☆円柱電流が作る磁場Uz

　物理　電磁気　2018/6-2017/7　Yuji.W

☆ 円柱電流が作る磁場 ☆

◎ ★_　00

◇ ベクトル <A>　内積 *　外積 #　10^x=Ten(x)　微分 ;x　時間微分 '　積分 $
　ネイピア数 e　e^x=exp(x)　i^2=-1　e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>　球座標単位ベクトル <ru>,<a>,

◇ \3=2.9979 2458{定義値}　光速 c=\3*Ten(8)_m/sec

◇ 電磁気.国際単位系　真空の誘電率 ε0=Ten(7)/(4Pi*c^2)
　クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)=(\3)^2*Ten(9)_N*m^2/C^2
　真空の透磁率 μ0=4Pi*ke/c^2=1/(c^2*ε0)=4Pi*Ten(-7)_N/A^2
◇ CGS静電単位系　ke=1　μ0=4Pi/c^2　<Bcgs>=c*　<Acgs>=c*<A>
　[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G]
　1_A=\3*Ten(9)_esu/sec　1_A/c=0.1_esu/cm

〔物理定数　電磁気単位　電磁気方程式〕

〓　定常電流が作る磁場アンペールの法則　〓 ..

◆ 定常電流 I　それが作る磁場 　電流密度 <J>

■ ${*<ds>}[閉曲線]=μ0*I

CGS静電単位系　${<Bcgs>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi/c)*I

〓　循環,curl,ストークスの定理　〓 .

■ <curl<A>>のz成分=lim[面積->0]{(z軸に対する循環)/(閉曲線内の面積)}

■ <curl<A>>=<Az;y-Ay;z　Ax;z-Az;x　Ay;x-Ax;y>

■ $${<curl<A>>*<dS>}[閉曲線内]=${<A>*<ds>}[閉曲線]

〓　curl 円柱座標　〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z)　座標単位ベクトル <hu>,<a><z>

任意のベクトル関数 <A(h,a,z)>=<hu>*Ah+<a>*Aa+<z>*Az

■ <curl<A>>
=<hu>*[(Az;a)/h-Aa;z]+<a>*(Ah;z-Az;h)+<z>*{[(h*Aa);h]/h-(Ah;a)/h}

■ <curl[<z>*Az(h)]>=-<a>*(Az;h) ★_

■ <curl[<a>*Aa(h)]>=<z>*[(h*Aa);h]/h ★_

〓　円柱電流が作る磁場　〓 ..

◆ 円柱座標(h,a,z)　座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>

円柱電流　z軸を囲む　半径 R　電流面密度 <J>=<z>*J=一定　電流 I=Pi*R^2*J

z軸からの距離 h の所に作る磁場 <B(h)>=<a>*B(h)

■【円柱の外部　h>R 】

z軸に垂直な円[半径 h　h>R　中心:z軸]を考え、アンペールの法則を適用して、

${*<ds>}[円周]=μ0*I　①

線要素 <ds>=<a>*ds　*<ds>=[<a>*B(h)]*(<a>*ds)=B(h)*ds

　①の左辺=${B(h)*ds}[円周]=B(h)*${ds}[円周]=2Pi*h*B(h)

⇒　2Pi*h*B(h)=μ0*I

　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I/h ★_

■【円柱の内部　h<R 】

z軸に垂直な円[半径 h　h<R　中心:z軸]を考え、アンペールの法則を適用して、

${*<ds>}[円周]=μ0*Pi*h^2*J　①

　①の左辺=${B(h)*ds}[円周]=2Pi*h*B(h)

　①の右辺=μ0*I*(h/R)^2

⇒　2Pi*h*B(h)=μ0*I*(h/R)^2

　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I*h/R^2 ★_

国際単位系　B(h)=2*Ten(-7)*I*h/R^2_T

CGS静電単位系　Bcgs=2*(I/c)*h/R^2_G

〓　円柱電流が作る磁場　〓 ..

◆ 円柱座標(h,a,z)　座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>

円柱電流　z軸を囲む　半径 R　電流 I　一様な分布で流れる

z軸からの距離 h の所に作る磁場 <B(h)>=<a>*B(h)　〔 1_A/c=0.1_esu/cm 〕

■ h>R　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I/h=2*Ten(-7)*I/h_T
　CGS静電単位系　Bcgs=2*(I/c)/h_G

h<R　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I*h/R^2=2*Ten(-7)*I*h/R^2_T
　CGS静電単位系　Bcgs=2*(I/c)*h/R^2_G

〓　{別解}円柱電流が作る磁場　〓 ..

◎ アンペールの法則を使わないで

■【円柱の内部　h<R 】

電磁気方程式より　<curl>=μ0*<J>

左辺=<curl[<a>*B(h)]>=<z>*[[h*B(h)];h]/h

右辺=<z>*μ0*J

⇒　[[h*B(h)];h]/h=μ0*J

　[h*B(h)];h=μ0*J*h

　h*B(h)=(μ0/2)*J*h^2　〔積分定数=0 〕

　B(h)=(μ0/2)*J*h=[μ0/(2Pi)]*I*h/R^2 ★_

{できた!素晴らしい!2018/6}

〓　{計算例}円柱電流が作る磁場　〓 ..

□ バークレー物理学コース電磁気 p310 問題6.2　

◆ 半径 2 cm のアルミニウムの円柱　8000_A の電流　断面を一様に流れる

円柱の軸から h_cm の所の磁場の大きさ Bcgs(h)

■ 8000_A/c=800_esu/cm

　Bcgs(1)=2*800*1/4=400_G

　Bcgs(2)=2*800*2/4=800_G

　Bcgs(3)=2*800/3~533_G

〓　2重円柱電流が作る磁場　〓 ..

□ ファインマン物理学問題集2 p173 問題48.3

◆ 円柱座標(h,a,z)　座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>

h<a　電流 <z>*I　　a<h<b　空洞　　b<h<c　電流 <z>*(-I)

軸からの距離 h の所の磁場 <B(h)>=<a>*B(h)

■ h<a　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I*h/a^2

a<h<b　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I/h

b<h　B(h)=[μ0/(2Pi)]*I*[(c^2-h^2)/(c^2-b^2)]/h

c<h　B(h)=0

〓　{計算例}円柱電流が作る磁場　〓 ..

□ バークレー物理学コース電磁気 p313 問題6.16

◆ 半径 8_cm の導体の円柱　その内部に、半径 4_cm の円柱の空洞
　２つの軸は 2_cm ずれている

導体に 900_A の電流　断面を一様に流れる　導体の軸での磁場の大きさ Bcgs

■ 半径 8_cm の円柱電流(空洞がない)と、半径 2_cm の円柱電流(電流は逆向き)の重ね合わせになる。

　[半径 8_cm の円柱電流(空洞がない)の電流]=900*4*3=1200_A
　[半径 2_cm の円柱電流(電流は逆向き)]=1200/4=300_A　{核心!}

半径 8_cm の円柱電流(空洞がない)の軸での磁場は 0 であるから、半径 2_cm の円柱電流のみの磁場になる。

　300_A/c=30_esu/cm

　Bcgs=2*30*2/4=30_G ★_

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji Watanabe ☆