〓　コンデンサー　〓　

■ コンデンサーは、電気を少し貯めておくのに使われる。

　静電容量 Ten(-9)~Ten(-3)_F　耐電圧 2.5V〜10000V

★ 静電容量 Ten(-3)_F　電圧 2_V　貯まる電荷=2*Ten(-3)_C　{比較} 単三電池 2000_C

〓　平行平板コンデンサー　〓　

◆ 2枚の平行平板導体　電荷 Q,-Q　平板の面積 A　平行平板の間隔 s

s^2<<A　電場は平板間にだけでき、その方向は平板に垂直であるとみなす。

コンデンサー内の電場 E　電位差 V　静電容量 C

■ (+Qの平板が作る電場)=2Pi*ke*(Q/A)　平板に垂直

　(-Qの平板が作る電場)=-2Pi*ke*(Q/A)　平板に垂直

2つの電場の重ね合わせ、方向に注意して、

　(コンデンサー外の電場)=0　E=4Pi*ke*(Q/A)

　V=E*s=4Pi*ke*Q*s/A

　Q={[1/(4Pi*ke)]*A/s}

　静電容量 C=Q/V=[1/(4Pi*ke)]*A/s=ε0*A/s ★.

〓　{計算例}平行平板コンデンサー　〓　

◆ 2枚の平行平板導体　平行平板の間隔 s=0.8_cm　電位差 V=240_V　電場 E

電子に働く力 F　力を受ける時間 Δt=6.94*Ten(-9)_sec　力積 F*Δt

■ V=240_V=240/[\c*Ten(2)]~0.8_静電ボルト

　E=V/s=0.8/0.8=1_静電ボルト

　F=e*E=[4.80*Ten(-10)]*1=4.80*Ten(-10)_dyn

　F*Δt=[4.80*Ten(-10)]*[6.94*Ten(-9)]=3.33*Ten(-18)_dyn*sec

〓　{計算例2}平行平板コンデンサー　〓　

◆ 2枚の平行平板導体　C=100_pF　s=1_cm　V=10_V

充電した後、平板間を 1*Ten(-12)_A の電流が流れる　電位差が 0 になる時間 Δt

■【 Δt 】

　Q=100*10=1*Ten(-9)_C

　Δt=1*Ten(-9)/1*Ten(-12)=1000_sec=16_min 20_sec

〓　コンデンサーが持つ静電エネルギー　〓

◆ コンデンサー　静電容量 C　電荷 q,-q　電位差 v　最終電荷 Q,-Q　最終電位差 V　静電エネルギー U　コンデンサー内の電場 E

■ 電荷 +q,-q と貯まっているとき　電位差 v=q/C

その電位差に逆らって、微少電荷 dq を移動させるのに必要なエネルギー dU

　dU=v*dq=(q/C)*dq

　U=${(q/C)*dq}[q:0~Q]=(1/C)*[q^2/2][q:0~Q]=(1/2)*Q^2/C ★.

V と C で表せば　U=(1/2)*C*V^2

E と C で表せば　U=(1/2)*C*s^2*E^2

■ 平行平板コンデンサーで　C=[1/(4Pi*ke)]*A/s

　U=(1/2)*{[1/(4Pi*ke)]*A/s}*s^2*E^2=[1/(8Pi*ke)]*E^2*(A*s)

平行平板コンデンサーの電場はコンデンサー内にしかない。エネルギーは電場にあるとすると、

　単位体積当たりのエネルギー=U/(A*s)=[1/(8Pi*ke)]*E^2 ★.

