〓　円環電荷の中心軸の電場　〓 .

.★ 円周上に電荷がある　中心軸上に作る電位、電場

◆ 円柱座標 (h,a,z)_C　<Ah Aa Az>_C　座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>

xy平面に円環電荷　半径 R　中心:原点　電荷線密度 λ=一定　全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:(0,0,z)_C〔 z≧0 〕　電位 φ(h,z)

■ 対称性より、電場も電位もz成分しかない。

微小部分 a~a+da による電場のz成分 dE(z)

　dE
=[ke*(λ*R*da)/(z^2+R^2)]*z/root(z^2+R^2)
=ke*λ*R*z*da/(z^2+R^2)^(3/2)

　E
=ke*λ*R*[z/(z^2+R^2)^(3/2)]*${da}[a:0~2Pi]
=2Pi*ke*λ*z*R/(z^2+R^2)^(3/2)
=ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)

　<E>=<zu>*ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2) ★_

■ 微小部分 a~a+da による電位 dφ=ke*(λ*R*da)/root(z^2+R^2)

　φ
=ke*λ*[R/root(z^2+R^2)]*${da}[a:0~2Pi]
=ke*(Q/R)/root[(z/R)^2+1] ★_

※ 無限遠を基準点にして　φ(∞)=0　積分定数=0

{確かめ}　<E>
=-grad(φ)
=-<zu>*ke*Q*[1/root(z^2+R^2)];z
=+<zu>*ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)

■ 円環の中心で　z=0　<E>=0　&　φ=ke*Q/R

〓　円環電荷の電位　〓 .

◆ 円柱座標 (h,a,z)_C　<Ah Aa Az>_C　座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>

xy平面に円環電荷　半径 R　中心:原点　電荷線密度 λ=一定　全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:(h,0,z)_C〔 z≧0 〕　電場 <E>=<zu>*E(z)　電位 φ(z)

■ 対称性より、電場も電位もz成分しかない。

微小部分 a~a+da による電場のz成分 dE(z)

　dE
=[ke*(λ*R*da)/(z^2+R^2)]*z/root(z^2+R^2)
=ke*λ*R*z*da/(z^2+R^2)^(3/2)

　E
=ke*λ*R*[z/(z^2+R^2)^(3/2)]*${da}[a:0~2Pi]
=2Pi*ke*λ*z*R/(z^2+R^2)^(3/2)
=ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)

　<E>=<zu>*ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2) ★_

■ 微小部分 a~a+da による電位 dφ=ke*(λ*R*da)/root(z^2+R^2)

　φ
=ke*λ*[R/root(z^2+R^2)]*${da}[a:0~2Pi]
=ke*(Q/R)/root[(z/R)^2+1] ★_

※ 無限遠を基準点にして　φ(∞)=0　積分定数=0

{確かめ}　<E>
=-grad(φ)
=-<zu>*ke*Q*[1/root(z^2+R^2)];z
=+<zu>*ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)

■ 円環の中心で　z=0　<E>=0　&　φ=ke*Q/R

〓　電場の大きさ　〓 .

◆ z/R=s　f(s)=s/(s^2+1)^(3/2)　と置けば、

　<E>=<zu>*ke*(Q/R^2)*f(s)

s	0	1	2	3	∞
f(s)	0	0.35	0.18	0.09	0

■ f(s);s
=1/(s^2+1)^(3/2)-s*(3/2)*2*s/(s^2+1)^(5/2)
=[(s^2+1)-3*s^2]/(s^2+1)^(5/2)
=(1-2*s^2)/(s^2+1)^(5/2)

　f(s);s=0　の解　s=root2/2~0.707　このとき、

　(s^2+1)^(3/2)=(3/2)^(3/2)=3*root3/(2*root2)

最大値　f(s)=(root2/2)/[3*root3/(2*root2)]=2*root3/9~0.38 ★_

■ 電場の大きさは　z/R=root/2　のとき、

　最大値 Emax=2*(root3/9)*ke*(Q/R^2)~0.38*ke*(Q/R^2)