物理 電磁気

2017/7-2016/8 Yuji.W

☆静電エネルギー☆

_ 時間的変化のない電場 静電エネルギーは電場にあるとする考え方 _〔物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 磁場(光速倍) <cB> 磁束 Φ ベクトルポテンシャル <A>
◇ CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> Φcgs=c*Φ <Acgs>=c*<A>
 国際単位系 B=1_T ⇔ CGS静電単位系 Bcgs=Ten(4)_G 〔電磁気の単位

◇複数の点電荷による静電エネルギー◇

■【 静電エネルギー 】

複数の点電荷による静電エネルギー U

 U(A~B)=(複数の電荷を、配置 A から、配置 B に移動するのに必要なエネルギー)

基準点を無限遠にして、次にようにすることが多い

 U(A)=(複数の電荷を、無限遠から、配置 A に移動するのに必要なエネルギー)

◇球殻電荷の静電エネルギー

◎ 球殻電荷の静電エネルギー

◆ 薄い球殻電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 内部は中空 総電荷 Q=4Pi*R^2*σ

球殻に、電荷がない状態から、無限遠から電荷を移動させ、総電荷 Q にするのに必要な静電エネルギー U

■【 目安 】

電荷半分ずつを、距離 R に持ってくるのにかかるエネルギー U

 U=ke*(Q/2)*(Q/2)/R=(1/4)*ke*Q^2/R .{目安は大事!後は、係数がちょっと違うだけ!2016/9}

■ 球対称であるから、球殻上の電荷がすべて中心にあるとして計算できる。

球殻の総電荷が q のとき 無限遠から 微少電荷 dq を持ってくるのに必要なエネルギー dU

 dU=ke*q*dq/R

 U=(ke/R)*${q*dq}[q:0~Q]=(ke/R)*[q^2/2][q:0~Q]=(1/2)*ke*Q^2/R .

電荷面密度 σ で表せば、

 U=8*Pi^2*ke*R*σ^2

◇球電荷の静電エネルギー

◎ 一様な電荷密度の球の静電エネルギー

◆ 球 半径 R 一様な電荷密度 ρ 全電荷 Q=ρ*4Pi*R^3/3

静電エネルギー(無限遠から電荷を集めて、球電荷を作るのに必要なエネルギー) U

● 球の内部で E=(4/3)*Pi*ke*ρ*r

外部で E=(4/3)*Pi*ke*ρ*R^3/r^2

■【 目安 】

電荷半分ずつを、距離 R に持ってくるのにかかるエネルギー U

 U=ke*(Q/2)*(Q/2)/R=(1/4)*ke*Q^2/R .{目安は大事!後は、係数がちょっと違うだけ!2016/9}

■【 静電エネルギー 】

半径 r の球を考える。〔r<R〕電荷 q(r)=Q*(r/R)^3 を持っている。

そこに、厚さ dr の球殻を付け加える。球殻は ρ*4Pi*r^2*dr の電荷を持っている。無限遠から、半径 r の距離まで持ってくる。

以上、球対称の事象であるから、計算は簡単になる。

 dU=ke*(球の電荷)*(球殻の電荷)/r=ke*[Q*(r/R)^3]*(ρ*4Pi*r^2*dr)/r

ρ の代わりに Q を使って表せば、

 dU
=ke*Q*(r/R)^3*[3*Q/(4Pi*R^3)]*4Pi*r^2*dr/r
=3*ke*(Q^2/R^6)*r^4*dr

 U=${dU}[r:0~R]=3*ke*(Q^2/R^6)*[r^5/5][r:0~R]=(3/5)*ke*Q^2/R

≫ U=(3/5)*ke*Q^2/R .一様な電荷分布の球の静電エネルギー

ρ を使って表せば U=(16/15)*Pi^2*ke*ρ^2*R^5

◇電場による静電エネルギー

◎ 静電エネルギーは電場にあるとして

● 3つの電荷 任意の2つの電荷 qi , qj その距離 rij〔 i,j=1,2,3 〕

 静電エネルギー U=(1/2)*ke*ΣΣ{q1*qj/rij}[i=1,2,3][j=1,2,3]

◆ 電荷密度 ρ その電荷分布になるために必要な静電エネルギー U

電場 <E> 電位 φ

■ U=(1/2)*ke*$$$$$${[ρ(1)*ρ(2)/r12]*dV1*dV2}

ここで ke*$$${[ρ(2)/r12]*dV2}=φ(1) 位置1の電位

 U=(1/2)*$$${[ρ(1)*φ(1)]*dV1}=(1/2)*$$${ρ*φ*dV} .

