お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/11-2012/1 Yuji.W

円電荷,円板電荷

. 円電荷(円周上のみ) 円板電荷(円の内部)

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇直線電荷の電位の次元◇

◆ 電荷(線)密度 λ=一定

■ 次元を [~] で表せば

 [全電荷]=[λ]*[長さ]

 [電位]=[ke]*[全電荷]/[長さ]=[ke]*[λ]*[長さ]/[長さ]=[ke]*[λ]

≫ 電位=ke*λ*[無次元の関数] .

◇円電荷の電位,電場

. 円周上に電荷がある 中心軸上に作る電位、電場

◆ 円電荷 電荷線密度 λ=一定 半径 R 全電荷 Q=2Pi*R*λ

円 xy平面上 観測点 z軸〔 z≧0 〕

観測点 円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z≧0 電位 φ(z)

■【 電位 】

電荷から観測点までの距離=root(R^2+z^2)

 φ(z)=2Pi*ke*R*λ/root(R^2+z^2)+積分定数

無限遠を基準点にすれば φ(∞)=0 積分定数=0

 φ(z)=2Pi*ke*R*λ/root(R^2+z^2)=ke*Q/root[z^2+R^2]

 φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2) .円電荷の中心軸の電位(点電荷 Q が円の位置にある場合と同じ)

★ φ(R)=ke*(Q/R)/root2 φ(∞)=0

■ 円の中心で φ=ke*Q/R .

■【 電場 】

 {1/root[1+(z/R)^2]};z
=(-1/2)*(2*z/R^2)/[1+(z/R)^2]^(3/2)
=-(z/R)/{R*[1+(z/R)^2]^(3/2)}

 E(z)=-φ(z);z=+2Pi*ke*λ*(z/R)/{R*[1+(z/R)^2]^(3/2)}

≫ E(z)=2Pi*ke*λ*(z/R)/{R*[1+(z/R)^2]^(3/2)} .円電荷の中心軸上の電場

★ E(0)=0 E(R)=(root2/2)*Pi*ke*λ/R~0.71*Pi*ke*λ/R E(∞)=0

■【 E(z)の最大値 】

z/R=h と置き f(h)=h/(1+h^2)^(3/2) について考える

h

0

1

2

3

f(h)

0

0.35

0.18

0.09

0

 [f(h);h]の分子
=(1+h^2)^(3/2)-h*(3/2)*(1+h^2)^(1/2)*2*h
=(1+h^2)^(1/2)*[(1+h^2)-3*h^2]
=(1+h^2)^(1/2)*(-2*h^2+1)

 f(h);h=0 を解くと、

 h=roo2/2~0.707

E(z) は z=0.707*R で 最大値をとる .

 E(R*root2/2)
=2Pi*ke*λ*(root2/2)/(R*3*root3/2*root2)
=4Pi*ke*λ/(R*3*root3)
~0.77*Pi*ke*λ/R

『円電荷』 2016/11

◆ 円電荷 半径 R 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2Pi*R*λ

円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z 電位 φ(z) 電場 E(z)

■ φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2)

 E(z)=2Pi*ke*λ*z*R/[z^2+R^2]^(3/2)

{別解}円電荷の電場

. 電場を直接求める

◆ 円電荷 電荷線密度 λ=一定 半径 R 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点 円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z≧0

対称性から、電場の方向は、円の中心軸上にある 電場 E(z) E(0)=0

■ 円周上の微少の長さ dl が、観測点に作る電場の大きさ ke*λ*dl/(R^2+z^2)

 そのz成分
=[ke*λ*dl/(R^2+z^2)]*z/root(R^2+z^2)
=ke*λ*z*dl/(R^2+z^2)^(3/2)

ぐるっと一周、2Pi*R 分だけ集めて、

 E(z)
=[ke*λ*z*dl/(R^2+z^2)^(3/2)]*(2Pi*R)
=2Pi*ke*λ*R*z/(R^2+z^2)^(3/2)
=2Pi*ke*λ*(z/R)/{R*[1+(z/R)^2]^(3/2)} 
.

