物理 電磁気 2018/4 Yuji.W
☆ 電位の平均値定理 ☆
◎ 球 電位 電位の平均値 ★_
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) 〔
物理定数
〕
磁場 <B> 磁場(光速倍)
<cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔
電磁気単位 〕
〓 点電荷による球面上の電位の平均.平均値定理 〓 .
◆ 球座標(r,a,b)
点電荷 電荷 q 位置 (0,0,z)
球 半径 r 中心:原点 その球面上の観測点の電位 φ(a) 点電荷と観測点との距離 s
0<r<z 点電荷は球の外部 ※ 球は導体とかではなく、ただの位置を示している
球面上の電位の平均値 @φ 原点での電位 φ0=ke*q/z
■ s=root[z^2+r^2-2*z*r*cos(a)] φ(a)=ke*q/s
@φ=ke*q/z=φ0
球の外部に電荷があるとき、球の表面上の電位の平均は、球の中心の電位に等しい。
〓 電場のガウスの法則 〓 .
◆ 静電場 電荷密度 ρ(x,y,z) 電場 <E(x,y,z)>
■ $${<E>*<dS>}[閉曲面]=4Pi*ke*$$${ρ*dV}[領域]
〓 球面上の電位の平均 〓 .
◆ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
半径 r の球 中心:原点 球の内部に電荷はない 外部にはある(どういう分布でもよい)
※ 球に物理的実体はない。仮想的な球である。
電位 φ(r,a,b) 球面上の電位の平均 @φ 球の中心での電位 φ0
電場 <E(r,a,b)>=<ru>*Er+<a>*Ea+<b>*Eb
■ 4Pi*r^2*@φ=$${φ*r^2*sin(a)*da*db}[球面]
@φ=[1/(4Pi)]*$${φ*sin(a)*da*db}[球面] ★_①
電場のガウスの法則を考えている球に適応する。球内に電荷はないから、
$${<E>*<dS>}[球面]=4Pi*ke*$$${ρ*dV}[球内]=0 ②
考えている球面上で、
<dS>=<ru>*(r*da)*[r*sin(a)*db]=<ru>*r^2*sin(a)*da*db
<E>*<dS>=Er*r^2*sin(a)*da*db
$${<E>*<dS>}[球面]=r^2*$${Er*sin(a)*da*db}[球面] ③
②③より r^2*$${Er*sin(a)*da*db}[球面]=0
$${Er*sin(a)*da*db}[球面]=0 ★_
ここで Er=-φ;r だから、
$${(φ;r)*sin(a)*da*db}[球面]=0
微分と積分の順序は入れ替えることができるから、
($${φ*sin(a)*da*db}[球面]);r=0 ④
①④より (@φ);r=0 ★_
電荷を含まない球面内で、@φ は r に依らない値。※ 電位 φ 自体は、r,a,b の関数である。その平均値(球面上の)は、 r に依らないという意味。
@φ=φ0 ★_
{難しかった!これで正解だと思う!2018/4}