お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/9 Yuji.W

☆四角形電荷☆

◎ 四角形 正方形 電位

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇有限な平面電荷の電位の次元解析◇

◆ 有限な平面電荷 電荷面密度 σ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Q

■【 次元解析 】

 Q=σ*面積 [Q]=[σ]*[長さ^2]

 [φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ^2]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ]

≫ [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] .平面電荷の電位

◇相似な図形の電位◇

◆ 2つの相似な平面電荷 A,B 電荷面密度 σ=一定 相似比 a:b (面積比 a^2:b^2)

ある特定の位置の電位 φA,φB

■ 次元解析より [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] であるから、

 φA:φB=a:b .

{復習}直角二等辺三角形の電位

『直角二等辺三角形の電位』 2016/9

◆ 直角二等辺三角形 等辺=L 電荷面密度 σ=一定 電位 φ

■ 斜辺の中点 φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762

直角の頂点 φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246

斜辺の端 φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881

◇正方形電荷の電位◇

◎ 直角二等辺三角形の結果を使って、正方形の電位を求める

■【 正方形の頂点の電位 】

直角二等辺三角形電荷を2つ合わせて、大きい正方形を作る 1辺=L

電位の重ね合わせの原理を使って、

 φ=2*(直角二等辺三角形の端の電位)=2*[ke*σ*L*ln(1+root2)]

≫ φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762 .正方形の頂点の電位〔 1辺 L 〕

■【 正方形の中心の電位 】

直角二等辺三角形を4つくっつけて、大きい正方形を作る 1辺=root2*L

電位の重ね合わせの原理を使って、

 φ=4*(直角二等辺三角形の直角の所の電位)=4*ke*σ*L*root2*ln(1+root2)

1辺=L の正方形では 1/root2 倍になるから、

 φ/(ke*σ*L)=4*ln(1+root2)~3.525 .正方形の中心の電位〔 1辺 L 〕

{別解} 直角二等辺三角形を2つくっつけて、大きい正方形を作る 1辺=L

 φ/(ke*σ*L)=2*(直角二等辺三角形の斜辺の中点の電位)=4*ln(1+root2)

{まとめ}平面図形電荷の電位

『三角形の電位』 2016/9

● クーロン定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系 ke=1

◆ 三角形 電荷面密度 σ=一定 電位 φ 基準点:無限遠

■【 直角三角形 直角を挟む辺 L,H 】

Lの直角でない方の端 φ/(ke*σ*L)=ln{(H/L)+root[1+(H/L)^2)]}

■【 直角二等辺三角形 等辺=L 】

斜辺の端 φ/(ke*σ*L)=ln(1+root2)~0.881

直角の頂点 φ/(ke*σ*L)=root2*ln(1+root2)~1.246

斜辺の中点 φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762

■【 30°、60°、90° 2,1,root3 】

30°の所 φ/(ke*σ)=root3*ln(3)/2~0.951

60°の所 φ/(ke*σ)=ln(root3+2)~1.317

■【 正三角形 1辺=L 】

頂点 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(3)/2~0.951

重心 φ/(ke*σ*L)=root3*ln(root3+2)~2.281

『正方形電荷の電位』 2016/9

◆ 正方形電荷 電荷面密度 σ=一定 1辺 L 電位 φ

■ 頂点で φ/(ke*σ*L)=2*ln(1+root2)~1.762

中心で φ/(ke*σ*L)=4*ln(1+root2)~3.525

『円電荷の電位』 2016/9

◆ 円電荷(円電荷) 電荷面密度 σ=一定 半径 R 電位 φ

■ 円の端 φ/(ke*σ*R)=4 中心 φ/(ke*σ*R)=2*Pi~6.28

◇円電荷と正方形電荷

◆ 円と正方形の面積が等しいとき(全電荷が等しい) Pi*R^2=L^2

■ Pi*R^2=L^2 L/R=root(Pi)

 (正方形の中心の電位)/(円の中心の電位)
=2*ln(1+root2)*L/(Pi*R)
=2*ln(1+root2)*root(Pi)/Pi
=2*ln(1+root2)/root(Pi)
~0.995

≫ (正方形の中心の電位)/(円の中心の電位)=2*ln(1+root2)/root(Pi)~0.995 .


◆ 電荷面密度 σ=一定 円電荷の中心の電位=正方形電荷の中心の電位

■ 2*Pi*ke*R*σ=4*ln(1+root2)*ke*σ*L

 L/R=Pi/[2*ln(1+root2)]

 1辺/直径=Pi/[4*ln(1+root2)]~0.891 .

  四角形電荷  

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