物理 電磁気 2018/7-2012/1 Yuji.W
☆ 円電流のベクトルポテンシャル ☆
◎ 円電流 circular coil ベクトルポテンシャル 軸での磁場 ★_
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル
<hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu> 180722
\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
\e=1.6021766208 素電荷
qe=\e*Ten(-19)_C 1_eV=\e*Ten(-19)_J
クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=Ten(-7)=μ0/(4Pi)
CGS静電単位系 ke=1 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>
I=1_A ⇔ I/c=0.1_esu/cm B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 180722
〓 円電流が中心軸上に作る磁場 〓
◆ 定常円電流 I 半径 R
観測点は中心軸上 円の中心と観測点との距離 z そこでの磁場 B
■ B=2Pi*(ke/c^2)*I*R^2/(z^2+R^2)^(3/2)
〓 円電流のベクトルポテンシャル.円柱座標 〓
◆ 円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
xy平面上に定常円電流
I 中心:原点 半径 R
電流断面積 S 電流面密度 <J>=<au>*I/S
観測点 (h,0,z)_C ベクトルポテンシャル <A>=<au>*Aa
Aa=(ke/c^2)*$$${J*dV/r}[電流が流れている領域V] Ah=Az=0
dV=dh*R*da*dz
Bz=[(h*Aa);h]/h-(Ah;a)/h=[(h*Aa);h]/h=Aa/h+Aa;h
■ a~a+da にある電流要素を考えて、
電流要素と観測点との距離 r
=root{[h-R*cos(a)]^2+[R*sin(a)]^2+z^2}
=root[h^2-2*h*R*cos(a)+z^2+R^2]
r;h=[h-R*cos(a)]/r
(1/r);h=-(r;h)/r^2=-[h-R*cos(a)]/r^3
Aa;h=(ke/c^2)*I*R*${da*[(1/r);h]}[a:0~2Pi]
{Aa;h
h=0}
=(ke/c^2)*I*R*${da*(1/r);h}[a:0~2Pi]
=(ke/c^2)*I*R*${da*R*cos(a)/[z^2+R^2]^(3/2)}[a:0~2Pi]
=0
=(ke/c^2)*I*R*${da*(1/r);h}[a:0~2Pi]
■ z>>R のとき、
r=z*root{1+h^2/z^2-2*h*R*cos(a)/z^2+R^2/z^2}
1/r=(1/z)*[1-(1/2)*h^2/z^2+h*R*cos(a)/z^2-(1/2)*R^2/z^2]
Aa=2Pi*(ke/c^2)*I*R*(1/z)*[1-(1/2)*h^2/z^2]
Aa;h=-2Pi*(ke/c^2)*I*R*h/z^3
Bz
=Aa/h+Aa;h
=[2Pi*(ke/c^2)*I*R/z]*[1/h-(1/2)*h/z^2-h/z^2]
=[2Pi*(ke/c^2)*I*R/z]*[1/h-(1/2)*h/z^2-h/z^2]
h=0 のとき 、
h の関数として表す必要がある。
観測点 (h,a,z)_C 電流要素の位置 (R,b,0)_C
r=root{[h*cos(a)-R*cos(b)]^2+z^2}
■ Aa=(ke/c^2)*J*($$${dV/r}[V])=(ke/c^2)*I*R*(${db/r}[b:0~2Pi])
Aa;h=(ke/c^2)*I*R*[(${db/r}[b:0~2Pi]);h]
ここで [(${db/r}[b:0~2Pi]);h]
=(${[(1/r);h]*db}[b:0~2Pi]
■ r;h=[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(3/2)
(1/r);h=-(r;h)/r^2=-[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)
Aa;h
=-(ke/c^2)*I*R*${db*[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)}[b:0~2Pi]
■ 最終的に h=0 の値を知りたいのだから、
{r h=0}=root{R^2*cos(b)^2+z^2}
{Aa h=0}=(ke/c^2)*I*R*${db/root{R^2*cos(b)^2+z^2}}[b:0~2Pi])
また、
{Aa;h h=0}
=(ke/c^2)*I*R*${db*[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)}[b:0~2Pi]
〓 円電流のベクトルポテンシャル.円柱座標 〓
◆ 定常円電流 電流面密度 <J>=<au>*Ja=一定
ベクトルポテンシャル <Ah Aa Az>_C 磁場 <Bh Ba Bz>_C
円電流の中心軸上(z軸上)の磁場(z軸方向)
■ Aa=(ke/c^2)*$$${Ja*dV/r}[電流が流れている領域V] Ah=Az=0
Bh=(Az;a)/h-Aa;z=-Aa;z ※ {Bh
h=0}=-{Aa;z h=0}=0
Ba=Ah;z-Az;h=0
Bz=[(h*Aa);h]/h-(Ah;a)/h=[(h*Aa);h]/h=Aa/h+Aa;h
最終的に {Bz h=0} の値を知りたい。Aa を h で微分する必要があるから、Aa を h の関数として表す必要がある。 ★_
〓 円電流のベクトルポテンシャル.円柱座標 〓
◆ 円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
xy平面上に定常円電流 I 電流断面積 S 電流面密度 J=I/S 中心:原点 半径 R
中心軸での磁場 <B>=<zu>*B ベクトルポテンシャル <A>=<au>*Aa
Aa=(ke/c^2)*$$${J*dV/r}[電流が流れている領域V]
Bz=[(h*Aa);h]/h=Aa/h+Aa;h
最終的に {Bz h=0} の値を知りたい。Aa を h で微分する必要があるから、Aa を h の関数として表す必要がある。
観測点 (h,a,z)_C 電流要素の位置 (R,b,0)_C
r=root{[h*cos(a)-R*cos(b)]^2+z^2}
■ Aa=(ke/c^2)*J*($$${dV/r}[V])=(ke/c^2)*I*R*(${db/r}[b:0~2Pi])
Aa;h=(ke/c^2)*I*R*[(${db/r}[b:0~2Pi]);h]
ここで [(${db/r}[b:0~2Pi]);h]
=(${[(1/r);h]*db}[b:0~2Pi]
■ r;h=[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(3/2)
(1/r);h=-(r;h)/r^2=-[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)
Aa;h
=-(ke/c^2)*I*R*${db*[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)}[b:0~2Pi]
■ 最終的に h=0 の値を知りたいのだから、
{r h=0}=root{R^2*cos(b)^2+z^2}
{Aa h=0}=(ke/c^2)*I*R*${db/root{R^2*cos(b)^2+z^2}}[b:0~2Pi])
また、
{Aa;h h=0}
=(ke/c^2)*I*R*${db*[h*cos(a)-R*cos(b)]*cos(a)/r^(5/2)}[b:0~2Pi]
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