☆お勉強しようUz☆ 物理.電磁気

2016/8 Yuji.W

☆点電荷系の静電エネルギー☆

◎ 複数の静止している電荷による静電エネルギー

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇複数の点電荷による静電エネルギー◇

■【 静電エネルギー 】

複数の点電荷による静電エネルギー U

 U(A~B)=(複数の電荷を、配置 A から、配置 B に移動するのに必要なエネルギー)

基準点を無限遠にして、次にようにすることが多い

 U(A)=(複数の電荷を、無限遠から、配置 A に移動するのに必要なエネルギー)

■【 3つの電荷 】

それぞれの電荷間の距離 r12,r23,r31 3つの電荷が作る静電エネルギー U

基準点を無限遠にして、

 U=ke*(q1*q2/r12+q2*q3/r23+q3*q1/r31) .

直線イオン結晶の静電エネルギー

◆ -q +q -q 直線上に等間隔 d 系全体の静電エネルギー U

■ 引力(距離 d)が2本 斥力(距離 2*d)が1本

 U=(ke*q^2/d)(-2/1+1/2)=-1.5*ke*q^2/d .

▲ 直線上に並べる条件さえ満たす事ができれば、安定な配置になる


◆ … +q -q +q -q +q … 直線上に等間隔 d に交互に +q,-q の電荷

1個の +q に関係する分の静電エネルギー U ※ そもそも静電エネルギーは、系全体によるものであって、電荷ごとに分配できるものではない

■ 注目している+qの電荷の片側の電荷を考えると、順に、

 引力(距離 d) 斥力(距離 2*d) 引力(距離 3*d) 斥力(距離 4*d) … だから、

 U=-(ke*q^2/d)*2*(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…)

ここで 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6~1-0.5+0.33-0.25+0.2-0.17=0.61

 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…=ln(2)~0.69315

 U~-1.39*ke*q^2/d .

イオン結晶の静電エネルギー

◆ 立方体の各頂点に -e の電荷 計8個 立方体の中心に +2*e の電荷 立方体の1辺の長さ d 静電エネルギー U

■ 9個の電荷から2つを選ぶ組合せ C(9,2)=9*8/2=36

引力は1種類 距離 root3*d/2 8本

斥力は3種類 @距離 d 12本 A距離 root2*d 12本 B距離 root3*d 4本

 U=(ke*e^2/d)*[-8*2/(root3/2)+12/1+12/root2+4/root3]

 [~]
=-32*root3/3+12+6*root2+4*root3/3
=12+6*root2-28*root3/3
~12+6*1.41-28*1.73/3
=12+8.46-16.15
=4.31

 U=(ke*e^2/d)*4.31

◇食塩の結晶の静電エネルギー

■ 食塩 Na+ と Cl- のイオン結合

固体では電気を通さない
融点 800.4℃ 融けると電気を通す 沸点 1413℃ 蒸発熱

イオン半径 Na+ 1.16*Ten(-10)_m Cl- 1.67*Ten(-10)_m
結晶の1辺の長さ d=2.81*Ten(-10)_m

 解離エネルギー(固体から、イオンの気体へ)
=7.92_eV
=1.27*Ten(-18)_J
=7.64*Ten(5)_J/mol
=183_kcal/mol

◆ Na+とCl-が、交互に、立方体の各頂点を埋めるように並んでいる。

立方体の1辺の距離 d あるひとつの Na+ が持つ静電エネルギー U

■ Na+に近い順に、そのイオンの正負、距離(単位長さ d)、個数

@- 1 6個 A+ root2 12個 B- root3 8個 C+ 2 6個 D- root5 24個 …

 U=-(ke*e^2/d)*(6-12/root2+8/root3-6/2+24/root5-…) _

 6-12/root2+8/root3-6/2+24/root5-…=1.747 (マーデルング定数)

 U=-1.747*ke*q^2/d=-1.747*5.12eV~-8.94_eV

▲ 結晶エネルギーの大部分は、静電エネルギーであることがわかる。原子そのものがつぶれていることによる斥力が働くので、より少ないエネルギーで、解離することができる。また、原子の振動エネルギーも、解離エネルギーに使われる。

{食塩をバラバラにするのに必要なエネルギーが、物理を使って説明できるとは、不思議!こんなことを考えた人Madelungさん、すごいなあ!2012/2}

◇平面電荷の静電エネルギー

上図において 赤色 +1 の電荷24個 青色 -1 の電荷24個 全体として電荷 0

電荷間の最小の距離 1

中心に(緑色)に +1 の電荷を無限遠から持ってくるのに必要な静電エネルギー U

■ 中心からの距離で分類すると、9種類になる。

@

A

B

C

D

E

F

G

H

電荷

-

+

+

-

+

-

+

-

+

電荷の個数

4

4

4

8

4

4

8

8

4

中心からの距離

1

root2

2

root5

root8

3

root(10)

root(13)

root(18)

 U=ke*4
*[-1/1+1/root2
+1/2-2/root5+1/root8
-1/3+2/root(10)-2/root(13)+1/root(18)]
~-1.414571

