お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

☆電位☆

_ 電位 _

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A> 〔
物理定数
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

電位

◆ 静電場 電荷密度 ρ それが作る電場

Maxwell's equations @ div<E>=4Pi*ke*ρ A <curl<E>>=-<B>'=0

<curl<E>>=0 いたる所 ⇒ 電場の任意の閉曲線の循環が0 ⇒ <E> は場所の関数 ⇒ 次のように、電位 φ を定義することができる

 <E>=-<grad(φ)>=-<φ;x φ;y φ;z> φ(r)=-${<E>*<ds>}[s:a~b]

■ <E>=-<grad(φ)> div をとると、

ガウスの法則を使って 左辺=div<E>=4Pi*ke*ρ

 右辺=-div<grad(φ)>=-△φ

 △φ=-4Pi*ke*ρ _電荷密度と電位の関係

■ 点電荷 Q 観測点までの距離 r 電位 φ=ke*Q/r

■ 2つの電荷 Q1,Q2 それぞれの観測点までの距離 r1,r2 電位 φ

 φ=ke*(Q1/r1+Q2/r2)

■ 連続する電荷密度 ρ(X,Y,Z) 観測点 (x,y,z) 電位 φ(x,y,z)

 電荷と観測点の距離 r=root[(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2]

 体積要素 dV=dX*dY*dZ

 φ(x,y,z)=ke*$$${[ρ(X,Y,Z)/r]*dV}[全空間] _

{例}電位

◎ デルタ関数を利用する ※ 積分定数を省略する

◆ 無限に広がる一様な平面電荷 xy平面 電荷面密度 σ=一定 z>0 のみ考える

■ ρ=δ(z)*σ <E>=<zu>*2Pi*ke*σ φ=-2Pi*ke*σ*z

◆ z軸に無限に続く直線電荷 電荷(線)密度 λ r.=root(x^2+y^2)

■ ρ=δ2(r.)*λ <E>=<r.u>*2*ke*λ/r. φ(r.)=-2*ke*λ*ln(r.)

◆ 原点に点電荷 Q

■ ρ=Q*δ3(<r>) <E>=<ru>*ke*Q/r^2 φ=ke*Q/r

{まとめ}電位と電荷密度

■ 平面電荷 ρ=δ(z)*σ φ=ke*σ*$$${[δ(Z)*/r]*dV}[全空間]=-2Pi*ke*σ*z

 $$${[δ(Z)*/r]*dV}[全空間]=-2Pi*z〔 z>0 〕

■ 直線電荷 r.=root(x^2+y^2) ρ=δ2(r.)*λ

 φ(r.)=ke*λ*$$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ke*λ*ln(r.)

 $$${[δ2(r.)/r]*dV}[全空間]=-2*ln(r.)

■ 点電荷 ρ=Q*δ3(<r>)

 φ=ke*Q*$$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=ke*Q/r

 $$${[δ3(<r>)/r]*dV}[全空間]=1/r

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