〓　{計算例}平行平板コンデンサー　〓　

★ A=1_cm^2　s=1_mm　静電容量 C

国際単位系で　C=ε0*A/s=[8.854*Ten(-12)]*Ten(-4)/Ten(-3)=0.885_pF

CGS静電単位系で　C=[1/(4Pi)]*1/0.1=0.796_cm

★ 円板コンデンサー　直径 15_cm　距離 0.04_mm

国際単位系で　C
=[Ten(-9)/(4*\c^2)]*0.075^2/[4*Ten(-5)]
=3.91*Ten(-9)_F

CGS静電単位系で　C=(1/4)*7.5^2/0.004=3.52*Ten(3)_cm

★ 円板コンデンサー　R=0.10_m　V=2_V　Q=2.5*Ten(-11)_C

　C=Q/V=2.5*Ten(-11)/2=12.5_pF

　σ=Q/(Pi*R^2)=2.5*Ten(-11)/(Pi*0.01)=7.96*Ten(-10)_C/m^2

　E
=4Pi*ke*σ
=σ/ε0
=7.96*Ten(-10)/[8.854*Ten(-12)]
=89.9_V/m

　s=V/E=2/89.9=0.022_m

　ΔU=(1/2)*C*V^2=(1/2)*[12.5*Ten(-12)]*2^2=25*Ten(-12)_J

〓　コンデンサーに働く力　〓　

.★ 任意の形のコンデンサーに働く力

◆ コンデンサー　全電荷 Q=一定　静電容量はある長さの関数だとする C(s)

静電エネルギー U(s)　コンデンサーに働く力 F(s)

■ U(s)=(1/2)*Q^2/C(s)

　F(s)=U(s);s=(1/2)*Q^2*{[1/C(s)];s} ★.

★ 平行平板コンデンサー　2枚の導体の間隔 s　C(s)=[1/(4Pi*ke)]*A/s

　[1/C(s)];s=(4Pi*ke/A)*(s;s)=4Pi*ke/A

※ F(s)=U(s);s　を使うときには　他からエネルギーが供給されない場合を考えなくてはいけない。したがって、電位差を維持する装置(電池など)は、外す場合を考える必要がある。

〓　平行平面コンデンサーにかかる力、Q=一定　〓　

.★ コンデンサーは正電荷と負電荷が向き合っているのだから、つぶれようとする。

◎ Q=一定　の場合　つぶれようとする力を求める

◆ 平行平板コンデンサー　電位差 V　電荷 Q,-Q　平板の面積 A=一定　平行平板の間隔 s

　E=(4Pi*ke/A)*Q　V=(4Pi*ke/A)*Q*s　C=[A/(4Pi*ke)]/s

　U=(2Pi*ke/A)*Q^2*s　平板間の引力 F

電位差を維持するもの(電池など)をはずし　Q=一定　の場合を考える。

■ 一方の平板が他方の平板の位置に作る電場=2Pi*ke*Q/A

　引力 F=Q*(2Pi*ke*Q/A)=2Pi*ke*Q^2/A ★.

■{別解}　静電エネルギーの増減を考える。

電位差を維持するもの(電池など)をはずし　Q=一定　の場合を考える。

　U=(2Pi*ke*Q^2/A)*s

　s を s+Δs　とすると　ΔU=(2Pi*ke*Q^2/A)*Δs

コンデンサーの間隔を広げると、静電エネルギーは増える。したがって、コンデンサーは間隔を狭めようとする。

　引力 F=ΔU/Δs=2Pi*ke*Q^2/A ★.

★ V=3000_V=10_静電ボルト　A=400_cm^2　s=3_cm

　C=[1/(4Pi*ke)]*A/s=[1/(4Pi*1)]*400/3=100/(3Pi)_cm~Ten(-9)_F

　Q=C*V=[100/(3Pi)]*10=1000/(3Pi)_esu

　F
=2*Pi*ke*Q^2/A
=2*Pi*1*[1000/(3Pi)]^2/400
=2*Pi*1*1000000/(9*Pi^2*400)
=10000/(18*Pi)
=177_dyn
~0.002_N
~0.2_g重

