〓〓〓
◤ ベクトル場 <V>=<ru>/r^2 面積要素ベクトル <dS>
$${<V>*<dS>}[原点を含む任意の閉曲面]=4*Pi ★ ガウスの法則
原点を中心とする球面で、証明するのは簡単。
原点を中心とする円柱面でも成り立つのだろうか？
〓〓〓 ガウスの法則の検証.円柱で 〓〓〓
▢ ベクトル場 <V>=<ru>/r^2
円柱[中心は原点にある 底面の半径 R 高さ 2*L 底面はxy平面と平行]
面積要素ベクトル <dS>
Φ1=$${<V>*<dS>}[上の底面] Φ2=$${<V>*<dS>}[側面]
2*Φ1+Φ2=4*Pi になるのか？
円柱座標 (h,a,z _C) <Ah Aa Az _C> 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
■【 上の底面で 】
底面上の h~h+dh の円環を考える。 (円環の面積)=2*Pi*h*dh
V(h)=1/(h^2+L^2)
(V(h)の z成分)=[1/(h^2+L^2)]*L/root(h^2+L^2)=L/(h^2+L^2)^(3/2)
Φ1=2*Pi*L*${h*dh/(h^2+L^2)^(3/2)}[h:0~R]
● ${x*dx/(x^2+A^2)^(3/2)}=-1/root(x^2+A^2)+(積分定数) ●
${h*dh/(h^2+L^2)^(3/2)}[h:0~R]=1/L-1/root(R^2+L^2)
Φ1=2*Pi*L*[1/L-1/root(R^2+L^2)]=2*Pi*[1-L/root(R^2+L^2)] ★
■【 側面で 】
側面上の z~z+dz の円環を考える。 (円環の面積)=2*Pi*R*dz
V(h)=1/(z^2+R^2)
(V(h)の h成分)=[1/(z^2+R^2)]*R/root(z^2+R^2)=R/(z^2+R^2)^(3/2)
現象は、xy平面対称である事に注意して、
Φ2=2*2*Pi*R^2*${dz/(z^2+R^2)^(3/2)}[z:0~L]
● ${dx/(x^2+A^2)^(3/2)}=x/[A^2*root(x^2+A^2)]+(積分定数) ●
${dz/(z^2+R^2)^(3/2)}[z:0~L]=L/[R^2*root(R^2+L^2)]
Φ2
={2*2*Pi*R^2}*{L/[R^2*root(L^2+R^2)]}=4*Pi*L/root(R^2+L^2) ★
■【 合計 】
底面で Φ1=2*Pi*[1-L/root(R^2+L^2)]
側面で Φ2=4*Pi*L/root(R^2+L^2)
円柱で 2*Φ1+Φ2=4*Pi*[1-L/root(R^2+L^2)]+4*Pi*L/root(R^2+L^2)=4*Pi ★
{やったあ、できた!2021.1}
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