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☆ 電位.ポアソン方程式 ☆ |
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〇 静電場 電位 電荷密度 一般解 |
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【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # ★ |
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【電磁気】(1.6|=1.6021766208 素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C 【CGS静電単位系】ke=1 1_C=(1.6|*Ten(9)_esu |
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〓 ラプラシアン 〓 ◇ 微分 ; 偏微分 : ラプラシアン △ 〇 デカルト座標(x,y,z) 任意のスカラー関数 f(x,y,z) △f=div<grad(f)]>=f::x+f::y+f::z 〇 円柱座標 (h,a,z _C) 任意のスカラー関数 f(h,a,z _C) △f(h,a,z _C)=div<grad(f)]>={[h*(f:h)]:h}/h+(f::a)/h^2+f::z 〇 球座標 (r,a,b _S) 任意のスカラー関数 f(r,a,b _S) △f(r,a,b _S) |
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〓 ポアソン方程式.一般解 〓 22.5 ▢ 関数 u(x,y,z) , f(x,y,z) ポアソン方程式 △u(x,y,z)=-f(x,y,z) 観測点 (x,y,z) 関数 f(x,y,z) の要素の位置 (X,Y,Z) 2点間の距離 r 体積要素 dV ▷ 解 u(x,y,z)=[1/(4Pi)]*$$${f(X,Y,Z)*dV/r [f(X,Y,Z) がある領域]} |
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〓 電位.ポアソン方程式 〓 ▢ 静電場 電荷密度 ρ(x,y,z) 静電場 <E(x,y,z)> 電位 φ(x,y,z) クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)_N*m^2/C^2 CGS静電単位系 ke=1_無次元 ▷ 電磁気方程式(Maxwell方程式)より div<E(x,y,z)>=4*Pi*ke*ρ(x,y,z) ① 電場と電位 <E(x,y,z)>=-<grad[φ(x,y,z)]> より、 ラプラシアン △ を使って div<E(x,y,z)>=-div<grad[φ(x,y,z)]>=-△φ(x,y,z) ② ①②より △φ(x,y,z)=-4*Pi*ke*ρ(x,y,z) ★ 国際単位系で △φ(x,y,z)=-ρ(x,y,z)/ε0 CGS静電単位系で △φ(x,y,z)=-4*Pi*ρ(x,y,z) ▷ 観測点 (x,y,z) 電荷密度の要素の位置 (X,Y,Z) 2点間の距離 r 体積要素 dV 解 φ(x,y,z)=ke*$$${ρ(X,Y,Z)*dV/r [電荷がある領域]} |
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〓 電位.ポアソン方程式 〓 ▢ 静電場 電荷密度 ρ(x,y,z) 電位 φ(x,y,z) 観測点 (x,y,z) 電荷密度の要素の位置 (X,Y,Z) 2点間の距離 r 体積要素 dV ▷ △φ(x,y,z)=-4*Pi*ke*ρ(x,y,z) 国際単位系で △φ(x,y,z)=-ρ(x,y,z)/ε0 CGS静電単位系で △φ(x,y,z)=-4*Pi*ρ(x,y,z) ▷ 解 φ(x,y,z)=ke*$$${ρ(X,Y,Z)*dV/r [電荷がある領域]} |
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〓 {計算例}ポアソン方程式を使って電位を求める 〓 ▢ デカルト座標(x,y,z) 正の定数 X 0<x<X , -∞<y<∞ , -∞<y<∞ において一様な電荷 電荷密度 ρ=定数 0<x における電位 φ(x) ▷ 0<x<X において、 △φ(x)=-4*Pi*ke*ρ=定数 φ::=-4*Pi*ke*ρ 積分定数 A,B として φ=-2*Pi*ke*ρ*x^2+A*x+B ★ X<x において、 △φ(x)=0 φ::=0 積分定数 C,D として φ=C*x+D ★ ♡ 簡単な場合を考えるのは、とても大事{!} |
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