◎ 平板双極子　cos(a)に比例する電荷を持つ球、円柱　双曲近似

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z〔物理定数〕 ★.

◎ 球(半径 R)の表面上に、極からの角度 a の cos(a) に比例する電荷がある。電位、電場を求めよう。

◆ 球(半径 R)　電荷面密度=σ0*Ca

● <pd.>=pd.*<zu> のとき、電位 φ=pd.*z/r^3=pd.*Ca/r^2

■ 球の外側の電位、

�@ 電荷面密度=σ0*Ca を持つ、半径 R の球

�A 一様な体積電荷密度 σ0 を持つ、半径 R の球　全電荷 +Q=σ0*4Pi*R^3/3

�B 一様な体積電荷密度 -σ0 を持つ、半径 R の球　全電荷 -Q=-σ0*4Pi*R^3/3

�C �Aと�Bの中心をz軸方向に、距離 1 だけずらしたものを考える。

�@と�Cの電荷密度分布は同じになる。当然、�@が作る電位と、�Cが作る電位は同じ。重ね合わせの原理により、�Cが作る電位は、�Aが作る電位と�Bが作る電位の和になる。

�Aが作る電位と�Bが作る電位の和は、

電荷+Qと-Qが、距離 1 だけ離れて作る双極子の電位と同じになる。

　その双極子モーメント pd=+Q*1=σ0*4Pi*R^3/3 ★

　pd.=[1/(4Pi*ε0)]*(σ0*4Pi*R^3/3)=(1/3)*(σ0/ε0)*R^3

　その電位　球の外側で　φ=(1/3)*(σ0/ε0)*R^3*Ca/r^2 ★

　<E>=(1/3)*(σ0/ε0)*R^3*<3*x*z , 3*y*z , 3*z^2-r^2>/r^5 ★

● 一様な電荷(電荷密度 ρ)が、球(半径 R) を満たしているとき、

　球の外部の電場 <E(r>R)>
=<ru>*[1/(4Pi*ε0)]*ρ*(4Pi*R^3/3)*<ru>/r^2
=<ru>*(1/3)*(ρ/ε0)*R^3/r^2

　球の内部の電場 <E(r<R)>
=<ru>*[1/(4Pi*ε0)]*ρ*(4Pi*r^3/3)/r^2
=<ru>*(1/3)*(ρ/ε0)*r　半径に比例

■ 正電荷分の中心の位置 (0,0,1/2)　負電荷分の中心の位置 (0,0,-1/2)

球の内部の電場は、その電荷の中心からの距離に比例するから、

電場のz軸方向成分は、

　Ez=(1/3)*(σ0/ε0)*[(z-1/2)-(z+1/2)]=-(1/3)*(σ0/ε0) ★

◎ cos(a) に比例する電荷を持つ円柱が作る電位

◆ 円柱　半径 R　円柱の中心軸 z軸　円柱座標(r.,b,z)

y軸からx軸に向かう角 a　x軸からy軸に向かう角 b

円柱の表面に電荷面密度=σ0*cos(a)=σ0*sin(b)=σ0*y/r
円柱全体に一様に広がる電荷面密度 σ0　そのときの電荷線密度 σ0*Pi*R^2

■ 円柱の外側の電位、

�@ 円柱の表面に電荷面密度=σ0*cos(a)
�A 一様な電荷面密度 σ0 を持つ、半径 R の円柱
�B 一様な面積電荷密度 -σ0 を持つ、半径 R の円柱
�C �Aと�Bの中心を y軸方向に、距離 1 だけずらしたもの

�@と�Cの電荷密度分布は同じになる。

　�Aが作る電位 φ(r.)=-2*ke*λ*ln(r.)=-2*ke*σ0*Pi*R^2*ln(r.)

　�Cが作る電位 φ=-2*ke*σ0*Pi*R^2*y/r.^2　★　

■ 次のような電荷の電場は、電気双極子で近似できる。
総電荷は0、それぞれの電荷の位置は任意だが、観測する点の位置と比べると狭い

{考察}i番目の電荷Qiの位置<Di>　観測点<R>　<Ru>=<R>/R
　双極モーメント<P>=Q1<D1>+Q2<D2>+…

r1=1/[R-<D1>*<Ru>]=(1/R)*[1+<D1>*<Ru>/R+…]

電位φ=[1/(4Pi*ε0)](Q1/r1+Q2/r2+…)
=[1/(4Pi*ε0)]*[(Q1+Q2+…)/R
+<Ru>/R^2(Q1<D1>+Q2<D2>+…)]=[1/(4Pi*ε0)]<P>*<Ru>/R^2　◎

　★　電気双極子.球,円柱　★