　U=177*3=531_erg

★ 静電容量 C=Ten(-3)_F　電圧 V=2_V　s=1_mm=Ten(-3)_m

　F=2_N~200_g重

〓　平行平面コンデンサーにかかる力、V=一定　〓　

◎ V=一定　の場合　引力 F ?　電荷が移動するので、その分のエネルギーの増減を考える必要がある。

◆ 平行平板コンデンサー　電位差 V　電荷 Q,-Q　平板の面積 A=一定　平行平板の間隔 s

電位差を維持する装置(電池など)はつけたまま　V=一定　の場合を考える。

■ V=(4Pi*ke/A)*Q*s　より　Q=[V*A/(4Pi*ke)]/s

　U
=(2Pi*ke/A)*Q^2*s
=(2Pi*ke/A)*{[V*A/(4Pi*ke)]^2/s^2}*s
=[V^2*A/(8Pi*ke)]/s

s を s+Δs　とすると、

　Δ(1/s)=1/(s+Δs)-1/s=1/[s*(1+Δs/s)]-1/s=(1-Δs/s)/s-1/s=-Δs/s^2

　ΔU=[V^2*A/(8Pi*ke)]*Δ(1/s)=-[V^2*A/(8Pi*ke)]*Δs/s^2

コンデンサーの間隔が広がると、静電エネルギーは減る。ここで考えないといけないのは、電荷の量が変化することである。

　ΔQ=[V*A/(4Pi*ke)]*Δ(1/s)=-[V*A/(4Pi*ke)]*Δs/s^2

　(電圧 V=一定 のまま、ΔQ の変化を起こすのに必要なエネルギー)
=V*ΔQ
=-[V^2*A/(4Pi*ke)]*Δs/s^2

　(電荷の移動によって、系に与えられるエネルギー)=+[V^2*A/(4Pi*ke)]*Δs/s^2

　(系全体のエネルギーの変化量)
=+[V^2*A/(4Pi*ke)]*Δs/s^2-[V^2*A/(8Pi*ke)]*Δs/s^2
=+[V^2*A/(8Pi*ke)]*Δs/s^2

コンデンサーの間隔が広がると、系全体のエネルギー量は増える。したがって、コンデンサーは間隔を狭めようとする。

　引力 F=(系全体のエネルギーの変化量)/Δs=[V^2*A/(8Pi*ke)]/s^2

V=(4Pi*ke/A)*Q*s　だったから、

　引力 F=[(4Pi*ke/A)*Q*s]^2*[A/(8Pi*ke)]/s^2=2Pi*ke*Q^2/A ★.Q=一定 として考えた場合、V=一定 として考えた場合と、結論は一致する。{すばらしい!2016/11}

〓　摩擦電気　〓　

◎ 摩擦電気の電位差はなぜ大きいのか

■ 例えば、絹とガラスをこすり摩擦電気を作る。いったんできた電荷は、ある程度の時間、保存される。保存されている状態で、絹とガラスを離す。

　E=4Pi*ke*Q/A　V=4Pi*ke*Q*s/A

電荷一定のまま、平行平板コンデンサーの間隔を広げることに近似できる。電場 E は変化しないまま、平行平板の距離が大きくなる。電位差が大きくなる。最初の間隔は、非常に小さいから、電位差は非常に大きくなる。

■ 電圧を一定に保ったまま(例えば、電池につないだまま)、間隔を広げる場合

　V=4Pi*ke*Q*s/A

s:増加　V=一定　だから　電荷:減少　電荷は電池に戻っていく

　E=4Pi*ke*Q/A

電場:減少　エネルギー:減少　減った分のエネルギーは、電池に戻る

〓　平行3平面コンデンサーにかかる力　〓　

◎ 「バークレー電磁気」問題3.18

◆ 「コ」の字型の導体の間に、正電荷を持つ長方形の導体を入れる。

静電気による力を考える。重力は考えない。上図で、長方形導体には、上下方向のみ力が働くように思える。ところが、長方形導体には、左向きに、コの字の中に引き込む力が生じる。なぜか ? 力の大きさ ?