◇有限な平面電荷の電位の次元解析◇

◆ 有限な平面電荷 電荷面密度 σ=一定 任意の観測点の電位 φ 全電荷 Q

■【 次元解析 】

 Q=σ*面積 [Q]=[σ]*[長さ^2]

 [φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ^2]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ]

≫ [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] .平面電荷の電位

◇相似な図形の電位◇

◆ 2つの相似な平面電荷 A,B 電荷面密度 σ=一定 相似比 a:b (面積比 a^2:b^2)

ある特定の位置の電位 φA,φB

■ 次元解析より [φ]=[ke]*[σ]*[長さ] であるから、

 φA:φB=a:b .

◇円板電荷の電位

. 円板電荷(円の内部に電荷、電荷面密度=一定)が中心軸状に作る電位

◎ 円電荷の結果を利用する

◆ 円板電荷 電荷面密度 σ=一定 半径 R 全電荷=Pi*R^2*σ

観測点 円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z>0 電位 φ(z)

■【 電位 】

半径 r~r+dr の円 その電荷 2Pi*σ*r*dr

円が観測点に作る電位 dφ(z)=ke*(2Pi*σ*r*dr)/root(r^2+z^2)

 φ(z)=ke*2Pi*σ*${r*dr/root(r^2+z^2)}[r:0~R]

 d(r^2)=2*r*dr

 ${r*dr/root(r^2+z^2)}
=(1/2)*${d(r^2)/root(r^2+z^2)
=(1/2)*2*root(r^2+z^2)
=root(r^2+z^2)

 ${r*dr/root(r^2+z^2)}[r:0~R]
=[root(r^2+z^2)][r:0~R]
=root(R^2+z^2)-z

 φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(R^2+z^2)-z]

≫ φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(z^2+R^2)-z] .中心軸上〔 z≧0 〕

※ 国際単位系で ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系で ke=1

x

0

0.1

1

10

root(1+x^2)

1

1.005

1.414

10.050

0

root(1+x^2)-x

1

0.905

0.414

0.050

0

▲ z/R>>1 のとき、

 root(R^2+z^2)-z=z*root[1+(R/z)^2]-z=z+(1/2)*R^2/z-z=(1/2)*R^2/z

 φ(z)=(2Pi*ke*σ)*[(1/2)*R^2/z]=ke*σ*Pi*R^2/z=ke*全電荷/z .

■ 円の中心で φ0/(ke*σ*R)=2Pi .〔 基準点:無限遠 〕

■【 中心軸上の電場 】

 φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(R^2+z^2)-z] E(z)=-φ(z);z

ここで [root(R^2+z^2)-z];z=z/root(R^2+z^2)-1

 E(z)=2Pi*ke*σ*{1-(z/R)/root[1+(z/R)^2]}

≫ E(z)/(ke*σ)=2Pi*{1-(z/R)/root[1+(z/R)^2]} .中心軸上〔 z>0 〕

国際単位系で ke=1/(4Pi*ε0) CGS静電単位系で ke=1

x

0

0.1

1

10

root(1+x^2)

1

1.005

1.414

10.050

0

x/root(1+x^2)

0

0.100

0.707

0.995

1

1-x/root(1+x^2)

1

0.900

0.293

0.005

0

▲ z/R<<1 のとき、

 (z/R)/root[1+(z/R)^2]=(z/R)*[1-(1/2)*(z/R)^2]=z/R

 E(z)=2Pi*ke*σ*(1-z/R)

※ lim[z->+0]{E(z)}=2Pi*ke*σ この値は、あくまで極限値

 E(0) は対称性から 0

『円板電荷』 2016/11

◆ 円板電荷 電荷面密度 σ=一定 半径 R 全電荷=Pi*R^2*σ

観測点:[円の中心軸上、円を含む平面からの距離 z z≧0] 電位 φ(z) 電場 E(z)

■ φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(z^2+R^2)-z]

 E(z)=2Pi*ke*σ*[1-z/root(z^2+R^2)]

{別解}円板電荷の電場

. 電場を直接求める

◆ 円板電荷 電荷面密度 σ=一定 半径 R

観測点 円の中心軸上 円からの距離 z z>0

対称性から、電場の方向は、円の中心軸上にある 電場 E(z) 電位 φ(z)

■ 半径 r~r+dr の円 その全電荷 2Pi*σ*r*dr

 その電場 dE=ke*(2Pi*σ*r*dr)*z/(r^2+z^2)^(3/2)

 E=2Pi*ke*σ*z*${r*dr/(r^2+z^2)}[r:0~R]

 d(r^2)=2*r*dr

 ${r*dr/(r^2+z^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+z^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+z^2)
=-1/root(r^2+z^2)

 E(z)
=2Pi*ke*σ*z*[-1/root(r^2+z^2)][r:0~R]
=2Pi*ke*σ*z*[-1/root(R^2+z^2)+1/z]
=2Pi*ke*σ*{1-(z/R)/root[1+(z/R)^2]}

◇円板電荷の端の電位

. 円板電荷(電荷面密度=一定)の端(円周上)の電位

● 全電荷 Q 円の中心の電位=2Pi*ke*σ*R=2*ke*Q/R

◆ 円板電荷 電荷面密度 σ=一定 半径 R 観測点:円の円周上 電位 φ

全電荷 Q=Pi*R^2*σ

■ 円座標(r,a) で表す 原点:観測点 基準線:原点と円の中心を結ぶ直線

※ デカルト座標で表せば 円 (x-R)^2+y^2=R^2

次の微少部分を考える r~r+da a~a+da

 そこにある電荷=σ*(r*da)*dr 観測点(原点)からの距離 r

このときの r の最大値 r_max とすると r_max=2*R*cos(a)

 φ=ke*σ*$${[(r*da)*dr/r]}[r:0~r_max][a:-Pi/2~Pi/2]

 $${[(r*da)*dr/r]}[r:0~r_max][a:-Pi/2~Pi/2]
=2*${r_max*da}[a:0~Pi/2]
=4*R*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=4*R*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=4*R

 φ=ke*σ*(4*R)=4*ke*σ*R

≫ φ/(ke*σ*R)=4 .円電荷の端の電位

{なるほどね!2016/9}

{まとめ}円板電荷の電位

『円板電荷の電位』 2016/11

◆ 円板電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定

■ 円の中心軸上、円を含む平面からの距離 z で、

 φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(z^2+R^2)-z] φ(0)=2Pi*ke*σ*R

 E(z)=2Pi*ke*σ*[1-z/root(z^2+R^2)]

円の端で φ=4*ke*σ*R

◇円板電荷の静電エネルギー◇

◆ 円板電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 全電荷 Q=Pi*R^2*σ 静電エネルギー(こういう状態を作るのに必要なエネルギー) U

■ 半径 r の円板電荷が持つ静電エネルギー U(r)

微少半径 dr に対して、

 dU(r)=U(r+dr)-U(r)=(2Pi*r*dr*σ)*(4*ke*σ*r)=8Pi*ke*σ^2*r^2*dr

 U
=8Pi*ke*σ^2*${r^2*dr}[r:0~R]
=8Pi*ke*σ^2*[r^3/3][r:0~R]
=(8Pi/3)*ke*σ^2*R^3

≫ U=(8Pi/3)*ke*σ^2*R^3 .

σ の代わりに Q を使えば、

 U
=(8Pi/3)*ke*[Q/(Pi*R^2)]^2*R^3
=[8/(3*Pi)]*ke*Q^2/R 
.

