物理 電磁気 2018/7-2016/9 Yuji.W
☆ 三角形電荷 ☆
◎ 電位 三角形 直角三角形 正三角形 ★_
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C 座標単位ベクトル
<hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu> 〔
180720
〕
\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
\e=1.6021766208 素電荷
qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=Ten(-7)=μ0/(4Pi)
CGS静電単位系 ke=1 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>
I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 〔 180720
〕
〓 有限な平面電荷の電位の次元解析 〓
◆ 有限な平面電荷 電荷面密度 σ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Ｑ
■【 次元解析 】
Q=σ*面積 [Q]=[σ]*[長さ^2]
[φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ^2]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ]
≫ [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] ★.平面電荷の電位
〓 相似な図形の電位 〓
◆ 2つの相似な平面電荷 A,B 電荷面密度 σ=一定 相似比 a:b (面積比 a^2:b^2)
ある特定の位置の電位 φA,φB
■ 次元解析より [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] であるから、
φA:φB=a:b ★.
〓 直角三角形電荷の電位 〓
◆ xy平面 次の3点を結ぶ直角三角形[原点-(L,0)-(L,H)]〔 L,H:正の定数 〕
電荷面密度 σ=一定 全電荷 Q=(1/2)*L*H*σ 原点における電位 φ
■ 微少長方形 x~x+dx , y~y+dy を考える
原点の電位=ke*σ*dx*dy/root(x^2+y^2)
φ=ke*σ*$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H]
|
$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H] x を固定して 0<y<(H/L)*x 初めに y で積分すると、 ${dy/root(x^2+y^2)}[y:0~(H/L)*x] $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H] |
φ/(ke*σ*L)=ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]} ★.直角三角形の電位(底辺の端)
※ H/L は直角三角形の形を決める因子
■【 直角二等辺三角形の斜辺の端の電位 】
L=H φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881 ★.直角二等辺三角形の斜辺の端の電位〔 等辺=L 〕
〓 直角二等辺三角形の電位 〓
■【 直角二等辺三角形の斜辺の端の電位 】
等辺=L φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881 ★.
■【 直角二等辺三角形の直角の頂点の電位 】
直角二等辺三角形を２つくっつけて、大きい直角二等辺三角形を作る
斜辺=2*L 等辺=root2*L
電位の重ね合わせの原理を使って、
φ=2*[ke*σ*L*ln(1+root2)]=2*ln(1+root2)*ke*σ*L
等辺=L の場合は 1/root2 倍 になるから、
φ=root2*ln(1+root2)*ke*σ*L
≫ φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246 ★.〔 等辺=L 〕
■【 直角二等辺三角形の斜辺の中点の電位 】
直角二等辺三角形を２つくっつけて、大きい直角二等辺三角形を作る
斜辺=2*L 等辺=root2*L
大きい直角二等辺三角形の斜辺の中点の電位は、電位の重ね合わせの原理を使って、
φ
=2*(直角の頂点の電位)
=2*[root2*ln(1+root2)*ke*σ*L]=2*root2*ln(1+root2)*ke*σ*L
等辺=L の場合は 1/root2 倍 になるから、
φ=2*ln(1+root2)*ke*σ*L
≫ φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762 ★.〔 等辺=L 〕
{おもしろいなあ!2016/9}
〓 直角三角形(30°,60°,90°)の電位 〓
● φ=ke*σ*L*ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]}
◆ 直角三角形ABC ∠A=30° ∠B=60° ∠C=90° AB=2 BC=1 CA=root3
電荷面密度 σ=一定 電位 φ 基準点:無限遠
■【 30°の所の電位 】
φ/(ke*σ)
=root3*ln[1/root3+root(1+1/3)]
=root3*ln[root3/3+2*root3/3]
=root3*ln(root3)
=root3*ln(3)/2
~0.951
■【 60°の所の電位 】
φ/(ke*σ)
=1*ln[root3+root(1+3)]
=ln(root3+2)
~ln(3.732)
~1.317
〓 正三角形の電位 〓
◆ 直角三角形ABC ∠A=30° ∠B=60° ∠C=90° AB=2 BC=1 CA=root3
電荷面密度 σ=一定
■【 正三角形の頂点の電位 】
直角三角形ABCを2つくっつけて、正三角形を作る 一辺=2
電位の重ね合わせの原理より
(正三角形の頂点の電位)
=2*(30°の所の電位)
=2*ke*σ*root3*(1/2)*ln(3)
=ke*σ*root3*ln(3)
(一辺 1 の正三角形の頂点の電位)=ke*σ*root3*ln(3)/2~0.951*ke*σ ★.
■【 正三角形の重心の電位 】
直角三角形ABCを6つくっつけて、正三角形を作る 一辺=2*root3
電位の重ね合わせの原理より
(正三角形の重心の電位)
=6*(60°の所の電位)
=6*ke*σ*ln(root3+2)
=ke*σ*6*ln(root3+2)
(一辺
1 の正三角形の重心の電位)
=ke*σ*6*ln(root3+2)/(2*root3)
=ke*σ*root3*ln(root3+2)
≫ (一辺 1 の正三角形の重心の電位)=ke*σ*root3*ln(root3+2)~2.281*ke*σ ★.
〓 三角形電荷の電位 〓
◆ 三角形 電荷面密度 σ=一定 電位 φ 基準点:無限遠
クーロン定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系 ke=1
■【 直角三角形 直角を挟む辺 L,H 】
Lの直角でない方の端 φ/(ke*σ*L)=ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]}
■【 直角二等辺三角形 等辺=L 】
斜辺の端 φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881
直角の頂点 φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246
斜辺の中点 φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762
■【 30°、60°、90° 2,1,root3 】
30°の所 φ/(ke*σ)=root3*ln(3)/2~0.951
60°の所 φ/(ke*σ)=ln(root3+2)~1.317
■【 正三角形 1辺=L 】
頂点 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(3)/2~0.951
重心 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(root3+2)~2.281
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