物理 電磁気 2018/4-2012/1 Yuji.W

☆ 円環電荷

◎ 円環 円 電場 電位 _ 00

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 球座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 〔 物理定数
 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔 電磁気単位

〓 円環電荷の電場 〓 .

. 円周上に電荷がある 中心軸上に作る電位、電場

◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a><z>

xy平面に円環電荷 半径 R 中心:原点 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:(0,0,z)〔 z≧0 〕 電場 <E>=<z>*E(z) 電位 φ(z)

■ 対称性より、電場も電位もz成分しかない。

微笑部分 a~a+da による電場のz成分 dE(z)

 dE
=[ke*(λ*R*da)/(z^2+R^2)]*z/root(z^2+R^2)
=ke*λ*R*z*da/(z^2+R^2)^(3/2)

 E
=ke*λ*R*[z/(z^2+R^2)^(3/2)]*${da}[a:0~2Pi]
=ke*(2Pi*λ*R)*z/(z^2+R^2)^(3/2)
=ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)
=ke*(Q/R^2)*(z/R)/[(z/R)^2+1)^(3/2)

 <E>=<z>*ke*(Q/R^2)*(z/R)/[(z/R)^2+1)^(3/2) _

■ 微笑部分 a~a+da による電位 dφ=ke*(λ*R*da)/root(z^2+R^2)

 φ
=ke*λ*[R/root(z^2+R^2)]*${da}[a:0~2Pi]
=ke*(Q/R)/root[(z/R)^2+1] _

※ 無限遠を基準点にして φ(∞)=0 積分定数=0

{確かめ} <E>
=-grad(φ)
=-<z>*ke*Q*[1/root(z^2+R^2)];z
=+<z>*ke*Q*z/(z^2+R^2)^(3/2)

■ 円環の中心で z=0 <E>=0 & φ=ke*Q/R

〓 円環電荷の電場 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a><z>

xy平面に円環電荷 半径 R 中心:原点 電荷線密度 λ=一定 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:(0,0,z)〔 z≧0 〕 電場 <E> 電位 φ

■ <E>=<z>*ke*(Q/R^2)*(z/R)/[(z/R)^2+1)^(3/2)

 φ=ke*(Q/R)/root[(z/R)^2+1]

〓 電場の大きさ 〓 .

◆ z/R=s f(s)=s/(s^2+1)^(3/2) と置けば、

 <E>=<z>*ke*(Q/R^2)*f(s)

s

0

1

2

3

f(s)

0

0.35

0.18

0.09

0

■ f(s);s
=1/(s^2+1)^(3/2)-s*(3/2)*2*s/(s^2+1)^(5/2)
=[(s^2+1)-3*s^2]/(s^2+1)^(5/2)
=(1-2*s^2)/(s^2+1)^(5/2)

 f(s);s=0 の解 s=root2/2~0.707 このとき、

 (s^2+1)^(3/2)=(3/2)^(3/2)=3*root3/(2*root2)

最大値 f(s)=(root2/2)/[3*root3/(2*root2)]=2*root3/9~0.38 _

■ 電場の大きさは z/R=root/2 のとき、

 最大値 Emax=2*(root3/9)*ke*(Q/R^2)~0.38*ke*(Q/R^2)

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆
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