物理 電磁気

2017/7-2012/2 Yuji.W

☆円筒コンデンサー☆

_ コンデンサー  静電容量 円筒 condenser capacitor _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電磁場 <E>,<B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 1_A/c=0.1_esu/cm〔電磁気の単位〕〔
物理定数

◇いろいろな電荷が作る電場◇

『いろいろな電荷が作る電場』 2017/7

◎ 電場 E(r) 電位 φ(r)

■ 直線電荷 電荷線密度 λ 直線からの距離 r

 E(r)=2*ke*λ/r φ(r)-φ(r0)=-2*ke*λ*ln(r/r0)

■ 円柱の表面に電荷 半径 r0 電荷面密度 σ
単位長さ当たりの電荷 @Q=2Pi*r0*σ 円柱の中心軸からの距離

円柱の外側 E(r)=2*ke*@Q/r φ(r)-φ(r0)=-2*ke*@Q*ln(r/r0)

■ 無限に広がる一様な平面電荷 電荷面密度 σ 平面からの距離 r

 E(r)=2Pi*ke*σ φ(r)-φ(0)=-2Pi*ke*σ*r

円筒コンデンサー

◆ 同心軸の2つの円筒のコンデンサー 長さ:無限 円筒の半径 r1,r2 r1<r2

単位長さ当たりの電荷 @Q,-@Q

同心軸からの距離 r そこにできる電場 E(r)〔 r1<r<r2 〕 ※ それ以外の所に電場はできない 電位 φ(r) 円筒コンデンサーの電位差 V 単位長さ当たりの静電容量 @C

■ ガウスの定理より 2Pi*r*E(r)=4Pi*ke*@Q E(r)=2*ke*@Q/r

■ φ(r)-φ(r1)
=-${<E>*<ds>}[r:r1~r]
=-2*ke*@Q*${dr/r}[r:r1~r]
=-2*ke*@Q*[ln(r)][r:r1~r]
=-2*ke*@Q*[ln(r)-ln(r1)]
=-2*ke*@Q*ln(r/r1)

 φ(r2)-φ(r1)=-2*ke*@Q*ln(r2/r1)

 V=φ(r1)-φ(r2)=2*ke*@Q*ln(r2/r1)

 @C=@Q/V=1/[2*ke*ln(r2/r1)]

■ 円筒の電荷面密度 σ1,-σ2 @Q=2Pi*r1*σ1=2Pi*r2*σ2

『円筒コンデンサー』 2017/7

◆ 同心軸の2つの円筒のコンデンサー 長さ:無限 円筒の半径 r1,r2 r1<r2

単位長さ当たりの電荷 @Q,-@Q

同心軸からの距離 r 電場 E(r)〔 r1<r<r2 〕 電位 φ(r) 円筒コンデンサーの電位差 V 単位長さ当たりの静電容量 @C

円筒の電荷面密度 σ1,-σ2 @Q=2Pi*r1*σ1=2Pi*r2*σ2

■ E(r)=2*ke*@Q/r V=2*ke*@Q*ln(r2/r1)

 @C=@Q/V=1/[2*ke*ln(r2/r1)]

円筒コンデンサー-2-

■ 静電容量 C=Q/V=[1/(2*ke)]*L/ln(r2/r1)] .

▲ 面積 A=2Pi*r1*L 間隔 s=r2-r1 0<s<<1 のとき

 ln(r2/r1)=ln(1+s/r1)=s/r1

 C=[1/(2*ke)]*L/ln(r2/r1)]=[1/(2*ke)]*L*r1/s=[1/(4Pi*ke)]*A/s 平行平板コンデンサーとみなすことができる

■ 電場のエネルギー U=(1/2)*Q^2/C=ke*(Q^2/L)*ln(r2/r1)] .

C,V で表せば、

 U=(1/2)*C*V^2=[1/(4*ke)]*L*V^2/ln(r2/r1) .

{別解} 電場の2乗からエネルギーを求める。

 U=(1/2)*[1/(4Pi*ke)]*$$${E(r)^2*dV}[コンデンサー内]

ここで $$${E(r)^2*dV}[コンデンサー内]
=L*${2Pi*r*E^2*dr}[r:r1~r2]
=8Pi*ke^2*(Q^2/L)*${dr/r}[r:r1~r2]
=8Pi*ke^2*(Q^2/L)*ln(r2/r1)

 U=ke*(Q^2/L)*ln(r2/r1)

円筒コンデンサー-3-

■ 電荷が変化しないまま、内側の円筒が同心軸にそって動くとする。円筒の長さ L が変数だと考える。

 静電エネルギー U=ke*[Q^2*ln(r2/r1)]/L

L が大きくなれば、静電エネルギー U は小さくなるから、内側の円筒は、外側の円筒に引き込まれる力が働く。その力の大きさ F(L)

 F(L)=-U;L=+ke*Q^2*ln(r2/r1)/L^2

また V=2*ke*(Q/L)*ln(r2/r1) であったから Q=[1/(2*ke)]*V*L/ln(r2/r1)

 F(L)
=ke*{[1/(2*ke)]*V*L/ln(r2/r1)}^2*ln(r2/r1)]/L^2
=[1/(4*ke)]*V^2/ln(r2/r1)

≫ F(L)=+ke*Q^2*ln(r2/r1)/L^2=[1/(4*ke)]*V^2/ln(r2/r1)

{計算例}円筒コンデンサー

● ln(4/3)=ln(4)-ln(3)=1.39-1.10=0.29

★ R1=3_cm R2=4_cm L=30_cm V=45_V=0.15_静電ボルト

CGS静電単位系で C=30/[2*1*ln(4/3)]=30/(2*0.29)=51.7_cm

 U=(1/2)*51.7*0.15^2=0.58_erg

{比較} 平行平板コンデンサーと見なすと、

 C=[1/(4Pi*ke)]*(9Pi*30)/1=[1/(4Pi*1)]*(9Pi*30)/1=67.5_cm

 U=(1/2)*67.5*0.15^2=0.76_erg

★ r1=5.08_cm r2=7.62_cm 電位差 V=5_kV 「バークレー物理学コース電磁気」問題3.23

 ln(r2/r1)=ln(7.62/5.08)~

 F(L)
=[1/(4*ke)]*V^2/ln(r2/r1)
={1/[4*9*Ten(9)]}*[25*Ten(6)]/0.405
=1.71*Ten(-3)_N

円筒コンデンサー内を円運動

. 円筒コンデンサー内で、電荷を等速円運動させたい

◆ 同心軸の2つの円筒のコンデンサー

電荷[質量 m 電荷 q 回転半径 r0 運動エネルギー K]

内側の円筒の電位 φ(r1)=2*V0*ln(r1/r0)
外側の円筒の電位 φ(r2)=2*V0*ln(r2/r0)

■ φ(r)=2*V0*ln(r/r0)

 E(r)=φ(r);r=2*V0/r

 電荷が受ける力=q*E(r0)=2*q*V0/r0

 K=(1/2)*r0*(電荷が受ける力)=q*V0 _

電荷 q を、電位差 V0 で加速すればよい

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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