■ div<E>=4Pi*ke*ρ だから、

 U=[1/(8Pi*ke)]*$$${div<E>*φ*dV}

div(f*<A>)=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

 div<E>*φ
=div(φ*<E>)-<grad(φ)>*<E>
=div(φ*<E>)+<E>*<E>
=div(φ*<E>)+E^2

 $$${div<E>*φ*dV}=$$${div(φ<E>)*dV}+$$${E^2*dV}

ここで $$${div(φ*<E>)*dV}[領域]=$${φ*<E>*dS}[閉曲面]

十分に広い空間で 右辺 ∝ $${(1/r)*(1/r^2)}dS ∝ $${(1/r^3}dS ∝ 1/r ->0

 ${div<E>*φ*dV}=$$${E^2*dV}

まとめて U=[1/(8Pi*ke)]*$$${E^2*dV} .

国際単位系で U=(ε0/2)*$$${E^2*dV}

CGS静電単位系で U=[1/(8Pi)]*$$${E^2*dV}

◇球電荷の静電エネルギー

◎ 静電エネルギーは電場にあるとして

◆ 球 半径 R 一様な電荷密度 ρ 全電荷 Q=ρ*4Pi*R^3/3

電場 球の内部で E=ke*(Q/R^3)*r 外部で E=ke*Q/r^2

静電エネルギー U=(3/5)*ke*Q^2/R @

■【 球の内部の電場による静電エネルギー 】

 E^2=ke^2*(Q^2/R^6)*r^2

 $$${E^2*dV}
=${ke^2*(Q^2/R^6)*r^2*(4Pi*r^2)*dr}[r:0~R]
=4Pi*ke^2*(Q^2/R^6)*${r^4*dr}[r:0~R]
=4Pi*ke^2*(Q^2/R^6)*R^5/5
=(4/5)*Pi*ke^2*Q^2/R

 U(内部)=[1/(8Pi*ke)]*(4/5)*Pi*ke^2*Q^2/R=(1/10)*ke*Q^2/R

■【 球の外部の電場による静電エネルギー 】

 E^2=ke^2*Q^2/r^4

 $$${E^2*dV}
=${ke^2*Q^2*(1/r^4)*(4Pi*r^2)*dr}[r:R~∞]
=4Pi*ke^2*Q^2*${(1/r^2)*dr}[r:R~∞]

ここで ${(1/r^2)*dr}[r:R~∞]=[-1/r][r:R~∞]=-1/∞+1/R=1/R 発散しない{!}

 $$${E^2*dV}=4Pi*ke^2*Q^2/R

 U(外部)=[1/(8Pi*ke)]*4Pi*ke^2*Q^2/R=(1/2)*ke*Q^2/R

■【 全静電エネルギー 】

 U=U(球の内部)+U(球の外部)=(1/10+1/2)*ke*Q^2/R=(3/5)*ke*Q^2/R . A

 @=A {すばらしい!2016/9}

◇球殻電荷の静電エネルギー分布

◎ 静電エネルギーは電場にあるとして

◆ 薄い球殻電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 内部は中空 総電荷 Q=4Pi*R^2*σ静電エネルギー U=(1/2)*(ke/R)*Q^2

電場に静電エネルギーがあるとして計算する。

球の内部の電場は 0 球の内部の静電エネルギー=0

球の外部の電場 E=ke*Q/r^2 球の外部の半径rの同心球までの静電エネルギー U(R~r)

■【 球の外部の静電エネルギー 】

 E^2=ke^2*Q^2/r^4

 $$${E^2*dV}
=${ke^2*(Q^2/r^4)*(4Pi*r^2)*dr}[r:R~r]
=4Pi*ke^2*Q^2*${(1/r^2)*dr}[r:R~r]

ここで ${(1/r^2)*dr}[r:R~r]=[-1/r][r:R~r]=-1/r+1/R

 $$${E^2*dV}=4Pi*ke^2*Q^2*(-1/r+1/R)

 U(R~r)
=[1/(8Pi*ke)]*4Pi*ke^2*Q^2*(-1/r+1/R)
=(1/2)*ke*Q^2*(-1/r+1/R)

≫ U(R~r)=(1/2)*ke*Q^2*(-1/r+1/R)

 U(R~∞)=(1/2)*ke*Q^2*(-1/∞+1/R)=(1/2)*ke*Q^2/R

 U(R~r)/U(R~∞)=(-1/r+1/R)/(1/R)=1-R/r

≫ U(R~r)/U(R~∞)=1-R/r .

If{ r/R=2 } U(R~r)/U(R~∞)=1-1/2=1/2

If{ r/R=10 } U(R~r)/U(R~∞)=1-1/10=9/10

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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