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◎ 電位から電場、電荷密度を求める 球対称電位 円柱対称電位 無限平面の電位 |
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ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔 物理定数- ★. 〕 |
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◆ xy平面に電荷 φ=φ0*exp(-k*z)*cos(k*x) ■【 電場 】 <E>=-<grad(φ)>=k*φ0*exp(-k*z)*[<xu>*sin(k*x)+<zu>*cos(k*x)] ■【 電荷密度 】 div<E> ρ=div<E>/(4Pi*ke)=0 ■【 表面での電荷面密度 】 z=0 <E>=k*φ0*[<xu>*sin(k*x)+<zu>*cos(k*x)] 面電荷密度 σ の電場 <E>=<zu>*2Pi*ke*σ それに近似すると、 2Pi*ke*σ=k*φ0*cos(k*x) σ=[k/(2Pi*ke)]*φ0*cos(k*x) ★. |
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■ 球座標(r,a,b)において スカラー f(r,a,b) <grad(f)> ■ 球座標(r,a,b)において 球対称スカラー f(r) <grad(f)>=<ru>*(f;r) ■ 球座標(r,a,b)において ベクトル <A(r,a,b)>=<ru>*Ar(r,a,b)+<au>*Aa(r,a,b)+<bu>*Ab(r,a,b) div<A> ■ 球座標(r,a,b)において 球対称ベクトル <A>=<ru>*Ar(r) div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2 |
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◎ 球対称電位から、電場、電荷密度を求める ◆ 球対称電荷密度 ρ(r) 電場 <E(r)> 電位 r<R で φ(r)=ke*(Q/R^3)*[3*R^2-r^2]/2 r>R で φ(r)=ke*Q/r ※ Q は未知の定数(後に、全電荷であることがわかる) ■【 電場 】 r<R で φ;r=-ke*(Q/R^3)*r <E>=-<grad(φ)>=-<ru>*(φ;r)=<ru>*ke*(Q/R^3)*r r>R で φ;r=-ke*Q/r^2 <E>=-<grad(φ)>=-<ru>*(φ;r)=<ru>*ke*Q/r^2 ■【 電荷密度 】 r<R で {[r^2*ke*(Q/R^3)*r];r}/r^2 div<E>=3*ke*(Q/R^3)=定数 ρ=div<E>/(4Pi*ke)=Q/[(4/3)*Pi*R^3)]=一定 ★. ※ Q=(4/3)*Pi*R^3*ρ=半径Rの球の全電荷 r>R で [r^2*(ke*Q/r^2)];r=0 div<E>=0 ρ=0 ★. {納得できた!2016/10} |
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■ 円柱座標(r.,a,z)において スカラー f(r.,a,z) <gradf(r.,a,z)>=<r.u>*(f;r.)+<au>*(1/r.)*(f;a)+<zu>*(f;z) ■ 円柱座標(r.,a,z)において 円柱対称スカラー f(r.) <gradf(r.)>=<r.u>*(f;r.) ■ 円柱座標(r.,a,z)において ベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.+(Aa;a)/r.+Az;z ■ 円柱座標(r.,a,z)において 円柱対称ベクトル <A>=<r.u>*Ar. div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r. |
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◆ 円柱座標(r.,a,z) 円柱対称電荷密度 ρ(r.) 電位 r<R で φ(r.)=-Pi*k*ke*r.^2 r>R で φ(r.)=-Pi*k*ke*R^2*[1+2*ln(r./R)]〔 k:正の定数 〕 ■【 電場 】 r<R で <E>=-<grad(φ)>=<ru>*Pi*k*ke*(r.^2);r.=<ru>*2*Pi*k*ke*r. r>R で [1+2*ln(r./R)];r.=2*Pi/(R*r.) <E>=-<grad(φ)>=<ru>*Pi*k*ke*R^2*2/(R*r.)=<ru>*2*Pi*k*ke*R/r. ■【 電荷密度 】 r<R で div<E> ρ=div<E>/(4Pi*ke)=4*Pi*k*ke/(4Pi*ke)=k=一定 ※ 比例定数 k は電荷密度を表していた r>R で div<E>=[r.*(2*Pi*k*ke*R/r.)];r./r.=0 ρ=0 |
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◆ xy平面に平行に -H/2<z<H/2 で、無限に広がる電荷 電荷密度 ρ 厚み H 電荷面密度 σ=H*ρ 電位の基準点 z=0 0<z<H/2 で 電位 φ(z)=-2Pi*ke*k*z^2 z>H/2 で 電位 φ(z)=-2Pi*ke*k*H*(z-H/4) ■【 電場 】 0<z<H/2 で <E>=-<grad(φ)>=<zu>*4Pi*ke*k*z z>H/2 で <E>=-<grad(φ)>=<zu>*2Pi*ke*k*H ■【 電荷密度 】 0<z<H/2 で div<E>=4Pi*ke*k ρ=div<E>/(4Pi*ke)=k=一定 ※ k=ρ=σ/H である事がわかる z>H/2 で div<E>=0 ρ=0 ▲ z>H/2 で <E>=<zu>*2Pi*ke*σ |
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★ 電位から電荷密度を求める ★ |