物理 電磁気

2017/5-2012/1 Yuji.W

円電流が作る磁場

円電流 circular coil 軸での磁場 ヘルムホルツコイル _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <A) 内積 * 外積 #
10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 
時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇ 2.99792458=\3 c=\3*Ten(8)_m/sec=\3*Ten(10)_cm/sec
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

物理定数〕〔質量やエネルギーの単位〕〔力学の単位〕〔電磁気の単位

{復習}直線電流が作る磁場

『直線電流が作る磁場』

◆ 直線電流が距離 r の所に作る磁場(光速倍) c*B

■ c*B=2*(ke/c)*I/r 電流の方向に対して右回り

国際単位系 B=(μ0/2Pi)*I/r=2*Ten(-7)*I/r_T

CGS静電単位系 Bcgs=2*(I/c)/r_G

※ 1_A/c=0.1_esu/cm 1_T=Ten(4)_G

{復習}等速円運動をする電荷が中心に作る電磁場

◆ 電荷 +q 等速円運動 回転の中心:原点 回転面:xy平面 半径 R 角速度 w 速さ v=R*w 円柱座標(r,a,z) 観測点:原点 電荷の位置 <r>=<ru>*R

相対論的効果率 Γ=1/root[1-(v/c)^2]

■ <E>=-ke*(q/R^2)*[<ru>/Γ^2-<au>*(v/c)]

 <c*B>=<zu>*ke*(v/c)*(q/R^2)

☆円電流が円の中心に作る磁場☆

◎ ビオ・サバールの法則を使わないで

◆ 電荷 +q 等速円運動 半径 R 角速度 w 速さ v=R*w

回転の中心:原点 回転面*xy平面 円柱座標(r,a,z) 電荷の位置 <r>=<ru>*R

相対論的効果率 Γ=1/root[1-(v/c)^2]

円周上を動いている電荷の数 n 電流 I=n*q*v/(2Pi*R)

■ c*B=[ke*(q/R^2)*v/c]*n=2Pi*(ke/c)*I/R _

国際単位系 B=(μ0/2)*I/R=2Pi*Ten(-7)*I/R_T _

CGS静電単位系 Bcgs=2Pi*(I/c)/R _G

※ 1_A/c=0.1_esu/cm 1_T=Ten(4)_G

{計算例}円電流が円の中心に作る磁場

☆円電流が中心軸上に作る磁場

◎ ビオ・サバールの法則を使って

『ビオ・サバールの法則 1820』

■ 電流要素 I*<dL>から<r>離れた位置での、微少磁場<dB>

 <dB>=(ke/c^2)*I*<dL>#<ru>/r^2

◆ 円電流 電流 I 半径 R

円電流の軸(円電流を含む平面に垂直で、円の中心を通る) z軸

観測点 z 円電流の任意の位置から観測点までの距離 root(z^2+R^2)

電流はz軸に対して右回りに流れている

■ 円電流の磁場は、z軸方向になる。z軸方向成分だけ集めて、

 B
=[(ke/c^2)*I*2Pi*R/(z^2+R^2)]*[R/root(z^2+R^2)]
=2Pi*(ke/c^2)*I*R^2/(z^2+R^2)^(3/2) 
_

f(z,R)=R^2/(z^2+R^2)^(3/2) と置けば、

国際単位系 B=(μ0/2)*I*f(z,R)=2Pi*Ten(-7)*I*f(z,R)_T _

CGS静電単位系 Bcgs=2Pi*(I/c)*f(z,R)_G _

※ 1_A/c=0.1_esu/cm 1_T=Ten(4)_G

■ f(z,R)=R^2/(z^2+R^2)^(3/2)

z=R のとき f(z,R)=(root2/4)/R~0.3535/R

z=2*R のとき f(z,R)=(root5/25)/R~0.089/R

☆地球の磁場

◆ 金属コアの半径=3000_km=3*Ten(6)_m

金属コアの赤道上を流れる電流によって、そのコアの北極に磁場 1_G ができるとする。 電流 I_A 1_G=Ten(-4)_T

■ B=2Pi*Ten(-7)*I*0.3535/R~2.2*Ten(-7)*I/R

 I
={1/[2.2*Ten(-7)]}*R*B
={1/[2.2*Ten(-7)]}*[3*Ten(6)]*Ten(-4)
~1.4*Ten(9)_A 
_

{復習}アンペールの法則

『磁場.アンペールの法則』

◆ 定常電流 I が作る磁場 <B>

■ ${<B>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi*ke/c^2)*I(閉曲線内)

国際単位系(SI系)で ${<B>*<ds>}[閉曲線]=μ0*I(閉曲線内)
CGS静電単位系で ${<Bcgs>*<ds>}[閉曲線]=(4Pi/c)*I(閉曲線内)

☆アンペールの法則.円電流☆

◆ x=A*tan(a)〔 A>0 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置く

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=a/A ${[1/(x^2+A)^(3/2)]*dx}=sin(a)/A^2

◆ 円電流 電流 I 半径 R

円電流の軸(円電流を含む平面に垂直で、円の中心を通る) z軸

観測点 z 円電流の任意の位置から観測点までの距離 root(z^2+R^2)

電流はz軸に対して右回りに流れている

■ 磁場 B=2Pi*(ke/c^2)*I*R^2/(z^2+R^2)^(3/2)

次の閉曲線で磁場の線積分をする

[円電流の軸を通って -∞<z<∞ +側の無限遠から無限遠を通って、- 側の無限遠に戻る] 無限遠で磁場は無視できるから、

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]
=2*${B*dz}[z:0~∞]
=2*[2Pi*(ke/c^2)*I*R^2]*${[1/(z^2+R^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]

● ${[1/(z^2+R^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]

z=R*tan(a) と置いて、

 ${[1/(z^2+R^2)^(3/2)]*dz}[z:0~∞]=[sin(a)/R^2][a=0~Pi/2]=1/R^2

 ${<B>*<ds>}[閉曲線]=2*[2Pi*(ke/c^2)*I*R^2]/R^2=(4Pi*ke/c^2)*I

アンペールの法則が成り立っている事が確認できた{!}

ヘルムホルツコイル

★ 円電流を2つ平行に置くと、その中間付近では、ほぼ一様な磁場ができる。

■ 2つの円電流の距離2b 中心軸上で、中点からのずれz

 B/{[(μ0)/2]*I*a^2}
=1/[a^2+(b+z)^2]^(3/2)+1/[a^2+(b-z)^2]^(3/2)}

z<<b のとき、

右辺=2/(a^2+b^2)^(3/2)+3*(4*b^2-a^2)*z^2/(a^2+b^2)^(7/2)+…

▲ 中心付近では、 x の項がないので、ほぼ一様な磁場ができる。

■ さらに、2b=a (2つの円電流の距離)=(半径) とすると、z^2 の項もなくなる。もともと z^3 の項もないので、そこまで、一様な磁場ができる。

右辺=2/[a^2+(a/2)^2]^(3/2)={2/root[125/64]}/a^3=1.43/a^3

 B=0.72*(μ0)*I/a ★ヘルムホルツコイルの磁場

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