☆お勉強しよう.Uz☆ 物理 電磁気

2016/12-2012/1 Yuji.W

☆等電位平面を作る☆

. 等電位である平面を作りたい

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1 ◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

◇等電位面◇

等電位面 電位が一定である面 次のような性質がある

@ 等電位面上の任意の点で (電場の方向) ⊥ (等電位面)

A 電荷を等電位面上にある任意の軌道上を移動させるのに必要な仕事=0

{性質がわかっていると、等電位面を考えるときに便利!2016/12}

■【 1つの電荷の等電位面 】

1つの電荷を囲む球面が、等電位面になる。等電位面は無数にある。

◇等電位面-平面◇

. 等電位である平面を作りたい

◎ 電荷の大きさが等しく、正負が逆の2つの電荷の間に、等電位平面ができる

◆ 2つの電荷 位置 @ (h,0,0) A (-h,0,0)〔 h:正の定数 〕 電荷 @ +q A -q〔 q:正の定数 〕

系はx軸対称

y軸上正の位置で 電荷@が作る電場 <E1(y)> 電位 φ1(y) 電荷Aが作る電場 <E2(y)> 電位 φ2(y) 両方の和 <E(y)> φ(y) 電位の基準点:無限遠

■ 電荷@が作る電場

 <E1(y)>
=ke*[q/(y^2+h^2)]*(-<xu>*h+<yu>*y)/root(y^2+h^2)
=ke*q*(-<xu>*h+<yu>*y)/(y^2+h^2)^(3/2)

 φ1(y)=ke*[q/root(y^2+h^2)

電荷Aが作る電場

 <E2(y)>=ke*q*(-<xu>*h-<yu>*y)/(y^2+h^2)^(3/2)

 φ2(y)=-ke*[q/root(y^2+h^2)

両方の和

 <E>=-2*ke*q*<xu>*h/(y^2+h^2)^(3/2) y軸に垂直

 φ(y)=0

y軸が等電位になる。系はx軸対称だから、yz平面が等電位面になる。 .

▲ yz平面上で (電場の方向) ⊥ (yz平面)

 yz平面上であれば、電荷をエネルギー0で自由に移動できる。

◇2つの電荷が作る電気力線◇

◆ z軸上に2つの電荷 正点電荷 q 位置 z=h 負点電荷 -q 位置 z=-h

z軸対称 円柱座標(r,a,z) 電場z軸成分 Ez それ以外の成分なし

■ Ez=-2*ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

 全電束=4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

 d(r^2)=2*dr*dr

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+h^2)
=-1/root(r^2+h^2)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~∞]
=1/h

 全電束=4Pi*ke*q*h*(1/h)=4Pi*ke*q .

※ 正点電荷のごく近くの全電束=負点電荷のごく近くの全電束=4Pi*ke*q

■ 電束が全電束の半分になる半径 R

 4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=4Pi*ke*q/2

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=1/(2*h)

 ${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~R^2]
=1/h-1/root(R^2+h^2)

 1/h-1/root(R^2+h^2)=1/(2*h)

 root(R^2+h^2)=2*h

 R^2+h^2=4*h^2

 R=root3*h

▲ 正点電荷からxy平面に平行に出た電気力線は、xy平面では、z軸から半径 root3*h の円を描く。 .

{1日ぼんやり考えていたら、解決方法を思いついた!2016/11}

{復習}複数の点電荷による力

『複数の点電荷による力』 2016/12

◆ 正方形の頂点に点電荷 1辺 L 電荷の大きさ q 隣り合う電荷の正負を逆にする 1つの電荷が他の3つの電荷から受ける力の大きさ F

■ F=(ke*q^2/L^2)*(-root2+1/2)~-0.914*(ke*q^2/L^2) 正方形の中心に向かう

◆ 立方体の頂点に点電荷 1辺 L 電荷の大きさ q 隣り合う電荷の正負を逆にする

1つの電荷が他の7つの電荷から受ける力の大きさ F

■ F=(ke*q^2/L^2)*(-root3+root6/2-1/3)~-0.841*(ke*q^2/L^2) 立方体の中心に向かう ※ (-root3+root6/2-1/3)/4=-0.210

◇等電位面-直角に交わる2平面◇

. 直角に交わる2平面が等電位面になるようにしたい

◎ 3つの電荷を配置すればできそうだが、できない。4つの電荷が必要である。

◆ 4つの電荷

位置 @ (h,h,0) A (-h,h,0) B (h,-h,0) C(-h,-h,0) 〔 h:正の定数 〕

電荷 @ +q A -q B -q C +q

xz平面とyz平面が等電位になる。

それぞれの電荷がxz平面上の点 (x,0,z)に作る電位 φ1(x,z) , φ2(x,z) , φ3(x,z) , φ4(x,z) 和 φ(x,z) 基準点:無限遠

■ φ1(x)=ke*q/root[(x-h)^2+z^2+h^2]

 φ2(x)=-ke*q/root[(x+h)^2+z^2+h^2]

 φ3(x)=-ke*q/root[(x-h)^2+z^2+h^2]

 φ4(x)=ke*q/root[(x+h)^2+z^2+h^2]

 φ1(x)+φ3(x)=0 & φ2(x)+φ4(x)=0 となっているから、

 φ(x)=0

xz平面が等電位になる。同様にyz平面でも等電位面になる。 .

■ 1つの電荷が他の3つの電荷から受ける力 F
=[ke*q^2/(2*h)^2]*(-root2+1/2)
=(ke*q^2/h^2)*(-root2+1/2)/4
~-0.2285*(ke*q^2/L^2) 
.

■ 4つの電荷

位置 @ (a,b,0) A (-a,b,0) B (a,-b,0) C(-a,-b,0) 〔 h:正の定数 〕

電荷 @ +q A -q B -q C +q

xz平面とyz平面が等電位になる。

◇等電位面-直角に交わる3平面◇

. 直角に交わる3平面が等電位面になるようにしたい

◆ 8つの電荷 立方体の頂点に電荷を配置する 1つの頂点の位置 (h,h,h)〔 h:正の定数 〕 電荷の大きさは同じ 隣り合う位置にある頂点には、正負が異なる電荷 立方体の1辺 2*h

■ xy平面、yz平面、xz平面が等電位平面になる。

 1つの電荷が他の7つの電荷から受ける力 F
=[ke*q^2/(2*h)^2]*(-root3+root6/2-1/3)
=(ke*q^2/h^2)*(-root3+root6/2-1/3)/4
~-0.210*(ke*q^2/h^2) 立方体の中心に向かう

{まとめ}等電位面-平面

『等電位平面』 2016/12

■ 大きさが同じで正負の異なる2つの電荷。2つの電荷を結ぶ線分の垂直二等分面が等電位面になる。

■ 長方形の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる2平面が等電位面になる。

■ 直方体の各頂点に電荷。電荷の大きさは同じ、隣り合う電荷の正負は逆。

直角に交わる3平面が等電位面になる。

.  等電位平面  .

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