お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/10 Yuji.W

☆電位から電荷密度を求める☆

◎ 電位から電場、電荷密度を求める 球対称電位 円柱対称電位 無限平面の電位

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔 物理定数. 〕
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇無限に広がる平面電荷◇

◆ xy平面に電荷 φ=φ0*exp(-k*z)*cos(k*x)

■【 電場 】

 <E>=-<grad(φ)>=k*φ0*exp(-k*z)*[<xu>*sin(k*x)+<zu>*cos(k*x)]

■【 電荷密度 】

 div<E>
=k*φ0*{[exp(-k*z)*sin(k*x)];x+[exp(-k*z)*cos(k*x)];z}
=k*φ0*[k*exp(-k*z)*cos(k*x)-k*exp(-k*z)*cos(k*x)]
=0

 ρ=div<E>/(4Pi*ke)=0

■【 表面での電荷面密度 】

z=0 <E>=k*φ0*[<xu>*sin(k*x)+<zu>*cos(k*x)]

面電荷密度 σ の電場 <E>=<zu>*2Pi*ke*σ それに近似すると、

 2Pi*ke*σ=k*φ0*cos(k*x)

 σ=[k/(2Pi*ke)]*φ0*cos(k*x) .

◇球座標(r,a,b)での grad div◇

■ 球座標(r,a,b)において スカラー f(r,a,b)

 <grad(f)>
=<ru>*(f;r)+<au>*(1/r)*(f;a)+<bu>*{1/[r*sin(a)]}*(f;b)

■ 球座標(r,a,b)において 球対称スカラー f(r)

 <grad(f)>=<ru>*(f;r)

■ 球座標(r,a,b)において

 ベクトル <A(r,a,b)>=<ru>*Ar(r,a,b)+<au>*Aa(r,a,b)+<bu>*Ab(r,a,b)

 div<A>
={(r^2*Ar);r}/r^2+{[sin(a)*Aa];a}/[r*sin(a)]+(Ab;b)/[r*sin(a)]

■ 球座標(r,a,b)において 球対称ベクトル <A>=<ru>*Ar(r)

 div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2

◇球対称電位◇

◎ 球対称電位から、電場、電荷密度を求める

◆ 球対称電荷密度 ρ(r) 電場 <E(r)>

電位 r<R で φ(r)=ke*(Q/R^3)*[3*R^2-r^2]/2

r>R で φ(r)=ke*Q/r

※ Q は未知の定数(後に、全電荷であることがわかる)

■【 電場 】

r<R で φ;r=-ke*(Q/R^3)*r

 <E>=-<grad(φ)>=-<ru>*(φ;r)=<ru>*ke*(Q/R^3)*r

r>R で φ;r=-ke*Q/r^2

 <E>=-<grad(φ)>=-<ru>*(φ;r)=<ru>*ke*Q/r^2

■【 電荷密度 】

r<R で {[r^2*ke*(Q/R^3)*r];r}/r^2
=ke*(Q/R^3)*3*r^2/r^2
=3*ke*(Q/R^3)

 div<E>=3*ke*(Q/R^3)=定数

 ρ=div<E>/(4Pi*ke)=Q/[(4/3)*Pi*R^3)]=一定 

※ Q=(4/3)*Pi*R^3*ρ=半径Rの球の全電荷

r>R で [r^2*(ke*Q/r^2)];r=0

 div<E>=0 ρ=0 

{納得できた!2016/10}

◇円柱座標(r.,a,z)での grad div◇

■ 円柱座標(r.,a,z)において スカラー f(r.,a,z)

 <gradf(r.,a,z)>=<r.u>*(f;r.)+<au>*(1/r.)*(f;a)+<zu>*(f;z)

■ 円柱座標(r.,a,z)において 円柱対称スカラー f(r.)

 <gradf(r.)>=<r.u>*(f;r.)

■ 円柱座標(r.,a,z)において ベクトル <A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<zu>*Az

 div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.+(Aa;a)/r.+Az;z

■ 円柱座標(r.,a,z)において 円柱対称ベクトル <A>=<r.u>*Ar.

 div<A>=[(r.*Ar.);r.]/r.

◇円柱対称電位◇

◆ 円柱座標(r.,a,z) 円柱対称電荷密度 ρ(r.)

電位 r<R で φ(r.)=-Pi*k*ke*r.^2

r>R で φ(r.)=-Pi*k*ke*R^2*[1+2*ln(r./R)]〔 k:正の定数 〕

■【 電場 】

r<R で <E>=-<grad(φ)>=<ru>*Pi*k*ke*(r.^2);r.=<ru>*2*Pi*k*ke*r.

r>R で [1+2*ln(r./R)];r.=2*Pi/(R*r.)

 <E>=-<grad(φ)>=<ru>*Pi*k*ke*R^2*2/(R*r.)=<ru>*2*Pi*k*ke*R/r.

■【 電荷密度 】

r<R で div<E>
=[r.*(2*Pi*k*ke*r.)];r./r.
=(2*Pi*k*ke*r.^2);r./r.
=(4*Pi*k*ke*r.)/r.
=4*Pi*k*ke

 ρ=div<E>/(4Pi*ke)=4*Pi*k*ke/(4Pi*ke)=k=一定

※ 比例定数 k は電荷密度を表していた

r>R で div<E>=[r.*(2*Pi*k*ke*R/r.)];r./r.=0 ρ=0

◇無限に広がる平面電荷◇

◆ xy平面に平行に -H/2<z<H/2 で、無限に広がる電荷 電荷密度 ρ 厚み H 電荷面密度 σ=H*ρ

電位の基準点 z=0

0<z<H/2 で 電位 φ(z)=-2Pi*ke*k*z^2

z>H/2 で 電位 φ(z)=-2Pi*ke*k*H*(z-H/4)

■【 電場 】

0<z<H/2 で <E>=-<grad(φ)>=<zu>*4Pi*ke*k*z

z>H/2 で <E>=-<grad(φ)>=<zu>*2Pi*ke*k*H

■【 電荷密度 】

0<z<H/2 で div<E>=4Pi*ke*k

 ρ=div<E>/(4Pi*ke)=k=一定 ※ k=ρ=σ/H である事がわかる

z>H/2 で div<E>=0 ρ=0

▲ z>H/2 で <E>=<zu>*2Pi*ke*σ

  電位から電荷密度を求める  

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