物理 電磁気

2017/7-2012/1 Yuji.W

円電流が作る磁場

円電流 circular coil 軸での磁場 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
◇ 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

◇ 2.99792458=\c 光速 c=\c*Ten(8)_m/sec {定義}
◇ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) 時間(光速倍) tc
 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) pc [@m]=[pc]=[エネルギー]

国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電磁場 <E>,<B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G          〔電磁気の単位〕〔
物理定数

{復習}等速円運動をする点電荷が中心に作る磁場

『等速円運動をする電荷が中心に作る磁場』

◆ 電荷 q 等速円運動 速さ(対光速比) b 半径 r 回転の中心:原点 回転面:xy平面 z軸に対して右回り 原点にできる磁場(光速倍) <cB>

■ <cB>=<zu>*ke*(q/r^2)*b

☆円電流が円の中心に作る磁場☆

◎ ビオ・サバールの法則を使わないで

◆ 電荷 q 等速円運動 半径 r 角速度 w 速さ v=r*w 速さ(対光速比) b=v/c

回転の中心:原点 回転面:xy平面 z軸に対して右回り 円柱座標(r,a,z) 電荷の位置 <r>=<ru>*r

円周上を動いている電荷の数 n 電流 I=n*q*v/(2Pi*r)=n*q*c*b/(2Pi*r)

■ 点電荷1個が作る磁場(光速倍)=ke*(q/r^2)*b

 cB=点電荷 n 個が作る磁場(光速倍)=n*ke*(q/r^2)*b

ここで n=2Pi*r*I/(q*c*b) だから、

 cB=[2Pi*r*I/(q*c*b)]*[ke*(q/r^2)*b]=2Pi*(ke/c)*I/r _

{おおできた!2017}

国際単位系 B=(μ0/2)*I/r=2Pi*Ten(-7)*I/r_T
CGS静電単位系 Bcgs=2Pi*(I/c)/r_G

☆円電流が中心軸上に作る磁場

◎ ビオ・サバールの法則を使って

『ビオ・サバールの法則 1820』

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

 <dB>=(ke/c^2)*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 円電流 電流 I 半径 r

円電流の軸(円電流を含む平面に垂直で、円の中心を通る) z軸

観測点 z 円電流の任意の位置から観測点までの距離 root(z^2+r^2)

電流はz軸に対して右回りに流れている

■ 円電流の磁場は、z軸方向になる。z軸方向成分だけ集めて、

 B
=[(ke/c^2)*I*2Pi*r/(z^2+r^2)]*[r/root(z^2+r^2)]
=2Pi*(ke/c^2)*I*r^2/(z^2+r^2)^(3/2) 
_

f(z,r)=r^2/(z^2+r^2)^(3/2) と置けば、

国際単位系 B=(μ0/2)*I*f(z,r)=2Pi*Ten(-7)*I*f(z,r)_T
CGS静電単位系 Bcgs=2Pi*(I/c)*f(z,r)_G

■ f(z,r)=r^2/(z^2+r^2)^(3/2)

z=r のとき f(z,r)=(root2/4)/r~0.3535/r

z=2*r のとき f(z,r)=(root5/25)/r~0.089/r

{復習}アンペールの法則

『磁場.アンペールの法則』

◆ 定常電流 I が作る磁場 <B>

■ ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(閉曲線内)

国際単位系(SI系)で ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I(閉曲線内)
CGS静電単位系で ${<Bcgs>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi/c)*I(閉曲線内)

☆アンペールの法則.円電流☆

◆ x=A*tan(a)〔 A>0 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置く

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=a/A ${[1/(x^2+A)^(3/2)]*dx}=sin(a)/A^2

◆ 円電流 電流 I 半径 r

円電流の軸(円電流を含む平面に垂直で、円の中心を通る) z軸

観測点 z 円電流の任意の位置から観測点までの距離 root(z^2+r^2)

電流はz軸に対して右回りに流れている

■ 磁場 B=2Pi*(ke/c^2)*I*r^2/(z^2+r^2)^(3/2)

次の閉曲線で磁場の線積分をする

[円電流の軸を通って -∞<z<∞ +側の無限遠から無限遠を通って、- 側の無限遠に戻る] 無限遠で磁場は無視できるから、

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]
=2*${B*dz}[z:0~∞]
=2*[2Pi*(ke/c^2)*I*r^2]*${[1/(z^2+r^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]

● ${[1/(z^2+r^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]

z=r*tan(a) と置いて、

 ${[1/(z^2+r^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]=[sin(a)/r^2][a=0~Pi/2]=1/r^2

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=2*[2Pi*(ke/c^2)*I*r^2]/r^2=(4Pi*ke/c^2)*I

アンペールの法則が成り立っている事が確認できた{!}

☆地球の磁場

◆ 金属コアの半径=3000_km=3*Ten(6)_m

金属コアの赤道上を流れる電流によって、そのコアの北極に磁場 1_G ができるとする。 電流 I_A 1_G=Ten(-4)_T

■ B=2Pi*Ten(-7)*I*0.3535/r~2.2*Ten(-7)*I/r

 I
={1/[2.2*Ten(-7)]}*r*B
={1/[2.2*Ten(-7)]}*[3*Ten(6)]*Ten(-4)
~1.4*Ten(9)_A 
_

ヘルムホルツコイル

★ 円電流を2つ平行に置くと、その中間付近では、ほぼ一様な磁場ができる。

■ 2つの円電流の距離2b 中心軸上で、中点からのずれz

 B/{[(μ0)/2]*I*a^2}
=1/[a^2+(b+z)^2]^(3/2)+1/[a^2+(b-z)^2]^(3/2)}

z<<b のとき、

右辺=2/(a^2+b^2)^(3/2)+3*(4*b^2-a^2)*z^2/(a^2+b^2)^(7/2)+…

▲ 中心付近では、 x の項がないので、ほぼ一様な磁場ができる。

■ さらに、2b=a (2つの円電流の距離)=(半径) とすると、z^2 の項もなくなる。もともと z^3 の項もないので、そこまで、一様な磁場ができる。

右辺=2/[a^2+(a/2)^2]^(3/2)={2/root[125/64]}/a^3=1.43/a^3

 B=0.72*(μ0)*I/a ★ヘルムホルツコイルの磁場

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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