コの字導体と平板導体が上下に重なっている部分の長さ a　導体の幅(紙面に対して奥行き) b　間隔 s と s

電荷は、3枚の平板導体が重なっている部分にだけ誘起されるとする。長方形には +Q、コの字型の内側には、-Q と -Q が誘起されるとみなす。

導体と絶縁体の間の電場 E　電位差 V=E*s　静電エネルギー U(a)　導体と絶縁体の間に働く引力 F(a)=-U(a);a

■【 F(a) 】

　 E=4Pi*ke*(Q/b)/a

　U(a)
=[1/(8Pi*ke)]*E^2*(電場の体積)
=[1/(8Pi*ke)]*[4Pi*ke*(Q/b)/a]^2*(2*s*a*b)
=4Pi*ke*(Q^2*s/b)/a

　U(a)=4Pi*ke*(Q^2*s/b)/a ★.

a が大きくなると、静電エネルギーは小さくなる。平板導体に働く力は引力になる。

　F(a)=-U(a);a=4Pi*ke*(Q^2*s/b)/a^2

≫　F(a)=4Pi*ke*(Q^2*s/b)/a^2 ★.

■【 V を F,s,a,b で表す 】

　F(a)=4Pi*ke*(Q^2*s/b)/a^2　&　V=E*s=4Pi*ke*(Q*s/b)/a

Q を消去して、

　F
=4Pi*ke*[V*a*b/(4Pi*ke*s)]^2*(s/b)/a^2
=V^2*b/(4Pi*ke*s)

　V^2=4Pi*ke*F*s/b

　V=2*root(Pi*ke*F*s/b) ★.

〓　コンデンサーの放電　〓　

◎ コンデンサーに電荷が貯まっている。回路を繋ぎ、放電させる。回路に抵抗があれば、時間がかかる。

◆ コンデンサの電気容量 C　コンデンサーの電荷 +Q(t),-Q(t)

コンデンサー間の電圧 V(t)　回路の抵抗 R　流れる電流 I(t)

時刻 t=0 で　Q(0)=Q0　V(0)=V0　I(0)=I0

■ Q(t+dt)-Q(t)=-I(t)*dt　Q(t)=C*V(t)　V(t)=I(t)*R

以上3つの式から　Q(t+dt)-Q(t)=-Q(t)*dt/(R*C)

　Q(t)'=-Q(t)/(R*C)

放射性崩壊の場合と同様になって、

　平均時間 Tau=R*C　半減期 T2.=ln(2)*Tau　Q0=C*V0　V0=I0*R

　Q(t)/Q0=V(t)/V0=I(t)/I0=(1/e)^(t/Tau) ★

　Q(t)/Q0=V(t)/V0=I(t)/I0=(1/2)^(t/T2.) ★

★ C=1_μF　Tau=1_msec

　R=[1*Ten(-3)]/[1*Ten(-6)]=Ten(3)_Ω

★ 1/10=Q(t)/Q0=(1/e)^(t/Tau)

10 を底とする対数をとると、

　-LOG(10)=-(t/Tau)*LOG(e)=-(t/Tau)*ln(e)/ln(10)

　1=(t/Tau)/ln(10)

　t/Tau=ln(10)~2.303

★ I0=1_μA　V0=5_V　R=V0/I0=5*Ten(6)_Ω　1000_sec で　V(1000)=5*0.9_V

　0.9=V(1000)/V0=(1/e)^[1000/(R*C)]

対数をとると　ln(0.9)=-1000/(R*C)

　R*C=-1000/ln(0.9)~-1000/-0.1=+Ten(4)

　C=+Ten(4)/[5*Ten(6)]=2*Ten(-3)_F

★ C=0.01_F　V0=6_V　R=6000_Ω

　Ｑ=0.01*6=0.06_C　I0=6/6000=0.001_A　10秒で約 0.01_C

　R*C=6000*0.01=60_sec

　E=(1/2)*C*V^2=(1/2)*0.01*36=0.18_J

6_V で 1_W　I=1/6_A　R=6/(1/6)=36_Ω　Tau=R*C=36*0.01=0.36_sec