物理　電磁気　2018/5-2012/2　Yuji.W

☆ 円筒コンデンサー ☆

◎ コンデンサー　 静電容量　円筒　condenser　capacitor ★_

❖　いろいろな電荷が作る電場　❖

◎ 電場 E(h)　電位 φ(h)

■ 直線電荷　電荷線密度 λ　直線からの距離 h

　E(h)=2*ke*λ/h　φ(h)-φ(h0)=-2*ke*λ*ln(h/h0)

■ 円柱の表面に電荷　半径 h0　電荷面密度 σ
単位長さ当たりの電荷 Q=2Pi*h0*σ　円柱の中心軸からの距離 h

円柱の外側　E(h)=2*ke*Q/h　φ(h)-φ(h0)=-2*ke*Q*ln(h/h0)

■ 無限に広がる一様な平面電荷　電荷面密度 σ　平面からの距離 x

　E(r)=2Pi*ke*σ　φ(r)-φ(0)=-2Pi*ke*σ*x

❖　円筒コンデンサー　❖

◆ 同心軸の2つの円筒のコンデンサー　長さ:無限　円筒の半径 h1,h2　h1<h2

単位長さ当たりの電荷 Q,-Q

同心軸からの距離 h　そこにできる電場 E(h)〔 h1<h<h2 〕　※ それ以外の所に電場はできない　電位 φ(h)　円筒コンデンサーの電位差 V　単位長さ当たりの静電容量 C

■ ガウスの定理より　2Pi*h*E(h)=4Pi*ke*Q　E(h)=2*ke*Q/h

■ φ(h)-φ(h1)
=-${<E>*<ds>}[h:h1~h]
=-2*ke*Q*${dh/h}[h:h1~h]
=-2*ke*Q*[ln(h)][h:h1~h]
=-2*ke*Q*[ln(h)-ln(h1)]
=-2*ke*Q*ln(h/h1)

　φ(h2)-φ(h1)=-2*ke*Q*ln(h2/h1)

　V=φ(h1)-φ(h2)=2*ke*Q*ln(h2/h1)

　C=Q/V=1/[2*ke*ln(h2/h1)] ★_

国際単位系で　C=2Pi*ε0/ln(h2/h1)

★ h2/h1=2　1/ln(2)=1.44

■ 円筒の電荷面密度 σ1,-σ2　Q=2Pi*h1*σ1=2Pi*h2*σ2

❖　円筒コンデンサー-2-　❖

■ 静電容量 C=Q/V=[1/(2*ke)]*L/ln(h2/h1)] ★.

▲ 面積 A=2Pi*h1*L　間隔 s=h2-h1　0<s<<1　のとき

　ln(h2/h1)=ln(1+s/h1)=s/h1

　C=[1/(2*ke)]*L/ln(h2/h1)]=[1/(2*ke)]*L*h1/s=[1/(4Pi*ke)]*A/s　平行平板コンデンサーとみなすことができる

■ 電場のエネルギー U=(1/2)*Q^2/C=ke*(Q^2/L)*ln(h2/h1)] ★.

C,V で表せば、

　U=(1/2)*C*V^2=[1/(4*ke)]*L*V^2/ln(h2/h1) ★.

{別解}　電場の2乗からエネルギーを求める。

　U=(1/2)*[1/(4Pi*ke)]*$$${E(h)^2*dV}[コンデンサー内]

ここで　$$${E(h)^2*dV}[コンデンサー内]
=L*${2Pi*h*E^2*dh}[h:h1~h2]
=8Pi*ke^2*(Q^2/L)*${dh/h}[h:h1~h2]
=8Pi*ke^2*(Q^2/L)*ln(h2/h1)

　U=ke*(Q^2/L)*ln(h2/h1)

❖　円筒コンデンサー-3-　❖

■ 電荷が変化しないまま、内側の円筒が同心軸にそって動くとする。円筒の長さ L が変数だと考える。

　静電エネルギー　U=ke*[Q^2*ln(h2/h1)]/L

L が大きくなれば、静電エネルギー U は小さくなるから、内側の円筒は、外側の円筒に引き込まれる力が働く。その力の大きさ F(L)

　F(L)=-U;L=+ke*Q^2*ln(h2/h1)/L^2

また　V=2*ke*(Q/L)*ln(h2/h1)　であったから　Q=[1/(2*ke)]*V*L/ln(h2/h1)

　F(L)
=ke*{[1/(2*ke)]*V*L/ln(h2/h1)}^2*ln(h2/h1)]/L^2
=[1/(4*ke)]*V^2/ln(h2/h1)

≫　F(L)=+ke*Q^2*ln(h2/h1)/L^2=[1/(4*ke)]*V^2/ln(h2/h1)

❖　{計算例}円筒コンデンサー　❖

● ln(4/3)=ln(4)-ln(3)=1.39-1.10=0.29

★ h1=3_cm　h2=4_cm　L=30_cm　V=45_V=0.15_静電ボルト

CGS静電単位系で　C=30/[2*1*ln(4/3)]=30/(2*0.29)=51.7_cm

　U=(1/2)*51.7*0.15^2=0.58_erg

{比較}　平行平板コンデンサーと見なすと、

　C=[1/(4Pi*ke)]*(9Pi*30)/1=[1/(4Pi*1)]*(9Pi*30)/1=67.5_cm

　U=(1/2)*67.5*0.15^2=0.76_erg

★ h1=5.08_cm　h2=7.62_cm　電位差 V=5_kV　「バークレー物理学コース電磁気」問題3.23

　ln(h2/h1)=ln(7.62/5.08)~

　F(L)
=[1/(4*ke)]*V^2/ln(h2/h1)
={1/[4*9*Ten(9)]}*[25*Ten(6)]/0.405
=1.71*Ten(-3)_N

❖　円筒コンデンサー内を円運動　❖

.★ 円筒コンデンサー内で、電荷を等速円運動させたい

◆ 同心軸の2つの円筒のコンデンサー

電荷[質量 m　電荷 q　回転半径 h0　運動エネルギー K]

内側の円筒の電位 φ(h1)=2*V0*ln(h1/h0)
外側の円筒の電位 φ(h2)=2*V0*ln(h2/h0)

■ φ(h)=2*V0*ln(h/h0)

　E(h)=φ(h);h=2*V0/h

　電荷が受ける力=q*E(h0)=2*q*V0/h0

　K=(1/2)*h0*(電荷が受ける力)=q*V0 ★_

電荷 q を、電位差 V0 で加速すればよい

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji W. ☆