お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/9 Yuji.W

☆三角形電荷☆

◎ 電位 三角形 直角三角形 正三角形

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇有限な平面電荷の電位の次元解析◇

◆ 有限な平面電荷 電荷面密度 σ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Q

■【 次元解析 】

 Q=σ*面積 [Q]=[σ]*[長さ^2]

 [φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ^2]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ]

≫ [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] .平面電荷の電位

◇相似な図形の電位◇

◆ 2つの相似な平面電荷 A,B 電荷面密度 σ=一定 相似比 a:b (面積比 a^2:b^2)

ある特定の位置の電位 φA,φB

■ 次元解析より [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] であるから、

 φA:φB=a:b .

◇直角三角形電荷の電位◇

◆ xy平面 次の3点を結ぶ直角三角形[原点-(L,0)-(L,H)]〔 L,H:正の定数 〕

電荷面密度 σ=一定 全電荷 Q=(1/2)*L*H*σ 原点における電位 φ

■ 微少長方形 x~x+dx , y~y+dy を考える

 原点の電位=ke*σ*dx*dy/root(x^2+y^2)

 φ=ke*σ*$${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H]

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H]

x を固定して 0<y<(H/L)*x

初めに y で積分すると、

 ${dy/root(x^2+y^2)}[y:0~(H/L)*x]
=ln[(H/L)*x+root(x^2+x^2*H^2/L^2)]-ln(x)
=ln[(H/L)+root(1+H^2/L^2)] 定数になった{!}

 $${dx*dy/root(x^2+y^2)}[x:0~L][y:0~H]
=ln[(H/L)+root(1+H^2/L^2)]*${1*dx}[x:0~L]
=L*ln[(H/L)+root(1+H^2/L^2)]

 φ/(ke*σ*L)=ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]} .直角三角形の電位(底辺の端)

※ H/L は直角三角形の形を決める因子

■【 直角二等辺三角形の斜辺の端の電位 】

L=H φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881 .直角二等辺三角形の斜辺の端の電位〔  等辺=L 〕

◇直角二等辺三角形の電位◇

■【 直角二等辺三角形の斜辺の端の電位 】

等辺=L φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881 .

■【 直角二等辺三角形の直角の頂点の電位 】

直角二等辺三角形を2つくっつけて、大きい直角二等辺三角形を作る

 斜辺=2*L 等辺=root2*L

電位の重ね合わせの原理を使って、

 φ=2*[ke*σ*L*ln(1+root2)]=2*ln(1+root2)*ke*σ*L

等辺=L の場合は 1/root2 倍 になるから、

 φ=root2*ln(1+root2)*ke*σ*L

≫ φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246 .〔 等辺=L 〕

■【 直角二等辺三角形の斜辺の中点の電位 】

直角二等辺三角形を2つくっつけて、大きい直角二等辺三角形を作る

 斜辺=2*L 等辺=root2*L

大きい直角二等辺三角形の斜辺の中点の電位は、電位の重ね合わせの原理を使って、

 φ
=2*(直角の頂点の電位)
=2*[root2*ln(1+root2)*ke*σ*L]=2*root2*ln(1+root2)*ke*σ*L

等辺=L の場合は 1/root2 倍 になるから、

 φ=2*ln(1+root2)*ke*σ*L

≫ φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762 .〔 等辺=L 〕

{おもしろいなあ!2016/9}

◇直角三角形(30°,60°,90°)の電位◇

● φ=ke*σ*L*ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]}

◆ 直角三角形ABC ∠A=30° ∠B=60° ∠C=90° AB=2 BC=1 CA=root3

電荷面密度 σ=一定 電位 φ 基準点:無限遠

■【 30°の所の電位 】

 φ/(ke*σ)
=root3*ln[1/root3+root(1+1/3)]
=root3*ln[root3/3+2*root3/3]
=root3*ln(root3)
=root3*ln(3)/2
~0.951

■【 60°の所の電位 】

 φ/(ke*σ)
=1*ln[root3+root(1+3)]
=ln(root3+2)
~ln(3.732)
~1.317

◇正三角形の電位◇

◆ 直角三角形ABC ∠A=30° ∠B=60° ∠C=90° AB=2 BC=1 CA=root3

電荷面密度 σ=一定

■【 正三角形の頂点の電位 】

直角三角形ABCを2つくっつけて、正三角形を作る 一辺=2

電位の重ね合わせの原理より

 (正三角形の頂点の電位)
=2*(30°の所の電位)
=2*ke*σ*root3*(1/2)*ln(3)
=ke*σ*root3*ln(3)

 (一辺 1 の正三角形の頂点の電位)=ke*σ*root3*ln(3)/2~0.951*ke*σ .

■【 正三角形の重心の電位 】

直角三角形ABCを6つくっつけて、正三角形を作る 一辺=2*root3

電位の重ね合わせの原理より

 (正三角形の重心の電位)
=6*(60°の所の電位)
=6*ke*σ*ln(root3+2)
=ke*σ*6*ln(root3+2)

 (一辺 1 の正三角形の重心の電位)
=ke*σ*6*ln(root3+2)/(2*root3)
=ke*σ*root3*ln(root3+2)

≫ (一辺 1 の正三角形の重心の電位)=ke*σ*root3*ln(root3+2)~2.281*ke*σ .

{まとめ}三角形電荷の電位

『三角形の電位』 2016/9

◆ 三角形 電荷面密度 σ=一定 電位 φ 基準点:無限遠

クーロン定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系 ke=1

■【 直角三角形 直角を挟む辺 L,H 】

Lの直角でない方の端 φ/(ke*σ*L)=ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]}

■【 直角二等辺三角形 等辺=L 】

斜辺の端 φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881

直角の頂点 φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246

斜辺の中点 φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762

■【 30°、60°、90° 2,1,root3 】

30°の所 φ/(ke*σ)=root3*ln(3)/2~0.951

60°の所 φ/(ke*σ)=ln(root3+2)~1.317

■【 正三角形 1辺=L 】

頂点 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(3)/2~0.951

重心 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(root3+2)~2.281

  三角形電荷  

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