負の電荷の方が中心に近いことが多いので、全体の静電エネルギーはマイナスになる。無限遠にある正の電荷は、中心に引き寄せられる。

{おもしろい問題だな!2016/8}

◇正八面体◇

. 正八面体、またはそれを少し変形させたものの頂点に電荷

◎ 形をつぶすと、静電エネルギーはどうなるか

◆ 次の6点に電荷 q (a,0,0),(-a,0,0),(0,b,0),(0,-b,0),(0,0,b),(0,0,-b) 〔 a,b:正の定数 〕 系全体の静電エネルギー U

■ 電荷6個 2個の電荷を結ぶ線分は15本 距離 本数で表すと、

 2*a 1本 root(a^2+b^2) 8本 root2*b 4本 2*b 2本

 U
=ke*q^2*[1/(2*a)+8/root(a^2+b^2)+4/(root2*b)+2/(2*b)]
=ke*(q^2/2)*[1/a+16/root(a^2+b^2)+(4*root2+2)/b] 
.

★ 正八面体 a=b=1 体積=(4/3)*a*b^2=4/3

 U/[ke*(q^2/2)]=1/1+16/root2+(4*root2+2)=3+12*root2~19.968

★ a=2 b=1/root2=root2/2 体積=(4/3)*a*b^2=(4/3)*2*(1/2)=4/3

 U/[ke*(q^2/2)]
=1/2+16*root2/3+(4*root2+2)*root2
=17/2+(22/3)*root2
~18.869

▲ 電荷一定、体積一定のとき、形をつぶした方が、静電エネルギーが小さくなる

{予想と違った!2016/12}

原子核

■ 陽子 n個 同士が、クーロン力に抗して、距離 r にくっつくのに必要なエネルギーU

ヘリウム原子核の直径3*Ten(-15)m ヘリウム原子核:電荷2

 E(He)=9*Ten(9)*qe^2/qe/[3*Ten(-15)]
=9*Ten(9)*1.6*Ten(-19)/Ten(-14)=1.4*Ten(5)=0.5_MeV

ウラン原子核:電荷92
(ウランの半径)/(ヘリウムの半径)=(92/2)^(1/3)~3.6

 E(U)=(46^2/3.6)*E(He)=300_MeV

電子

◎ 静電エネルギーより、電子1個の大きさを見積もる

■ 一様な電荷密度を持つ球の静電エネルギー U=(3/5)*ke*Q^2/R

電荷が表面に広がる球の静電エネルギー U=(1/2)*ke*Q^2/R

どちらでも U~(1/2)*ke*Q^2/R

■ 電子 質量 9.109*Ten(-31)_Kg 電荷 1.602*Ten(-19)_C 電子の半径 R

電子の質量は、すべて静電エネルギーに由来するものと仮定すると、

 9.109*Ten(-31)*c^2=(1/2)*[c^2*Ten(-7)]*[1.602*Ten(-19)]^2/R

 R
=(1/2)*Ten(-7)*1.602^2*Ten(-38)/9.109*Ten(-31)
=(1/2)*[1.602^2/9.109]*Ten(-14)
~1.4*Ten(-15)_m 
.

※ 古典電子半径 2.8*Ten(-15)_m

ウランの核分裂のエネルギー

◎ 1個のウランが核分裂するときに発生するエネルギー 200_MeV は、どこから来てるのか?

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7) ke*e^2~2.31*Ten(-28)_J*m~1.44*Ten(-9)_eV

◆ ウランの核分裂反応 U(235)+中性子->Y(95)+I(139)+2*中性子+200_MeV @

U

Y

I

電荷

92

39

53

半径_Ten(-15)*m

7

5

6

■ Y と I が、距離 Ten(-14)_m 離れてあるときの、電気エネルギー U

 U=1.44*Ten(-9)*39*53/Ten(-14)~300_MeV A

■ 原子核が持つ、電気エネルギー U 電荷は原子核内で一様に分布しているとして、

 U=(3/5)*ke*q^2/R

ウラン U(U)=(3/5)*ke*92^2/[7*Ten(-15)]
イットリウム U(Y)=(3/5)*ke*39^2/[5*Ten(-15)]
ヨウ素 U(I)=(3/5)*ke*53^2/[6*Ten(-15)]

 ΔU
=U(U)-U(Y)-U(I)
=(3/5)*Ten(15)*ke*e^2*(92^2/7-39^2/5-53^2/6)
~(3/5)*Ten(15)*ke*e^2*(1209-304-468)
~(3/5)*Ten(15)*[1.44*Ten(-9)]*437
~378_MeV B

@ABより、核分裂で放出されるエネルギーは、静電エネルギーが大きく寄与していることがわかる _

▲ 次のように教わった。「核分裂で放出されるエネルギーは、質量欠損があって、質量が直接エネルギーになるから莫大な量になるのだ。」核分裂だけ、何か特別な事が起きていると思っていた。そうではない。核分裂で放出されるエネルギーは、静電エネルギーが大きく寄与している。その値がが大きいから、質量欠損が観測されるということなんだ。そもそも、どんな反応でも、エネルギーが開放されれば、質量欠損は生じるのだ。その量が小さいから、普通はそれを問題にしないだけだ。 _{!2014/4}

  点電荷系の静電エネルギー  

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