☆ 平面電荷 ☆

お勉強しよう 電磁気 数学 2022.6-2012.1 Yuji.W

〇 無限に広がる平面電荷が作る電場 電位 ガウスの法則  

【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 〔22.6〕 000 py- 0table
微分 ; 偏微分 : 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x) 

ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
 

【電磁気】(1.6|=1.6021766208 素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C  〔22.6〕
クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2  電磁気の単位 

〓 無限に広がる平面電荷が作る電場 〓 

▢ 無限に広がる平面電荷 電荷面密度 σ=一定 

円柱座標 (h,a,z_C) 平面電荷に垂直な軸 z軸 (0,~,z_C) z>0

対称性から 電場 <E>=<zu>*E(z) 電位 φ(z)

クーロン力定数 ke

▷ 微小量 dh h~h+dh にある電荷が作る電場を考える

 (電荷量)=σ*2*Pi*h*dh 

 観測点までの距離 s=root(h^2+z^2)

電場のz成分だけ考えて dE=[(σ*2*Pi*h*dh)/s^2]*z/s=2*Pi*σ*z*h*dh/s^3 

 E(z)=2*Pi*ke*σ*z*${h*dh/s^3 [h|0~∞]}

 ● ${x*dx/(x^2+A^2)^(3/2)}=-1/root(x^2+A^2) ● 

 ${h*dh/s^3 [h|0~∞]}=-{1/root(h^2+z^2) [h|0~∞]}=1/z

 E(z)=2*Pi*ke*σ*z*(1/z)=2*Pi*ke*σ

≫ z>0 において <E>=<zu>*2*Pi*ke*σ  

国際単位系で <E>=<zu>*σ/(2*ε0)

CGS静電単位系で <E>=<zu>*2*Pi*σ

▷ z=0 で φ(0)=0 とすれば z>0 において φ(z)=-2*Pi*σ*z  

〓 無限に広がる平面電荷 〓 

〇 ガウスの定理を使って

▢ xy平面に電荷 電荷面密度 σ=一定 広さは無限

対称性から、電場は電荷の平面に垂直で、外側に向かっているのは明か。一様な平面電荷を扱っているから、電場も位置に依らず一様になる。

電場 <E> z>0 で <E>=<zu>*E z<0 で <E>=-<zu>*E

電位 φ(z)

▷ 直方体[底面:1辺1の正方形] で、平面電荷の一部を取り囲む。

 その領域内の総電荷=σ

ガウスの定理 ${<E>*<dS>}[総電荷を囲む任意の閉曲面上]=4Pi*ke*(総電荷)

 左辺=2*E 右辺=σ

 2*E=4Pi*ke*σ

 E=2*Pi*ke*σ

z>0 で <E>=<zu>*2*Pi*ke*σ  z<0 で <E>=-<zu>*2*Pi*ke*σ

国際単位系で E=σ/(2*ε0)

▷ z>0 で、

 <grad(φ)>=-<E>=-<zu>*2*Pi*ke*σ

 φ;z=-2*Pi*ke*σ

 φ=-2*Pi*ke*σ*z+積分定数

z=0 で φ(0)=φ0 とすれば 積分定数=φ0

 φ=-2*Pi*ke*σ*z+φ0

z<0 で φ=2*Pi*ke*σ*z+φ0

まとめて φ=-2*Pi*ke*σ*|z|+φ0

〓 無限に広がる平面電荷が作る電場、電位 〓 22.6

▢ xy平面に電荷 電荷面密度 σ=一定 広さは無限

z>0 で 電場 <E>=<zu>*E 電位 φ(z)

▷ E=2*Pi*ke*σ φ(z)=-2*Pi*ke*σ*z+φ(0)

▷ 国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2 

 2*Pi*ke=1/(2*ε0)=2*Pi*(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2 

CGS静電単位系で ke=1 2*Pi*ke=2*Pi

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