『円板電荷の静電エネルギー』 2016/11

◆ 円板電荷 半径 R 電荷面密度 σ=一定 全電荷 Q=Pi*R^2*σ 静電エネルギー(こういう状態を作るのに必要なエネルギー) U

■ U=(8Pi/3)*ke*σ^2*R^3=[8/(3*Pi)]*ke*Q^2/R

{できた!2016/11}

◇穴の空いた円板電荷

◆ 円板電荷[半径 R2] 半径 R1 の同心円の穴が空いている 電荷面密度 σ=一定

円の中心の電位 φ〔 無限遠を基準点とする 〕

電子の電荷 Qe 質量 m

■【 電位 】穴が空いていない場合の電位=2Pi*ke*σ*R2

半径R1の円には、電荷面密度 -σ があるとしたときの電位=-2Pi*ke*σ*R1

 φ=2Pi*ke*σ*(R2-R1) .

■【 速さ v 】

電子が、その電位の分のエネルギーを得て、飛び去るときの速さ v

 Qe*φ=(1/2)*m*v^2

 v=root[2*Qe*φ/m] .


★ σ=-4_esu R2=3_cm R1=1_cm

 φ=-2Pi*4*2=-50.24_静電V .

 v
=root{2*[4.8*Ten(-10)]*50.24/[9*Ten(-28)]
=root[54*Ten(18)]
~7.4*Ten(9)_cm/sec
=74000_km/sec

ρ0*(1-a/r)の電場

■ 半径aの球に、電荷密度 (ρ0)*(1-a/r)  電場を求めよう。

  半径r内の電荷Q(r)=(ρ0)*${4(pi)r^2(1-a/r)}dr[r:0->r]
=4(pi)*(ρ0)*[r^3/3-r^4/(4a)]

  全電荷Q=(pi)*(ρ0)*a^3/3  一様な電荷密度の場合の 1/4

  <E(r<a)>=[(ρ0)/(ε0)]*[r/3-r^2/(4a)]<ru>

  <E(r>a)>=(ρ0)*a^3/[12(ε0)*r^2]<ru>

■ div<E> を求めよう。●div<f(r)<ru>>={[r^2*f(r)];r}/r^2

  div<E(r<a)>=[(ρ0)/(ε0)]*[r^3/3-r^4/(4a)];r/r^2
=[(ρ0)/(ε0)]*[1-r/a]=(電荷密度)/(ε0)

  div<E(r>a)> ∝ (r^2/r^2);r/r^2=(1);r/r^2=0

◇電荷面密度 ∝ h/(r^2+h^2)^(3/2)◇

◆ 円柱座標(r,a,z) xy平面上に電荷

電荷面密度 σ=[Q*h/(2Pi)]/(r^2+h^2)^(3/2)〔 h:正の定数 〕

z軸上、z=h における電場の大きさ E 電場の方向:z軸方向

※ Q は総電荷を表す

※ 電荷面密度のパラメータの h と、位置を表す h が同じである

■ (r~r+dr にある電荷)=2Pi*r*dr*σ=Q*h*r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)

 (その電荷の電場)=ke*Q*h*r*dr/(r^2+h^2)^(5/2)

 (そのz軸方向成分)=ke*Q*h^2*r*dr/(r^2+h^2)^3

 E=ke*Q*h^2*${r*dr/(r^2+h^2)^3}[r:0~∞]

  ${r*dr/(r^2+h^2)^3}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^3}
=-(1/4)/(r^2+h^2)^2

 ${r*dr/(r^2+h^2)^2}[r:0~∞]=1/(4*h^4)

 E=ke*Q*h^2/(4*h^4)=ke*Q/(2*h)^2 .電荷Qが、距離 2*h 離れてあるのと同じ

◆ 円柱座標(r,a,z) xy平面上に電荷

電荷面密度 σ=[Q*h/(2Pi)]/(r^2+h^2)^(3/2)〔 h:正の定数 〕

z軸上、z=h における電場の大きさ E 電場の方向:z軸方向

※ Q は総電荷を表す 電荷面密度のパラメータの h と、位置を表す h が同じ

■ E=ke*Q/(2*h)^2

  円電荷,円板電荷  

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