☆ 原点にない点電荷が作る電場

uzお勉強しよう 数学 電磁気 電磁気の単位

〇 点電荷 原点にない 電場 円柱座標 球座標 2023.6-2018.4 Yuji.W  

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 #  000 

〓 原点にない点電荷が作る電場(円柱座標) 〓 

▢ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>

z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 電荷と観測点との距離 s

 電場 <E>=<hu>*Eh+<z>*Ez |<E>|=E

▷ s=root[h^2+(Z-z)^2]

 E=ke*q/s^2 Eh=E*h/s=ke*q*h/s^3 Ez=-E*(Z-z)/s=-ke*q*(Z-z)/s^3

 <E>=ke*q*[<hu>*h-<z>*(Z-z)]/s^3  

▷ xy平面上で z=0 s=root(h^2+Z^2) <E>=ke*q*(<hu>*h-<z>*Z)/s^3

〓 原点にない点電荷が作る電場(球座標) 〓 

▢ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>

球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z

電場 <E> |<E>|=E

▷ h=r*sin(a) z=r*cos(a)

 <hu>=<ru>*sin(a)+<a>*cos(a) <z>=<ru>*cos(a)-<a>*sin(a)

▷ s^2=[r*sin(a)]^2+[Z-r*cos(a)]^2=r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)

 s=root[r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)] 余弦定理

 E=ke*q/s^2

 <E>/(ke*q)
=<hu>*h/s^3-<z>*(Z-z)/s^3
=[<ru>*sin(a)+<a>*cos(a)]*h/s^3-[<ru>*cos(a)-<a>*sin(a)]*(Z-z)/s^3
=<ru>*[h*sin(a)-(Z-z)*cos(a)]/s^3+<a>*[h*cos(a)+(Z-z)*sin(a)]/s^3

ここで h*sin(a)-(Z-z)*cos(a)
=r*sin(a)*sin(a)-Z*cos(a)+r*cos(a)*cos(a)
=r-Z*cos(a)

また h*cos(a)+(Z-z)*sin(a)
=r*sin(a)*cos(a)+Z*sin(a)-r*cos(a)*sin(a)
=Z*sin(a) だから、

 <E>=ke*q*{-<ru>*[Z*cos(a)-r]+<a>*Z*sin(a)}/s^3  

 ▲ s=root[r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)]

〓 {計算例}点電荷が作る電場(球座標) 〓 

▷ 点電荷が原点にあるとき Z=0 s=r <E>=<ru>*ke*q*/r^2 {当然!}

▷ 観測点が球面上にあるとき 球[半径 R 中心:原点]

 s=root[Z^2+R^2-2*Z*R*cos(a)]

 <E>=ke*q*{-<ru>*[Z*cos(a)-R]+<a>*Z*sin(a)}/s^3  

▷ 観測点が球面上 球[半径 R 中心:原点] Z=2*R のとき

 s=R*root[5-4*cos(a)]

 <E>
=ke*(q/R^2)*{-<ru>*[2*cos(a)-1]+<a>*2*sin(a)}/[5-4*cos(a)]^(3/2)
  

〓 点電荷が球面上に作る電場 〓 

▢ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z

球[半径 R 中心:原点] その球面上に観測点

▷ s=root[Z^2+R^2-2*Z*R*cos(a)]

 <E>=ke*q*{-<ru>*[Z*cos(a)-R]+<a>*Z*sin(a)}/s^3

〓 {別解}点電荷が作る電場(球座標) 〓 

▢ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 位置 (Z,0,0)_球座標

観測点 (r,a,b)_球座標 電荷と観測点の距離 s(r,a) 電位 φ(r,a) 電場 <E(r,a)>

〔 0<r<Z 〕

● <grad(f)>=<ru>*(f;r)+<a>*(f;a)/r+<b>*(f;b)/[r*sin(a)]

▷ a=0 のとき s=Z-r <E>=-<ru>*ke*q/s^2

cos(a)=r/Z のとき s=root(Z^2-r^2) <E>=<a>*ke*q/s

a=Pi/2 のとき s=root(Z^2+r^2) <E>=ke*q*(<ru>*r+<a>*Z)/s^3

a=Pi のとき s=Z+R <E>=<ru>*ke*q/s^2

▷ s(r,a)=root[r^2+Z^2-2*Z*r*cos(a)] φ(r,a)=ke*q/s(r,a)  

▷ s;r=(1/2)*[2*r-2*Z*cos(a)]/s=[r-Z*cos(a)]/s

 (1/s);r=-(s;r)/s^2=-[r-Z*cos(a)]/s^3

また s;a=(1/2)*2*Z*r*sin(a)/s=Z*r*sin(a)/s

 (1/s);a=-(s;a)/s^2=-Z*r*sin(a)/s^3

 <E>
=-<grad(φ)>
=-<ru>*(φ;r)-<a>*(φ;a)/r
=ke*q*{<ru>*[r-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3

 <E>=ke*q*{-<ru>*[Z*cos(a)-r]+<a>*Z*sin(a)}/s^3  

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